MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrecl 12195
Description: Closure of infimum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infrecl ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem infrecl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 11293 . . 3 < Or ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → < Or ℝ)
3 infm3 12172 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
42, 3infcl 9480 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  wss 3941  c0 4315   class class class wbr 5139   Or wor 5578  infcinf 9433  cr 11106   < clt 11247  cle 11248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446
This theorem is referenced by:  infrenegsup  12196  infregelb  12197  infrelb  12198  supminf  12918  infxrre  13316  minveclem4c  25297  minveclem3b  25300  minveclem6  25306  pilem2  26329  pilem3  26330  pntlem3  27482  minvecolem2  30622  minvecolem3  30623  minvecolem4c  30626  minvecolem5  30628  minvecolem6  30629  taupi  36704  heicant  37026  pellfundre  42169  supminfxr  44719  climinf  44867  stirlinglem13  45347
  Copyright terms: Public domain W3C validator