Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvaddcomN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhvaddcomN 37259
Description: Commutativity of vector sum. (Contributed by NM, 26-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhvaddcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhvaddcl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhvaddcl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhvaddcl.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhvaddcl.d 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvhvaddcl.p = (+g𝐷)
dvhvaddcl.a + = (+g𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvhvaddcomN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐹))

Proof of Theorem dvhvaddcomN
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 xp1st 7479 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (1st𝐹) ∈ 𝑇)
32ad2antrl 718 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (1st𝐹) ∈ 𝑇)
4 xp1st 7479 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (1st𝐺) ∈ 𝑇)
54ad2antll 719 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (1st𝐺) ∈ 𝑇)
6 dvhvaddcl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 dvhvaddcl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
86, 7ltrncom 36901 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (1st𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (1st𝐺) ∈ 𝑇) → ((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)) = ((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)))
91, 3, 5, 8syl3anc 1439 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)) = ((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)))
10 xp2nd 7480 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (2nd𝐹) ∈ 𝐸)
11 xp2nd 7480 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (2nd𝐺) ∈ 𝐸)
1210, 11anim12i 606 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → ((2nd𝐹) ∈ 𝐸 ∧ (2nd𝐺) ∈ 𝐸))
13 dvhvaddcl.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2778 . . . . . . 7 (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐)))) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))
156, 7, 13, 14tendoplcom 36945 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (2nd𝐹) ∈ 𝐸 ∧ (2nd𝐺) ∈ 𝐸) → ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
16153expb 1110 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((2nd𝐹) ∈ 𝐸 ∧ (2nd𝐺) ∈ 𝐸)) → ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
1712, 16sylan2 586 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
18 dvhvaddcl.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
19 dvhvaddcl.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
20 dvhvaddcl.p . . . . . . 7 = (+g𝐷)
216, 7, 13, 18, 19, 14, 20dvhfplusr 37247 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐)))))
2221adantr 474 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐)))))
2322oveqd 6941 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐹) (2nd𝐺)) = ((2nd𝐹)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐺)))
2422oveqd 6941 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐺) (2nd𝐹)) = ((2nd𝐺)(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑐𝑇 ↦ ((𝑎𝑐) ∘ (𝑏𝑐))))(2nd𝐹)))
2517, 23, 243eqtr4d 2824 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd𝐹) (2nd𝐺)) = ((2nd𝐺) (2nd𝐹)))
269, 25opeq12d 4646 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ⟨((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)), ((2nd𝐹) (2nd𝐺))⟩ = ⟨((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)), ((2nd𝐺) (2nd𝐹))⟩)
27 dvhvaddcl.a . . 3 + = (+g𝑈)
286, 7, 13, 18, 19, 27, 20dvhvadd 37255 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) = ⟨((1st𝐹) ∘ (1st𝐺)), ((2nd𝐹) (2nd𝐺))⟩)
296, 7, 13, 18, 19, 27, 20dvhvadd 37255 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐺 + 𝐹) = ⟨((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)), ((2nd𝐺) (2nd𝐹))⟩)
3029ancom2s 640 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐺 + 𝐹) = ⟨((1st𝐺) ∘ (1st𝐹)), ((2nd𝐺) (2nd𝐹))⟩)
3126, 28, 303eqtr4d 2824 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cop 4404  cmpt 4967   × cxp 5355  ccom 5361  cfv 6137  (class class class)co 6924  cmpt2 6926  1st c1st 7445  2nd c2nd 7446  +gcplusg 16349  Scalarcsca 16352  HLchlt 35513  LHypclh 36147  LTrncltrn 36264  TEndoctendo 36915  DVecHcdvh 37241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-riotaBAD 35116
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-undef 7683  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-proset 17325  df-poset 17343  df-plt 17355  df-lub 17371  df-glb 17372  df-join 17373  df-meet 17374  df-p0 17436  df-p1 17437  df-lat 17443  df-clat 17505  df-oposet 35339  df-ol 35341  df-oml 35342  df-covers 35429  df-ats 35430  df-atl 35461  df-cvlat 35485  df-hlat 35514  df-llines 35661  df-lplanes 35662  df-lvols 35663  df-lines 35664  df-psubsp 35666  df-pmap 35667  df-padd 35959  df-lhyp 36151  df-laut 36152  df-ldil 36267  df-ltrn 36268  df-trl 36322  df-tendo 36918  df-edring 36920  df-dvech 37242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator