Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngdvlem1 40517
Description: Lemma for eringring 40521. (Contributed by NM, 4-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ernggrp.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngdv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
erngdv.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngdv.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngdv.p 𝑃 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
erngdv.o 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
erngdv.i 𝐼 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
Assertion
Ref Expression
erngdvlem1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   π‘Ž,𝑏,𝐸   𝑓,π‘Ž,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑓   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐷(𝑓,π‘Ž,𝑏)   𝑃(𝑓,π‘Ž,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(π‘Ž,𝑏)   𝐼(𝑓,π‘Ž,𝑏)   0 (𝑓,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem1
Dummy variables 𝑑 𝑠 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ernggrp.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erngdv.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 erngdv.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 ernggrp.d . . . 4 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
61, 2, 3, 4, 5erngbase 40330 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐸)
76eqcomd 2731 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐸 = (Baseβ€˜π·))
8 erngdv.p . . 3 𝑃 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
9 eqid 2725 . . . 4 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
101, 2, 3, 4, 9erngfplus 40331 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜π·) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))))
118, 10eqtr4id 2784 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑃 = (+gβ€˜π·))
121, 2, 3, 8tendoplcl 40310 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠𝑃𝑑) ∈ 𝐸)
131, 2, 3, 8tendoplass 40312 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ ((𝑠𝑃𝑑)𝑃𝑒) = (𝑠𝑃(𝑑𝑃𝑒)))
14 erngdv.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
15 erngdv.o . . 3 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
1614, 1, 2, 3, 15tendo0cl 40319 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 ∈ 𝐸)
1714, 1, 2, 3, 15, 8tendo0pl 40320 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ ( 0 𝑃𝑠) = 𝑠)
18 erngdv.i . . 3 𝐼 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
191, 2, 3, 18tendoicl 40325 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (πΌβ€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
201, 2, 3, 18, 14, 8, 15tendoipl 40326 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ ((πΌβ€˜π‘ )𝑃𝑠) = 0 )
217, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 20isgrpd 18919 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5226   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6543   ∈ cmpo 7418  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Grpcgrp 18894  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  TEndoctendo 40281  EDRingcedring 40282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tendo 40284  df-edring 40286
This theorem is referenced by:  erngdvlem2N  40518  erngdvlem3  40519  erngdvlem4  40520
  Copyright terms: Public domain W3C validator