Theorem peano2zm 12576

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12563	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12575	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  1c1 11069   − cmin 11405  ℤcz 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12585  zltlem1  12586  zextlt  12608  zeo  12620  eluzp1m1  12819  uzm1  12831  zbtwnre  12905  fz01en  13513  fzsuc2  13543  elfzm11  13556  uzdisj  13558  preduz  13611  predfz  13614  elfzo  13622  fzon  13641  fzoss2  13648  fzossrbm1  13649  fzosplitsnm1  13701  ubmelm1fzo  13724  elfzom1b  13727  fzosplitprm1  13738  fzoshftral  13745  sermono  13999  seqf1olem1  14006  seqf1olem2  14007  bcm1k  14280  bcn2  14284  bcp1m1  14285  bcpasc  14286  bccl  14287  hashbclem  14417  seqcoll  14429  revccat  14731  revrev  14732  absrdbnd  15308  fsumm1  15717  binomlem  15795  isumsplit  15806  climcndslem1  15815  arisum2  15827  pwdif  15834  pwm1geoser  15835  mertenslem1  15850  fprodser  15915  fprodm1  15933  risefacval2  15976  fallfacval2  15977  fallfacval3  15978  fallfacfwd  16002  binomfallfaclem2  16006  3dvds  16301  oddm1even  16313  oddp1even  16314  mod2eq1n2dvds  16317  zob  16329  nno  16352  pwp1fsum  16361  isprm3  16653  ncoprmlnprm  16698  hashdvds  16745  pockthlem  16876  4sqlem11  16926  vdwapun  16945  vdwnnlem2  16967  efgsp1  19667  efgsres  19668  srgbinomlem4  20138  srgbinomlem  20139  znunit  21473  dvexp3  25882  dvfsumlem1  25932  degltlem1  25977  atantayl2  26848  wilthlem1  26978  basellem5  26995  mersenne  27138  perfectlem1  27140  lgslem1  27208  lgsval2lem  27218  lgseisenlem1  27286  lgseisenlem2  27287  lgseisenlem3  27288  lgsquadlem1  27291  lgsquadlem3  27293  lgsquad2lem1  27295  lgsquad3  27298  2sqlem8  27337  2sqblem  27342  dchrisumlem1  27400  logdivbnd  27467  pntrsumbnd2  27478  ostth2lem3  27546  axlowdim  28888  pthdlem1  29696  pthdlem2  29698  wwlksm1edg  29811  clwwlkccatlem  29918  clwlkclwwlklem2fv1  29924  clwlkclwwlklem2a4  29926  clwlkclwwlklem2a  29927  clwlkclwwlklem2  29929  clwlkclwwlk  29931  clwwisshclwwslem  29943  clwwlkf  29976  wwlksubclwwlk  29987  numclwwlk5  30317  numclwwlk7  30320  frgrreggt1  30322  0nn0m1nnn0  35100  erdszelem7  35184  elfzm12  35662  fz0n  35718  fwddifnp1  36153  knoppndvlem2  36501  ltflcei  37602  poimirlem1  37615  poimirlem2  37616  poimirlem6  37620  poimirlem7  37621  poimirlem8  37622  poimirlem9  37623  poimirlem15  37629  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem18  37632  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  poimirlem24  37638  poimirlem27  37641  poimirlem31  37645  poimirlem32  37646  mettrifi  37751  rmxluc  42925  rmyluc  42926  jm2.24  42952  jm2.18  42977  jm2.22  42984  jm2.23  42985  jm2.26lem3  42990  jm2.15nn0  42992  jm2.16nn0  42993  jm2.27a  42994  jm2.27c  42996  jm3.1lem3  43008  hashnzfz  44309  monoords  45295  fzisoeu  45298  dvnmul  45941  stoweidlem11  46009  dirkercncflem1  46101  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem65  46169  fourierdlem79  46183  zm1nn  47303  m1modmmod  47359  difmodm1lt  47360  iccpartipre  47422  sfprmdvdsmersenne  47604  lighneallem4a  47609  proththd  47615  dfodd6  47638  evenm1odd  47640  oddm1eveni  47643  onego  47647  m1expoddALTV  47649  dfodd4  47660  oddflALTV  47664  oddm1evenALTV  47676  nnoALTV  47696  perfectALTVlem1  47722  altgsumbcALT  48341  pw2m1lepw2m1  48509  zofldiv2  48520  logbpw2m1  48556  nnolog2flm1  48579  dignn0flhalflem1  48604