Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvaddcomN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvhvaddcomN 40480
Description: Commutativity of vector sum. (Contributed by NM, 26-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhvaddcl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhvaddcl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvaddcl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvaddcl.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvaddcl.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
dvhvaddcl.p ⨣ = (+gβ€˜π·)
dvhvaddcl.a + = (+gβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvhvaddcomN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐹))
Proof of Theorem dvhvaddcomN
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 xp1st 8006 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
32ad2antrl 725 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
4 xp1st 8006 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (1st β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
54ad2antll 726 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (1st β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
6 dvhvaddcl.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 dvhvaddcl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
86, 7ltrncom 40122 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ (1st β€˜πΊ) ∈ 𝑇) β†’ ((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)) = ((1st β€˜πΊ) ∘ (1st β€˜πΉ)))
91, 3, 5, 8syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)) = ((1st β€˜πΊ) ∘ (1st β€˜πΉ)))
10 xp2nd 8007 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
11 xp2nd 8007 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (2nd β€˜πΊ) ∈ 𝐸)
1210, 11anim12i 612 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸)) β†’ ((2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸 ∧ (2nd β€˜πΊ) ∈ 𝐸))
13 dvhvaddcl.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2726 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘)))) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))
156, 7, 13, 14tendoplcom 40166 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸 ∧ (2nd β€˜πΊ) ∈ 𝐸) β†’ ((2nd β€˜πΉ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΊ)) = ((2nd β€˜πΊ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΉ)))
16153expb 1117 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸 ∧ (2nd β€˜πΊ) ∈ 𝐸)) β†’ ((2nd β€˜πΉ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΊ)) = ((2nd β€˜πΊ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΉ)))
1712, 16sylan2 592 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((2nd β€˜πΉ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΊ)) = ((2nd β€˜πΊ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΉ)))
18 dvhvaddcl.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 dvhvaddcl.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
20 dvhvaddcl.p . . . . . . 7 ⨣ = (+gβ€˜π·)
216, 7, 13, 18, 19, 14, 20dvhfplusr 40468 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⨣ = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘)))))
2221adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ⨣ = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘)))))
2322oveqd 7422 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ)) = ((2nd β€˜πΉ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΊ)))
2422oveqd 7422 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((2nd β€˜πΊ) ⨣ (2nd β€˜πΉ)) = ((2nd β€˜πΊ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΉ)))
2517, 23, 243eqtr4d 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ)) = ((2nd β€˜πΊ) ⨣ (2nd β€˜πΉ)))
269, 25opeq12d 4876 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ⟨((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)), ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ))⟩ = ⟨((1st β€˜πΊ) ∘ (1st β€˜πΉ)), ((2nd β€˜πΊ) ⨣ (2nd β€˜πΉ))⟩)
27 dvhvaddcl.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
286, 7, 13, 18, 19, 27, 20dvhvadd 40476 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐹 + 𝐺) = ⟨((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)), ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ))⟩)
296, 7, 13, 18, 19, 27, 20dvhvadd 40476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐺 + 𝐹) = ⟨((1st β€˜πΊ) ∘ (1st β€˜πΉ)), ((2nd β€˜πΊ) ⨣ (2nd β€˜πΉ))⟩)
3029ancom2s 647 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐺 + 𝐹) = ⟨((1st β€˜πΊ) ∘ (1st β€˜πΉ)), ((2nd β€˜πΊ) ⨣ (2nd β€˜πΉ))⟩)
3126, 28, 303eqtr4d 2776 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐹 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136  DVecHcdvh 40462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dvech 40463
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator