Theorem peano2zm 12565

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12552	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12564	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 698	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360  1c1 11034   − cmin 11372  ℤcz 12519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12574  zltlem1  12575  zextlt  12598  zeo  12610  eluzp1m1  12809  uzm1  12817  zbtwnre  12891  fz01en  13501  fzsuc2  13531  elfzm11  13544  uzdisj  13546  preduz  13599  predfz  13602  elfzo  13610  fzon  13630  fzoss2  13637  fzossrbm1  13638  fzosplitsnm1  13690  ubmelm1fzo  13713  elfzom1b  13716  fzosplitprm1  13728  fzoshftral  13737  sermono  13991  seqf1olem1  13998  seqf1olem2  13999  bcm1k  14272  bcn2  14276  bcp1m1  14277  bcpasc  14278  bccl  14279  hashbclem  14409  seqcoll  14421  revccat  14723  revrev  14724  absrdbnd  15299  fsumm1  15708  binomlem  15789  isumsplit  15800  climcndslem1  15809  arisum2  15821  pwdif  15828  pwm1geoser  15829  mertenslem1  15844  fprodser  15909  fprodm1  15927  risefacval2  15970  fallfacval2  15971  fallfacval3  15972  fallfacfwd  15996  binomfallfaclem2  16000  3dvds  16295  oddm1even  16307  oddp1even  16308  mod2eq1n2dvds  16311  zob  16323  nno  16346  pwp1fsum  16355  isprm3  16647  ncoprmlnprm  16693  hashdvds  16740  pockthlem  16871  4sqlem11  16921  vdwapun  16940  vdwnnlem2  16962  chnccat  18587  efgsp1  19707  efgsres  19708  srgbinomlem4  20205  srgbinomlem  20206  znunit  21542  dvexp3  25967  dvfsumlem1  26015  degltlem1  26059  atantayl2  26924  wilthlem1  27053  basellem5  27070  mersenne  27212  perfectlem1  27214  lgslem1  27282  lgsval2lem  27292  lgseisenlem1  27360  lgseisenlem2  27361  lgseisenlem3  27362  lgsquadlem1  27365  lgsquadlem3  27367  lgsquad2lem1  27369  lgsquad3  27372  2sqlem8  27411  2sqblem  27416  dchrisumlem1  27474  logdivbnd  27541  pntrsumbnd2  27552  ostth2lem3  27620  axlowdim  29052  pthdlem1  29856  pthdlem2  29858  wwlksm1edg  29971  clwwlkccatlem  30081  clwlkclwwlklem2fv1  30087  clwlkclwwlklem2a4  30089  clwlkclwwlklem2a  30090  clwlkclwwlklem2  30092  clwlkclwwlk  30094  clwwisshclwwslem  30106  clwwlkf  30139  wwlksubclwwlk  30150  numclwwlk5  30480  numclwwlk7  30483  frgrreggt1  30485  0nn0m1nnn0  35356  erdszelem7  35440  elfzm12  35918  fz0n  35974  fwddifnp1  36408  knoppndvlem2  36834  ltflcei  37990  poimirlem1  38003  poimirlem2  38004  poimirlem6  38008  poimirlem7  38009  poimirlem8  38010  poimirlem9  38011  poimirlem15  38017  poimirlem16  38018  poimirlem17  38019  poimirlem18  38020  poimirlem19  38021  poimirlem20  38022  poimirlem24  38026  poimirlem27  38029  poimirlem31  38033  poimirlem32  38034  mettrifi  38139  rmxluc  43396  rmyluc  43397  jm2.24  43423  jm2.18  43448  jm2.22  43455  jm2.23  43456  jm2.26lem3  43461  jm2.15nn0  43463  jm2.16nn0  43464  jm2.27a  43465  jm2.27c  43467  jm3.1lem3  43479  hashnzfz  44779  monoords  45759  fzisoeu  45762  dvnmul  46400  stoweidlem11  46468  dirkercncflem1  46560  fourierdlem48  46611  fourierdlem49  46612  fourierdlem65  46628  fourierdlem79  46642  chnsubseq  47339  zm1nn  47779  flmrecm1  47820  m1modmmod  47841  difmodm1lt  47842  muldvdsfacgt  47863  iccpartipre  47910  sfprmdvdsmersenne  48095  lighneallem4a  48100  proththd  48106  dfodd6  48142  evenm1odd  48144  oddm1eveni  48147  onego  48151  m1expoddALTV  48153  dfodd4  48164  oddflALTV  48168  oddm1evenALTV  48180  nnoALTV  48200  perfectALTVlem1  48226  altgsumbcALT  48858  pw2m1lepw2m1  49025  zofldiv2  49036  logbpw2m1  49072  nnolog2flm1  49095  dignn0flhalflem1  49120