Theorem peano2zm 12548

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12535	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12547	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370  1c1 11041   − cmin 11378  ℤcz 12502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12557  zltlem1  12558  zextlt  12580  zeo  12592  eluzp1m1  12791  uzm1  12799  zbtwnre  12873  fz01en  13482  fzsuc2  13512  elfzm11  13525  uzdisj  13527  preduz  13580  predfz  13583  elfzo  13591  fzon  13610  fzoss2  13617  fzossrbm1  13618  fzosplitsnm1  13670  ubmelm1fzo  13693  elfzom1b  13696  fzosplitprm1  13708  fzoshftral  13717  sermono  13971  seqf1olem1  13978  seqf1olem2  13979  bcm1k  14252  bcn2  14256  bcp1m1  14257  bcpasc  14258  bccl  14259  hashbclem  14389  seqcoll  14401  revccat  14703  revrev  14704  absrdbnd  15279  fsumm1  15688  binomlem  15766  isumsplit  15777  climcndslem1  15786  arisum2  15798  pwdif  15805  pwm1geoser  15806  mertenslem1  15821  fprodser  15886  fprodm1  15904  risefacval2  15947  fallfacval2  15948  fallfacval3  15949  fallfacfwd  15973  binomfallfaclem2  15977  3dvds  16272  oddm1even  16284  oddp1even  16285  mod2eq1n2dvds  16288  zob  16300  nno  16323  pwp1fsum  16332  isprm3  16624  ncoprmlnprm  16669  hashdvds  16716  pockthlem  16847  4sqlem11  16897  vdwapun  16916  vdwnnlem2  16938  chnccat  18563  efgsp1  19683  efgsres  19684  srgbinomlem4  20181  srgbinomlem  20182  znunit  21535  dvexp3  25955  dvfsumlem1  26005  degltlem1  26050  atantayl2  26921  wilthlem1  27051  basellem5  27068  mersenne  27211  perfectlem1  27213  lgslem1  27281  lgsval2lem  27291  lgseisenlem1  27359  lgseisenlem2  27360  lgseisenlem3  27361  lgsquadlem1  27364  lgsquadlem3  27366  lgsquad2lem1  27368  lgsquad3  27371  2sqlem8  27410  2sqblem  27415  dchrisumlem1  27473  logdivbnd  27540  pntrsumbnd2  27551  ostth2lem3  27619  axlowdim  29052  pthdlem1  29857  pthdlem2  29859  wwlksm1edg  29972  clwwlkccatlem  30082  clwlkclwwlklem2fv1  30088  clwlkclwwlklem2a4  30090  clwlkclwwlklem2a  30091  clwlkclwwlklem2  30093  clwlkclwwlk  30095  clwwisshclwwslem  30107  clwwlkf  30140  wwlksubclwwlk  30151  numclwwlk5  30481  numclwwlk7  30484  frgrreggt1  30486  0nn0m1nnn0  35335  erdszelem7  35419  elfzm12  35897  fz0n  35953  fwddifnp1  36387  knoppndvlem2  36741  ltflcei  37888  poimirlem1  37901  poimirlem2  37902  poimirlem6  37906  poimirlem7  37907  poimirlem8  37908  poimirlem9  37909  poimirlem15  37915  poimirlem16  37916  poimirlem17  37917  poimirlem18  37918  poimirlem19  37919  poimirlem20  37920  poimirlem24  37924  poimirlem27  37927  poimirlem31  37931  poimirlem32  37932  mettrifi  38037  rmxluc  43322  rmyluc  43323  jm2.24  43349  jm2.18  43374  jm2.22  43381  jm2.23  43382  jm2.26lem3  43387  jm2.15nn0  43389  jm2.16nn0  43390  jm2.27a  43391  jm2.27c  43393  jm3.1lem3  43405  hashnzfz  44705  monoords  45688  fzisoeu  45691  dvnmul  46330  stoweidlem11  46398  dirkercncflem1  46490  fourierdlem48  46541  fourierdlem49  46542  fourierdlem65  46558  fourierdlem79  46572  chnsubseq  47267  zm1nn  47691  m1modmmod  47747  difmodm1lt  47748  iccpartipre  47810  sfprmdvdsmersenne  47992  lighneallem4a  47997  proththd  48003  dfodd6  48026  evenm1odd  48028  oddm1eveni  48031  onego  48035  m1expoddALTV  48037  dfodd4  48048  oddflALTV  48052  oddm1evenALTV  48064  nnoALTV  48084  perfectALTVlem1  48110  altgsumbcALT  48742  pw2m1lepw2m1  48909  zofldiv2  48920  logbpw2m1  48956  nnolog2flm1  48979  dignn0flhalflem1  49004