Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbzbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbzbi 12330
 Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
lbzbi (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem lbzbi
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1911 . . 3 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ
2 nfre1 3306 . . 3 𝑥𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦
3 btwnz 12078 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 < 𝑧))
43simpld 497 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥)
5 ssel2 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6 zre 11979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7 ltleletr 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥𝑥𝑦) → 𝑧𝑦))
86, 7syl3an1 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥𝑥𝑦) → 𝑧𝑦))
98expd 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦)))
1093expia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
115, 10syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
1211expdimp 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴 → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
1312com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))))
1413imp 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑦𝑧𝑦)))
1514ralrimiv 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑧𝑦))
16 ralim 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑧𝑦) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))
1817ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
1918anasss 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
2019expcom 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))))
2120com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))))
2221imp 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
2322imdistand 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦)))
24 breq1 5061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))
2524ralbidv 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦))
2625rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑧𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2723, 26syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2827ex 415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
2928com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3029ancomsd 468 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∀𝑦𝐴 𝑥𝑦𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3130expdimp 455 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3231rexlimdv 3283 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
3332anasss 469 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
3433expcom 416 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
354, 34mpdi 45 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
3635ex 415 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
3736com23 86 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
381, 2, 37rexlimd 3317 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
39 zssre 11982 . . 3 ℤ ⊆ ℝ
40 ssrexv 4033 . . 3 (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4139, 40ax-mp 5 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4238, 41impbid1 227 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058  ℝcr 10530   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℤcz 11975 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-z 11976 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator