Theorem peano2zm 12641

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12628	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12640	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  1c1 11105   − cmin 11445  ℤcz 12595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596

This theorem is used by:  zlem1lt  12650  zltlem1  12651  zextlt  12674  zeo  12686  eluzp1m1  12892  uzm1  12900  zbtwnre  12974  fz01en  13585  fzsuc2  13615  elfzm11  13628  uzdisj  13630  preduz  13683  predfz  13686  elfzo  13694  fzon  13714  fzoss2  13721  fzossrbm1  13722  fzosplitsnm1  13774  ubmelm1fzo  13797  elfzom1b  13800  fzosplitprm1  13812  fzoshftral  13821  sermono  14075  seqf1olem1  14082  seqf1olem2  14083  bcm1k  14356  bcn2  14360  bcp1m1  14361  bcpasc  14362  bccl  14363  hashbclem  14494  seqcoll  14506  revccat  14808  revrev  14809  absrdbnd  15398  fsumm1  15807  binomlem  15888  isumsplit  15899  climcndslem1  15908  arisum2  15920  pwdif  15927  pwm1geoser  15928  mertenslem1  15943  fprodser  16008  fprodm1  16026  risefacval2  16069  fallfacval2  16070  fallfacval3  16071  fallfacfwd  16094  binomfallfaclem2  16098  3dvds  16393  oddm1even  16405  oddp1even  16406  mod2eq1n2dvds  16409  zob  16421  nno  16444  pwp1fsum  16453  isprm3  16745  ncoprmlnprm  16791  hashdvds  16838  pockthlem  16969  4sqlem11  17019  vdwapun  17038  vdwnnlem2  17060  chnccat  18686  efgsp1  19811  efgsres  19812  srgbinomlem4  20315  srgbinomlem  20316  znunit  21722  dvexp3  26146  dvfsumlem1  26194  degltlem1  26238  atantayl2  27112  wilthlem1  27241  basellem5  27258  mersenne  27400  perfectlem1  27402  lgslem1  27470  lgsval2lem  27480  lgseisenlem1  27548  lgseisenlem2  27549  lgseisenlem3  27550  lgsquadlem1  27553  lgsquadlem3  27555  lgsquad2lem1  27557  lgsquad3  27560  2sqlem8  27599  2sqblem  27604  dchrisumlem1  27662  logdivbnd  27729  pntrsumbnd2  27740  ostth2lem3  27808  axlowdim  29320  pthdlem1  30124  pthdlem2  30126  wwlksm1edg  30239  clwwlkccatlem  30349  clwlkclwwlklem2fv1  30355  clwlkclwwlklem2a4  30357  clwlkclwwlklem2a  30358  clwlkclwwlklem2  30360  clwlkclwwlk  30362  clwwisshclwwslem  30374  clwwlkf  30407  wwlksubclwwlk  30418  numclwwlk5  30748  numclwwlk7  30751  frgrreggt1  30753  0nn0m1nnn0  35612  erdszelem7  35697  elfzm12  36175  fz0n  36231  fwddifnp1  36665  knoppndvlem2  37130  ltflcei  38287  poimirlem1  38300  poimirlem2  38301  poimirlem6  38305  poimirlem7  38306  poimirlem8  38307  poimirlem9  38308  poimirlem15  38314  poimirlem16  38315  poimirlem17  38316  poimirlem18  38317  poimirlem19  38318  poimirlem20  38319  poimirlem24  38323  poimirlem27  38326  poimirlem31  38330  poimirlem32  38331  mettrifi  38436  rmxluc  43691  rmyluc  43692  jm2.24  43718  jm2.18  43743  jm2.22  43750  jm2.23  43751  jm2.26lem3  43756  jm2.15nn0  43758  jm2.16nn0  43759  jm2.27a  43760  jm2.27c  43762  jm3.1lem3  43774  hashnzfz  45058  monoords  46044  fzisoeu  46047  dvnmul  46685  stoweidlem11  46753  dirkercncflem1  46845  fourierdlem48  46896  fourierdlem49  46897  fourierdlem65  46913  fourierdlem79  46927  chnsubseq  47624  zm1nn  48067  flmrecm1  48108  m1modmmod  48129  difmodm1lt  48130  muldvdsfacgt  48151  iccpartipre  48198  sfprmdvdsmersenne  48383  lighneallem4a  48388  proththd  48394  dfodd6  48430  evenm1odd  48432  oddm1eveni  48435  onego  48439  m1expoddALTV  48441  dfodd4  48452  oddflALTV  48456  oddm1evenALTV  48468  nnoALTV  48488  perfectALTVlem1  48514  altgsumbcALT  49161  pw2m1lepw2m1  49328  zofldiv2  49339  logbpw2m1  49375  nnolog2flm1  49398  dignn0flhalflem1  49423