Theorem z12negscl 28869

Description: The dyadics are closed under negation. (Contributed by Scott Fenton, 9-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
z12negscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2])

Proof of Theorem z12negscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ( -s‘𝑥) → (𝑧 /su (2s↑s𝑦)) = (( -s‘𝑥) /su (2s↑s𝑦)))
2	1	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ( -s‘𝑥) → (( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)) ↔ ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (( -s‘𝑥) /su (2s↑s𝑦))))
3		znegscl 28783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤs → ( -s‘𝑥) ∈ ℤs)
4	3	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → ( -s‘𝑥) ∈ ℤs)
5		zno 28773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤs → 𝑥 ∈ No)
6	5	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → 𝑥 ∈ No)
7		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → 𝑦 ∈ ℕ0s)
8	6, 7	pw2divsnegd 28840	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (( -s‘𝑥) /su (2s↑s𝑦)))
9	2, 4, 8	rspcedvdw 3579	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
10		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ( -s‘𝐴) = ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))))
11	10	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → (( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)) ↔ ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦))))
12	11	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦))))
13	9, 12	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦))))
14	13	rexlimdva 3163	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0s → (∃𝑥 ∈ ℤs 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦))))
15	14	reximia 3097	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑥 ∈ ℤs 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
16		elz12s 28863	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
17		rexcom 3291	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑥 ∈ ℤs 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
18	16, 17	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑥 ∈ ℤs 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
19		elz12s 28863	. . 3 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑧 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
20		rexcom 3291	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
21	19, 20	bitri 278	. 2 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
22	15, 18, 21	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2])

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Nocsur 28002   -_scnegs 28410   /_su cdivs 28578  ℕ_0scn0s 28703  ℤ_sczs 28769  2_sc2s 28801  ↑_scexps 28803  ℤ_s[1/2]cz12s 28805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-nadd 8678  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-les 28107  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-0s 28198  df-1s 28199  df-made 28218  df-old 28219  df-left 28221  df-right 28222  df-norec 28329  df-norec2 28340  df-adds 28351  df-negs 28412  df-subs 28413  df-muls 28498  df-divs 28579  df-seqs 28675  df-n0s 28705  df-nns 28706  df-zs 28770  df-2s 28802  df-exps 28804  df-z12s 28806

This theorem is used by:  z12subscl  28870  z12negsclb  28872  z12bday  28876