Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvaddcomN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvhvaddcomN 40624
Description: Commutativity of vector sum. (Contributed by NM, 26-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhvaddcl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhvaddcl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvaddcl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvaddcl.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvaddcl.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
dvhvaddcl.p ⨣ = (+gβ€˜π·)
dvhvaddcl.a + = (+gβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvhvaddcomN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐹))
Proof of Theorem dvhvaddcomN
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 xp1st 8021 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
32ad2antrl 726 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
4 xp1st 8021 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (1st β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
54ad2antll 727 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (1st β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
6 dvhvaddcl.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 dvhvaddcl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
86, 7ltrncom 40266 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ (1st β€˜πΊ) ∈ 𝑇) β†’ ((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)) = ((1st β€˜πΊ) ∘ (1st β€˜πΉ)))
91, 3, 5, 8syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)) = ((1st β€˜πΊ) ∘ (1st β€˜πΉ)))
10 xp2nd 8022 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
11 xp2nd 8022 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (2nd β€˜πΊ) ∈ 𝐸)
1210, 11anim12i 611 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)) β†’ ((2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸 ∧ (2nd β€˜πΊ) ∈ 𝐸))
13 dvhvaddcl.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2725 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘)))) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))
156, 7, 13, 14tendoplcom 40310 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸 ∧ (2nd β€˜πΊ) ∈ 𝐸) β†’ ((2nd β€˜πΉ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΊ)) = ((2nd β€˜πΊ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΉ)))
16153expb 1117 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸 ∧ (2nd β€˜πΊ) ∈ 𝐸)) β†’ ((2nd β€˜πΉ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΊ)) = ((2nd β€˜πΊ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΉ)))
1712, 16sylan2 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((2nd β€˜πΉ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΊ)) = ((2nd β€˜πΊ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΉ)))
18 dvhvaddcl.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 dvhvaddcl.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
20 dvhvaddcl.p . . . . . . 7 ⨣ = (+gβ€˜π·)
216, 7, 13, 18, 19, 14, 20dvhfplusr 40612 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⨣ = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘)))))
2221adantr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ⨣ = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘)))))
2322oveqd 7432 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ)) = ((2nd β€˜πΉ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΊ)))
2422oveqd 7432 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((2nd β€˜πΊ) ⨣ (2nd β€˜πΉ)) = ((2nd β€˜πΊ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΉ)))
2517, 23, 243eqtr4d 2775 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ)) = ((2nd β€˜πΊ) ⨣ (2nd β€˜πΉ)))
269, 25opeq12d 4877 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ⟨((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)), ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ))⟩ = ⟨((1st β€˜πΊ) ∘ (1st β€˜πΉ)), ((2nd β€˜πΊ) ⨣ (2nd β€˜πΉ))⟩)
27 dvhvaddcl.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
286, 7, 13, 18, 19, 27, 20dvhvadd 40620 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐹 + 𝐺) = ⟨((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)), ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ))⟩)
296, 7, 13, 18, 19, 27, 20dvhvadd 40620 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐺 + 𝐹) = ⟨((1st β€˜πΊ) ∘ (1st β€˜πΉ)), ((2nd β€˜πΊ) ⨣ (2nd β€˜πΉ))⟩)
3029ancom2s 648 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐺 + 𝐹) = ⟨((1st β€˜πΊ) ∘ (1st β€˜πΉ)), ((2nd β€˜πΊ) ⨣ (2nd β€˜πΉ))⟩)
3126, 28, 303eqtr4d 2775 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  1st c1st 7987  2nd c2nd 7988  +gcplusg 17230  Scalarcsca 17233  HLchlt 38877  LHypclh 39512  LTrncltrn 39629  TEndoctendo 40280  DVecHcdvh 40606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687  df-tendo 40283  df-edring 40285  df-dvech 40607
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator