Theorem zltlem1 12616

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zltlem1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))

Proof of Theorem zltlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12606	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2		zleltp1 12614	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
3	1, 2	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1)))
4		zcn 12564	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11167	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		npcan 11470	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7	4, 5, 6	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
9	8	breq2d 5153	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝑀 < 𝑁))
10	3, 9	bitr2d 280	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11445  ℤcz 12559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560

This theorem is referenced by:  nn0ltlem1  12623  nn0lt2  12626  nn0le2is012  12627  nnltlem1  12630  nnm1ge0  12631  zextlt  12637  uzm1  12861  elfzm11  13575  preduz  13626  predfz  13629  elfzo  13637  fzosplitprm1  13745  intfracq  13827  seqf1olem1  14009  seqcoll  14428  isercolllem1  15614  fzm1ndvds  16269  bitscmp  16383  nn0seqcvgd  16511  isprm3  16624  ncoprmlnprm  16670  prmdiveq  16725  4sqlem12  16895  degltlem1  25958  dgreq0  26150  wilthlem1  26950  lgseisenlem2  27259  lgsquadlem1  27263  2lgslem1a1  27272  2sqlem8  27309  crctcshwlkn0lem4  29571  clwlkclwwlklem2a4  29754  clwlkclwwlklem2a  29755  frgrreggt1  30150  bcm1n  32510  ply1degltel  33169  smatrcl  33305  ballotlemimin  34033  ballotlemfrcn0  34057  knoppndvlem2  35896  poimirlem2  37002  poimirlem24  37024  zltlem1d  41359  sticksstones10  41514  metakunt7  41534  metakunt21  41548  metakunt22  41549  metakunt24  41551  fmul01lt1lem2  44855  fourierdlem41  45418  fourierdlem42  45419  fourierdlem50  45426  fourierdlem64  45440  fourierdlem79  45455  etransclem44  45548  etransclem48  45552  pw2m1lepw2m1  47458  fllog2  47511