Theorem z12negscl 28894

Description: The dyadics are closed under negation. (Contributed by Scott Fenton, 9-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
z12negscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2])

Proof of Theorem z12negscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ( -s‘𝑥) → (𝑧 /su (2s↑s𝑦)) = (( -s‘𝑥) /su (2s↑s𝑦)))
2	1	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ( -s‘𝑥) → (( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)) ↔ ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (( -s‘𝑥) /su (2s↑s𝑦))))
3		znegscl 28808	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤs → ( -s‘𝑥) ∈ ℤs)
4	3	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → ( -s‘𝑥) ∈ ℤs)
5		zno 28798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤs → 𝑥 ∈ No)
6	5	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → 𝑥 ∈ No)
7		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → 𝑦 ∈ ℕ0s)
8	6, 7	pw2divsnegd 28865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (( -s‘𝑥) /su (2s↑s𝑦)))
9	2, 4, 8	rspcedvdw 3583	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
10		fveq2 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ( -s‘𝐴) = ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))))
11	10	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → (( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)) ↔ ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦))))
12	11	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘(𝑥 /su (2s↑s𝑦))) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦))))
13	9, 12	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 ∈ ℤs) → (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦))))
14	13	rexlimdva 3167	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0s → (∃𝑥 ∈ ℤs 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦))))
15	14	reximia 3101	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑥 ∈ ℤs 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) → ∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
16		elz12s 28888	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
17		rexcom 3295	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑥 ∈ ℤs 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
18	16, 17	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑥 ∈ ℤs 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
19		elz12s 28888	. . 3 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑧 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
20		rexcom 3295	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
21	19, 20	bitri 278	. 2 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0s ∃𝑧 ∈ ℤs ( -s‘𝐴) = (𝑧 /su (2s↑s𝑦)))
22	15, 18, 21	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] → ( -s‘𝐴) ∈ ℤs[1/2])

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   -_scnegs 28435   /_su cdivs 28603  ℕ_0scn0s 28728  ℤ_sczs 28794  2_sc2s 28826  ↑_scexps 28828  ℤ_s[1/2]cz12s 28830

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-nadd 8703  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-1s 28224  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-norec 28354  df-norec2 28365  df-adds 28376  df-negs 28437  df-subs 28438  df-muls 28523  df-divs 28604  df-seqs 28700  df-n0s 28730  df-nns 28731  df-zs 28795  df-2s 28827  df-exps 28829  df-z12s 28831

This theorem is used by:  z12subscl  28895  z12negsclb  28897  z12bday  28901