Theorem peano2zm 12686

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12673	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12685	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  1c1 11150   − cmin 11490  ℤcz 12640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-n0 12554  df-z 12641

This theorem is used by:  zlem1lt  12695  zltlem1  12696  0nn0m1nnn0  12700  zextlt  12720  zeo  12732  eluzp1m1  12938  uzm1  12946  zbtwnre  13020  fz01en  13632  fzsuc2  13662  elfzm11  13675  uzdisj  13677  preduz  13730  predfz  13733  elfzo  13741  fzon  13761  fzoss2  13768  fzossrbm1  13769  fzosplitsnm1  13821  ubmelm1fzo  13844  elfzom1b  13847  fzosplitprm1  13859  fzoshftral  13868  sermono  14123  seqf1olem1  14130  seqf1olem2  14131  bcm1k  14404  bcn2  14408  bcp1m1  14409  bcpasc  14410  bccl  14411  hashbclem  14542  seqcoll  14554  revccat  14860  revrev  14861  absrdbnd  15454  fsumm1  15862  binomlem  15943  isumsplit  15954  climcndslem1  15963  arisum2  15975  pwdif  15982  pwm1geoser  15983  mertenslem1  15998  fprodser  16061  fprodm1  16079  risefacval2  16122  fallfacval2  16123  fallfacval3  16124  fallfacfwd  16147  binomfallfaclem2  16151  3dvds  16446  oddm1even  16458  oddp1even  16459  mod2eq1n2dvds  16462  zob  16474  nno  16497  pwp1fsum  16506  isprm3  16798  ncoprmlnprm  16844  hashdvds  16891  pockthlem  17022  4sqlem11  17072  vdwapun  17091  vdwnnlem2  17113  chnccat  18739  efgsp1  19890  efgsres  19891  srgbinomlem4  20394  srgbinomlem  20395  znunit  21808  dvexp3  26237  dvfsumlem1  26285  degltlem1  26329  atantayl2  27207  wilthlem1  27336  basellem5  27353  mersenne  27495  perfectlem1  27497  lgslem1  27565  lgsval2lem  27575  lgseisenlem1  27643  lgseisenlem2  27644  lgseisenlem3  27645  lgsquadlem1  27648  lgsquadlem3  27650  lgsquad2lem1  27652  lgsquad3  27655  2sqlem8  27694  2sqblem  27699  dchrisumlem1  27757  logdivbnd  27824  pntrsumbnd2  27835  ostth2lem3  27903  axlowdim  29450  pthdlem1  30263  pthdlem2  30265  wwlksm1edg  30381  clwwlkccatlem  30491  clwlkclwwlklem2fv1  30497  clwlkclwwlklem2a4  30499  clwlkclwwlklem2a  30500  clwlkclwwlklem2  30502  clwlkclwwlk  30504  clwwisshclwwslem  30516  clwwlkf  30549  wwlksubclwwlk  30560  numclwwlk5  30900  numclwwlk7  30903  frgrreggt1  30905  erdszelem7  35859  elfzm12  36337  fz0n  36393  fwddifnp1  36828  knoppndvlem2  37277  ltflcei  38427  poimirlem1  38435  poimirlem2  38436  poimirlem6  38440  poimirlem7  38441  poimirlem8  38442  poimirlem9  38443  poimirlem15  38449  poimirlem16  38450  poimirlem17  38451  poimirlem18  38452  poimirlem19  38453  poimirlem20  38454  poimirlem24  38458  poimirlem27  38461  poimirlem31  38465  poimirlem32  38466  mettrifi  38572  rmxluc  43842  rmyluc  43843  jm2.24  43869  jm2.18  43894  jm2.22  43901  jm2.23  43902  jm2.26lem3  43907  jm2.15nn0  43909  jm2.16nn0  43910  jm2.27a  43911  jm2.27c  43913  jm3.1lem3  43925  hashnzfz  45209  monoords  46195  fzisoeu  46198  dvnmul  46836  stoweidlem11  46904  dirkercncflem1  46996  fourierdlem48  47047  fourierdlem49  47048  fourierdlem65  47064  fourierdlem79  47078  chnsubseq  47773  zm1nn  48255  flmrecm1  48296  m1modmmod  48317  difmodm1lt  48318  muldvdsfacgt  48339  iccpartipre  48386  sfprmdvdsmersenne  48571  lighneallem4a  48576  proththd  48582  dfodd6  48618  evenm1odd  48620  oddm1eveni  48623  onego  48627  m1expoddALTV  48629  dfodd4  48640  oddflALTV  48644  oddm1evenALTV  48656  nnoALTV  48676  perfectALTVlem1  48702  altgsumbcALT  49348  pw2m1lepw2m1  49515  zofldiv2  49526  logbpw2m1  49562  nnolog2flm1  49585  dignn0flhalflem1  49610