MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zltlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zltlem1 11680
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zltlem1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))

Proof of Theorem zltlem1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 11670 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2 zleltp1 11678 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
31, 2sylan2 586 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
4 zcn 11631 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 10249 . . . . 5 1 ∈ ℂ
6 npcan 10546 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 580 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87adantl 473 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
98breq2d 4823 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝑀 < 𝑁))
103, 9bitr2d 271 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  cc 10189  1c1 10192   + caddc 10194   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522  cz 11626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627
This theorem is referenced by:  nn0ltlem1  11687  nn0lt2  11690  nn0le2is012  11691  nnltlem1  11694  nnm1ge0  11695  zextlt  11701  uzm1  11921  elfzm11  12621  preduz  12672  predfz  12675  elfzo  12683  fzosplitprm1  12789  intfracq  12869  seqf1olem1  13050  seqcoll  13452  isercolllem1  14683  fzm1ndvds  15332  bitscmp  15444  nn0seqcvgd  15567  isprm3  15679  ncoprmlnprm  15718  prmdiveq  15773  4sqlem12  15942  degltlem1  24126  dgreq0  24315  wilthlem1  25088  lgseisenlem2  25395  lgsquadlem1  25399  2lgslem1a1  25408  2sqlem8  25445  crctcshwlkn0lem4  27001  clwlkclwwlklem2a4  27227  clwlkclwwlklem2a  27228  frgrreggt1  27712  bcm1n  30006  smatrcl  30312  ballotlemimin  31018  ballotlemfrcn0  31042  knoppndvlem2  32946  poimirlem2  33838  poimirlem24  33860  fmul01lt1lem2  40458  fourierdlem41  41005  fourierdlem42  41006  fourierdlem50  41013  fourierdlem64  41027  fourierdlem79  41042  etransclem44  41135  etransclem48  41139  pw2m1lepw2m1  42982  fllog2  43034
  Copyright terms: Public domain W3C validator