Theorem peano2zm 12565

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12552	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12564	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362  1c1 11034   − cmin 11372  ℤcz 12519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12574  zltlem1  12575  zextlt  12598  zeo  12610  eluzp1m1  12809  uzm1  12817  zbtwnre  12891  fz01en  13501  fzsuc2  13531  elfzm11  13544  uzdisj  13546  preduz  13599  predfz  13602  elfzo  13610  fzon  13630  fzoss2  13637  fzossrbm1  13638  fzosplitsnm1  13690  ubmelm1fzo  13713  elfzom1b  13716  fzosplitprm1  13728  fzoshftral  13737  sermono  13991  seqf1olem1  13998  seqf1olem2  13999  bcm1k  14272  bcn2  14276  bcp1m1  14277  bcpasc  14278  bccl  14279  hashbclem  14409  seqcoll  14421  revccat  14723  revrev  14724  absrdbnd  15299  fsumm1  15708  binomlem  15789  isumsplit  15800  climcndslem1  15809  arisum2  15821  pwdif  15828  pwm1geoser  15829  mertenslem1  15844  fprodser  15909  fprodm1  15927  risefacval2  15970  fallfacval2  15971  fallfacval3  15972  fallfacfwd  15996  binomfallfaclem2  16000  3dvds  16295  oddm1even  16307  oddp1even  16308  mod2eq1n2dvds  16311  zob  16323  nno  16346  pwp1fsum  16355  isprm3  16647  ncoprmlnprm  16693  hashdvds  16740  pockthlem  16871  4sqlem11  16921  vdwapun  16940  vdwnnlem2  16962  chnccat  18587  efgsp1  19707  efgsres  19708  srgbinomlem4  20205  srgbinomlem  20206  znunit  21557  dvexp3  25959  dvfsumlem1  26007  degltlem1  26051  atantayl2  26919  wilthlem1  27049  basellem5  27066  mersenne  27208  perfectlem1  27210  lgslem1  27278  lgsval2lem  27288  lgseisenlem1  27356  lgseisenlem2  27357  lgseisenlem3  27358  lgsquadlem1  27361  lgsquadlem3  27363  lgsquad2lem1  27365  lgsquad3  27368  2sqlem8  27407  2sqblem  27412  dchrisumlem1  27470  logdivbnd  27537  pntrsumbnd2  27548  ostth2lem3  27616  axlowdim  29048  pthdlem1  29853  pthdlem2  29855  wwlksm1edg  29968  clwwlkccatlem  30078  clwlkclwwlklem2fv1  30084  clwlkclwwlklem2a4  30086  clwlkclwwlklem2a  30087  clwlkclwwlklem2  30089  clwlkclwwlk  30091  clwwisshclwwslem  30103  clwwlkf  30136  wwlksubclwwlk  30147  numclwwlk5  30477  numclwwlk7  30480  frgrreggt1  30482  0nn0m1nnn0  35315  erdszelem7  35399  elfzm12  35877  fz0n  35933  fwddifnp1  36367  knoppndvlem2  36793  ltflcei  37947  poimirlem1  37960  poimirlem2  37961  poimirlem6  37965  poimirlem7  37966  poimirlem8  37967  poimirlem9  37968  poimirlem15  37974  poimirlem16  37975  poimirlem17  37976  poimirlem18  37977  poimirlem19  37978  poimirlem20  37979  poimirlem24  37983  poimirlem27  37986  poimirlem31  37990  poimirlem32  37991  mettrifi  38096  rmxluc  43386  rmyluc  43387  jm2.24  43413  jm2.18  43438  jm2.22  43445  jm2.23  43446  jm2.26lem3  43451  jm2.15nn0  43453  jm2.16nn0  43454  jm2.27a  43455  jm2.27c  43457  jm3.1lem3  43469  hashnzfz  44769  monoords  45752  fzisoeu  45755  dvnmul  46393  stoweidlem11  46461  dirkercncflem1  46553  fourierdlem48  46604  fourierdlem49  46605  fourierdlem65  46621  fourierdlem79  46635  chnsubseq  47330  zm1nn  47766  flmrecm1  47807  m1modmmod  47828  difmodm1lt  47829  muldvdsfacgt  47850  iccpartipre  47897  sfprmdvdsmersenne  48082  lighneallem4a  48087  proththd  48093  dfodd6  48129  evenm1odd  48131  oddm1eveni  48134  onego  48138  m1expoddALTV  48140  dfodd4  48151  oddflALTV  48155  oddm1evenALTV  48167  nnoALTV  48187  perfectALTVlem1  48213  altgsumbcALT  48845  pw2m1lepw2m1  49012  zofldiv2  49023  logbpw2m1  49059  nnolog2flm1  49082  dignn0flhalflem1  49107