Theorem lbzbi 12871

Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
lbzbi	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem lbzbi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ
2		nfre1 3260	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
3		btwnz 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 < 𝑧))
4	3	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥)
5		ssel2 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6		zre 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		ltleletr 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑧 ≤ 𝑦))
8	6, 7	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑧 ≤ 𝑦))
9	8	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦)))
10	9	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
11	5, 10	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
12	11	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
13	12	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
14	13	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦)))
15	14	ralrimiv 3124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
16		ralim 3069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
18	17	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
19	18	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
20	19	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))))
21	20	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))))
22	21	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
23	22	imdistand 570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
24		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
25	24	ralbidv 3156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
26	25	rspcev 3585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
27	23, 26	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
28	27	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
29	28	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
30	29	ancomsd 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
31	30	expdimp 452	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
32	31	rexlimdv 3132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
33	32	anasss 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
34	33	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
35	4, 34	mpdi 45	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
36	35	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
37	36	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
38	1, 2, 37	rexlimd 3242	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
39		zssre 12512	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
40		ssrexv 4013	. . 3 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
41	39, 40	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
42	38, 41	impbid1 225	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ℝcr 11043   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-z 12506

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