MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zltlem1 12027
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zltlem1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))

Proof of Theorem zltlem1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 12017 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2 zleltp1 12025 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
31, 2sylan2 595 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
4 zcn 11978 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 10588 . . . . 5 1 ∈ ℂ
6 npcan 10888 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 589 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87adantl 485 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
98breq2d 5045 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝑀 < 𝑁))
103, 9bitr2d 283 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cc 10528  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  cz 11973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974
This theorem is referenced by:  nn0ltlem1  12034  nn0lt2  12037  nn0le2is012  12038  nnltlem1  12041  nnm1ge0  12042  zextlt  12048  uzm1  12268  elfzm11  12977  preduz  13028  predfz  13031  elfzo  13039  fzosplitprm1  13146  intfracq  13226  seqf1olem1  13409  seqcoll  13822  isercolllem1  15017  fzm1ndvds  15668  bitscmp  15781  nn0seqcvgd  15908  isprm3  16021  ncoprmlnprm  16062  prmdiveq  16117  4sqlem12  16286  degltlem1  24677  dgreq0  24866  wilthlem1  25657  lgseisenlem2  25964  lgsquadlem1  25968  2lgslem1a1  25977  2sqlem8  26014  crctcshwlkn0lem4  27603  clwlkclwwlklem2a4  27786  clwlkclwwlklem2a  27787  frgrreggt1  28182  bcm1n  30548  smatrcl  31153  ballotlemimin  31877  ballotlemfrcn0  31901  knoppndvlem2  33966  poimirlem2  35058  poimirlem24  35080  zltlem1d  39265  metakunt7  39353  metakunt21  39367  metakunt22  39368  metakunt24  39370  fmul01lt1lem2  42224  fourierdlem41  42787  fourierdlem42  42788  fourierdlem50  42795  fourierdlem64  42809  fourierdlem79  42824  etransclem44  42917  etransclem48  42921  pw2m1lepw2m1  44926  fllog2  44979
  Copyright terms: Public domain W3C validator