Theorem lbzbi 13087

Description: If a set of reals is bounded below, it is bounded below by an integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
lbzbi	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem lbzbi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1949	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ
2		nfre1 3291	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
3		btwnz 12826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 < 𝑧))
4	3	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥)
5		ssel2 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
6		zre 12721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
7		ltleletr 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑧 ≤ 𝑦))
8	6, 7	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑧 ≤ 𝑦))
9	8	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦)))
10	9	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
11	5, 10	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
12	11	expdimp 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
13	12	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))))
14	13	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦)))
15	14	ralrimiv 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦))
16		ralim 3106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑧 ≤ 𝑦) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
18	17	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
19	18	anasss 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
20	19	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))))
21	20	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))))
22	21	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → (𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
23	22	imdistand 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦)))
24		breq1 5109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
25	24	ralbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦))
26	25	rspcev 3580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
27	23, 26	syl6 36	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑧 < 𝑥) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
28	27	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑧 < 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
29	28	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
30	29	ancomsd 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
31	30	expdimp 458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
32	31	rexlimdv 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
33	32	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
34	33	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑧 < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
35	4, 34	mpdi 46	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
36	35	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
37	36	com23 87	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
38	1, 2, 37	rexlimd 3273	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
39		zssre 12724	. . 3 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
40		ssrexv 3983	. . 3 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
41	39, 40	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
42	38, 41	impbid1 228	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ℝcr 11223   < clt 11367   ≤ cle 11368  ℤcz 12717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-z 12718

This theorem is used by: (None)