Theorem peano2zm 12013

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12000	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12012	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  1c1 10527   − cmin 10859  ℤcz 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12022  zltlem1  12023  zextlt  12044  zeo  12056  eluzp1m1  12256  uzm1  12264  zbtwnre  12334  fz01en  12930  fzsuc2  12960  elfzm11  12973  uzdisj  12975  preduz  13024  predfz  13027  elfzo  13035  fzon  13053  fzoss2  13060  fzossrbm1  13061  fzosplitsnm1  13107  ubmelm1fzo  13128  elfzom1b  13131  fzosplitprm1  13142  fzoshftral  13149  sermono  13398  seqf1olem1  13405  seqf1olem2  13406  bcm1k  13671  bcn2  13675  bcp1m1  13676  bcpasc  13677  bccl  13678  hashbclem  13806  seqcoll  13818  revccat  14119  revrev  14120  absrdbnd  14693  fsumm1  15098  binomlem  15176  isumsplit  15187  climcndslem1  15196  arisum2  15208  pwdif  15215  pwm1geoser  15216  mertenslem1  15232  fprodser  15295  fprodm1  15313  risefacval2  15356  fallfacval2  15357  fallfacval3  15358  fallfacfwd  15382  binomfallfaclem2  15386  3dvds  15672  oddm1even  15684  oddp1even  15685  mod2eq1n2dvds  15688  zob  15700  nno  15723  pwp1fsum  15732  isprm3  16017  ncoprmlnprm  16058  hashdvds  16102  pockthlem  16231  4sqlem11  16281  vdwapun  16300  vdwnnlem2  16322  efgsp1  18855  efgsres  18856  srgbinomlem4  19286  srgbinomlem  19287  znunit  20255  dvexp3  24581  dvfsumlem1  24629  degltlem1  24673  atantayl2  25524  wilthlem1  25653  basellem5  25670  mersenne  25811  perfectlem1  25813  lgslem1  25881  lgsval2lem  25891  lgseisenlem1  25959  lgseisenlem2  25960  lgseisenlem3  25961  lgsquadlem1  25964  lgsquadlem3  25966  lgsquad2lem1  25968  lgsquad3  25971  2sqlem8  26010  2sqblem  26015  dchrisumlem1  26073  logdivbnd  26140  pntrsumbnd2  26151  ostth2lem3  26219  axlowdim  26755  pthdlem1  27555  pthdlem2  27557  wwlksm1edg  27667  clwwlkccatlem  27774  clwlkclwwlklem2fv1  27780  clwlkclwwlklem2a4  27782  clwlkclwwlklem2a  27783  clwlkclwwlklem2  27785  clwlkclwwlk  27787  clwwisshclwwslem  27799  clwwlkf  27832  wwlksubclwwlk  27843  numclwwlk5  28173  numclwwlk7  28176  frgrreggt1  28178  0nn0m1nnn0  32461  erdszelem7  32557  elfzm12  33031  fz0n  33075  fwddifnp1  33739  knoppndvlem2  33965  ltflcei  35045  poimirlem1  35058  poimirlem2  35059  poimirlem6  35063  poimirlem7  35064  poimirlem8  35065  poimirlem9  35066  poimirlem15  35072  poimirlem16  35073  poimirlem17  35074  poimirlem18  35075  poimirlem19  35076  poimirlem20  35077  poimirlem24  35081  poimirlem27  35084  poimirlem31  35088  poimirlem32  35089  mettrifi  35195  rmxluc  39877  rmyluc  39878  jm2.24  39904  jm2.18  39929  jm2.22  39936  jm2.23  39937  jm2.26lem3  39942  jm2.15nn0  39944  jm2.16nn0  39945  jm2.27a  39946  jm2.27c  39948  jm3.1lem3  39960  hashnzfz  41024  monoords  41929  fzisoeu  41932  dvnmul  42585  stoweidlem11  42653  dirkercncflem1  42745  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem65  42813  fourierdlem79  42827  zm1nn  43859  iccpartipre  43938  sfprmdvdsmersenne  44121  lighneallem4a  44126  proththd  44132  dfodd6  44155  evenm1odd  44157  oddm1eveni  44160  onego  44164  m1expoddALTV  44166  dfodd4  44177  oddflALTV  44181  oddm1evenALTV  44193  nnoALTV  44213  perfectALTVlem1  44239  altgsumbcALT  44755  pw2m1lepw2m1  44929  m1modmmod  44935  difmodm1lt  44936  zofldiv2  44945  logbpw2m1  44981  nnolog2flm1  45004  dignn0flhalflem1  45029