Theorem peano2zm 12609

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12596	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12608	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  1c1 11113   − cmin 11448  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12618  zltlem1  12619  zextlt  12640  zeo  12652  eluzp1m1  12852  uzm1  12864  zbtwnre  12934  fz01en  13533  fzsuc2  13563  elfzm11  13576  uzdisj  13578  preduz  13627  predfz  13630  elfzo  13638  fzon  13657  fzoss2  13664  fzossrbm1  13665  fzosplitsnm1  13711  ubmelm1fzo  13732  elfzom1b  13735  fzosplitprm1  13746  fzoshftral  13753  sermono  14004  seqf1olem1  14011  seqf1olem2  14012  bcm1k  14279  bcn2  14283  bcp1m1  14284  bcpasc  14285  bccl  14286  hashbclem  14415  seqcoll  14429  revccat  14720  revrev  14721  absrdbnd  15292  fsumm1  15701  binomlem  15779  isumsplit  15790  climcndslem1  15799  arisum2  15811  pwdif  15818  pwm1geoser  15819  mertenslem1  15834  fprodser  15897  fprodm1  15915  risefacval2  15958  fallfacval2  15959  fallfacval3  15960  fallfacfwd  15984  binomfallfaclem2  15988  3dvds  16278  oddm1even  16290  oddp1even  16291  mod2eq1n2dvds  16294  zob  16306  nno  16329  pwp1fsum  16338  isprm3  16624  ncoprmlnprm  16668  hashdvds  16712  pockthlem  16842  4sqlem11  16892  vdwapun  16911  vdwnnlem2  16933  efgsp1  19646  efgsres  19647  srgbinomlem4  20123  srgbinomlem  20124  znunit  21338  dvexp3  25730  dvfsumlem1  25778  degltlem1  25825  atantayl2  26679  wilthlem1  26808  basellem5  26825  mersenne  26966  perfectlem1  26968  lgslem1  27036  lgsval2lem  27046  lgseisenlem1  27114  lgseisenlem2  27115  lgseisenlem3  27116  lgsquadlem1  27119  lgsquadlem3  27121  lgsquad2lem1  27123  lgsquad3  27126  2sqlem8  27165  2sqblem  27170  dchrisumlem1  27228  logdivbnd  27295  pntrsumbnd2  27306  ostth2lem3  27374  axlowdim  28486  pthdlem1  29290  pthdlem2  29292  wwlksm1edg  29402  clwwlkccatlem  29509  clwlkclwwlklem2fv1  29515  clwlkclwwlklem2a4  29517  clwlkclwwlklem2a  29518  clwlkclwwlklem2  29520  clwlkclwwlk  29522  clwwisshclwwslem  29534  clwwlkf  29567  wwlksubclwwlk  29578  numclwwlk5  29908  numclwwlk7  29911  frgrreggt1  29913  0nn0m1nnn0  34400  erdszelem7  34486  elfzm12  34958  fz0n  35004  fwddifnp1  35441  knoppndvlem2  35692  ltflcei  36779  poimirlem1  36792  poimirlem2  36793  poimirlem6  36797  poimirlem7  36798  poimirlem8  36799  poimirlem9  36800  poimirlem15  36806  poimirlem16  36807  poimirlem17  36808  poimirlem18  36809  poimirlem19  36810  poimirlem20  36811  poimirlem24  36815  poimirlem27  36818  poimirlem31  36822  poimirlem32  36823  mettrifi  36928  rmxluc  41977  rmyluc  41978  jm2.24  42004  jm2.18  42029  jm2.22  42036  jm2.23  42037  jm2.26lem3  42042  jm2.15nn0  42044  jm2.16nn0  42045  jm2.27a  42046  jm2.27c  42048  jm3.1lem3  42060  hashnzfz  43381  monoords  44305  fzisoeu  44308  dvnmul  44957  stoweidlem11  45025  dirkercncflem1  45117  fourierdlem48  45168  fourierdlem49  45169  fourierdlem65  45185  fourierdlem79  45199  zm1nn  46308  iccpartipre  46387  sfprmdvdsmersenne  46569  lighneallem4a  46574  proththd  46580  dfodd6  46603  evenm1odd  46605  oddm1eveni  46608  onego  46612  m1expoddALTV  46614  dfodd4  46625  oddflALTV  46629  oddm1evenALTV  46641  nnoALTV  46661  perfectALTVlem1  46687  altgsumbcALT  47117  pw2m1lepw2m1  47288  m1modmmod  47294  difmodm1lt  47295  zofldiv2  47304  logbpw2m1  47340  nnolog2flm1  47363  dignn0flhalflem1  47388