Theorem lbzbi 12330

Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
lbzbi	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem lbzbi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1911	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ
2		nfre1 3306	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
3		btwnz 12078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 < 𝑧))
4	3	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥)
5		ssel2 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6		zre 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		ltleletr 10727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑧 ≤ 𝑦))
8	6, 7	syl3an1 1159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑧 ≤ 𝑦))
9	8	expd 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦)))
10	9	3expia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
11	5, 10	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
12	11	expdimp 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
13	12	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
14	13	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦)))
15	14	ralrimiv 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
16		ralim 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
18	17	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
19	18	anasss 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
20	19	expcom 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))))
21	20	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))))
22	21	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
23	22	imdistand 573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
24		breq1 5061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
25	24	ralbidv 3197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
26	25	rspcev 3622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
27	23, 26	syl6 35	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
28	27	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
29	28	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
30	29	ancomsd 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
31	30	expdimp 455	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
32	31	rexlimdv 3283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
33	32	anasss 469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
34	33	expcom 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
35	4, 34	mpdi 45	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
36	35	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
37	36	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
38	1, 2, 37	rexlimd 3317	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
39		zssre 11982	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
40		ssrexv 4033	. . 3 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
41	39, 40	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
42	38, 41	impbid1 227	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058  ℝcr 10530   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℤcz 11975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-z 11976

This theorem is referenced by: (None)