Theorem peano2zm 12763

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12750	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12762	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  1c1 11225   − cmin 11565  ℤcz 12717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718

This theorem is used by:  zlem1lt  12772  zltlem1  12773  0nn0m1nnn0  12777  zextlt  12797  zeo  12809  eluzp1m1  13015  uzm1  13023  zbtwnre  13097  fz01en  13710  fzsuc2  13740  elfzm11  13753  uzdisj  13755  preduz  13808  predfz  13811  elfzo  13819  fzon  13839  fzoss2  13846  fzossrbm1  13847  fzosplitsnm1  13899  ubmelm1fzo  13922  elfzom1b  13925  fzosplitprm1  13937  fzoshftral  13946  sermono  14201  seqf1olem1  14208  seqf1olem2  14209  bcm1k  14483  bcn2  14487  bcp1m1  14488  bcpasc  14489  bccl  14490  hashbclem  14621  seqcoll  14633  revccat  14940  revrev  14941  absrdbnd  15535  fsumm1  15943  binomlem  16024  isumsplit  16035  climcndslem1  16044  pwdif  16063  pwm1geoser  16064  mertenslem1  16079  fprodser  16142  fprodm1  16160  risefacval2  16203  fallfacval2  16204  fallfacval3  16205  fallfacfwd  16228  binomfallfaclem2  16232  3dvds  16527  oddm1even  16539  oddp1even  16540  mod2eq1n2dvds  16543  zob  16555  nno  16578  pwp1fsum  16587  isprm3  16884  ncoprmlnprm  16930  hashdvds  16978  pockthlem  17109  4sqlem11  17159  vdwapun  17178  vdwnnlem2  17200  chnccat  18826  efgsp1  19978  efgsres  19979  srgbinomlem4  20482  srgbinomlem  20483  znunit  21896  dvexp3  26325  dvfsumlem1  26373  degltlem1  26417  atantayl2  27293  wilthlem1  27422  basellem5  27439  mersenne  27581  perfectlem1  27583  lgslem1  27651  lgsval2lem  27661  lgseisenlem1  27729  lgseisenlem2  27730  lgseisenlem3  27731  lgsquadlem1  27734  lgsquadlem3  27736  lgsquad2lem1  27738  lgsquad3  27741  2sqlem8  27780  2sqblem  27785  dchrisumlem1  27843  logdivbnd  27910  pntrsumbnd2  27921  ostth2lem3  27989  axlowdim  29566  pthdlem1  30379  pthdlem2  30381  wwlksm1edg  30497  clwwlkccatlem  30607  clwlkclwwlklem2fv1  30613  clwlkclwwlklem2a4  30615  clwlkclwwlklem2a  30616  clwlkclwwlklem2  30618  clwlkclwwlk  30620  clwwisshclwwslem  30632  clwwlkf  30665  wwlksubclwwlk  30676  numclwwlk5  31016  numclwwlk7  31019  frgrreggt1  31021  erdszelem7  36128  elfzm12  36606  fz0n  36673  fwddifnp1  37107  knoppndvlem2  37556  ltflcei  38722  poimirlem1  38730  poimirlem2  38731  poimirlem6  38735  poimirlem7  38736  poimirlem8  38737  poimirlem9  38738  poimirlem15  38744  poimirlem16  38745  poimirlem17  38746  poimirlem18  38747  poimirlem19  38748  poimirlem20  38749  poimirlem24  38753  poimirlem27  38756  poimirlem31  38760  poimirlem32  38761  mettrifi  38882  rmxluc  44134  rmyluc  44135  jm2.24  44161  jm2.18  44186  jm2.22  44193  jm2.23  44194  jm2.26lem3  44199  jm2.15nn0  44201  jm2.16nn0  44202  jm2.27a  44203  jm2.27c  44205  jm3.1lem3  44217  hashnzfz  45494  monoords  46516  fzisoeu  46519  dvnmul  47156  stoweidlem11  47224  dirkercncflem1  47316  fourierdlem48  47367  fourierdlem49  47368  fourierdlem65  47384  fourierdlem79  47398  chnsubseq  48093  zm1nn  48575  flmrecm1  48616  m1modmmod  48637  difmodm1lt  48638  muldvdsfacgt  48659  iccpartipre  48706  sfprmdvdsmersenne  48891  lighneallem4a  48896  proththd  48902  dfodd6  48938  evenm1odd  48940  oddm1eveni  48943  onego  48947  m1expoddALTV  48949  dfodd4  48960  oddflALTV  48964  oddm1evenALTV  48976  nnoALTV  48996  perfectALTVlem1  49022  altgsumbcALT  49668  pw2m1lepw2m1  49835  zofldiv2  49846  logbpw2m1  49882  nnolog2flm1  49905  dignn0flhalflem1  49930