Theorem peano2zm 12662

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12649	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12661	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  1c1 11157   − cmin 11493  ℤcz 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12671  zltlem1  12672  zextlt  12694  zeo  12706  eluzp1m1  12905  uzm1  12917  zbtwnre  12989  fz01en  13593  fzsuc2  13623  elfzm11  13636  uzdisj  13638  preduz  13691  predfz  13694  elfzo  13702  fzon  13721  fzoss2  13728  fzossrbm1  13729  fzosplitsnm1  13780  ubmelm1fzo  13803  elfzom1b  13806  fzosplitprm1  13817  fzoshftral  13824  sermono  14076  seqf1olem1  14083  seqf1olem2  14084  bcm1k  14355  bcn2  14359  bcp1m1  14360  bcpasc  14361  bccl  14362  hashbclem  14492  seqcoll  14504  revccat  14805  revrev  14806  absrdbnd  15381  fsumm1  15788  binomlem  15866  isumsplit  15877  climcndslem1  15886  arisum2  15898  pwdif  15905  pwm1geoser  15906  mertenslem1  15921  fprodser  15986  fprodm1  16004  risefacval2  16047  fallfacval2  16048  fallfacval3  16049  fallfacfwd  16073  binomfallfaclem2  16077  3dvds  16369  oddm1even  16381  oddp1even  16382  mod2eq1n2dvds  16385  zob  16397  nno  16420  pwp1fsum  16429  isprm3  16721  ncoprmlnprm  16766  hashdvds  16813  pockthlem  16944  4sqlem11  16994  vdwapun  17013  vdwnnlem2  17035  efgsp1  19756  efgsres  19757  srgbinomlem4  20227  srgbinomlem  20228  znunit  21583  dvexp3  26017  dvfsumlem1  26067  degltlem1  26112  atantayl2  26982  wilthlem1  27112  basellem5  27129  mersenne  27272  perfectlem1  27274  lgslem1  27342  lgsval2lem  27352  lgseisenlem1  27420  lgseisenlem2  27421  lgseisenlem3  27422  lgsquadlem1  27425  lgsquadlem3  27427  lgsquad2lem1  27429  lgsquad3  27432  2sqlem8  27471  2sqblem  27476  dchrisumlem1  27534  logdivbnd  27601  pntrsumbnd2  27612  ostth2lem3  27680  axlowdim  28977  pthdlem1  29787  pthdlem2  29789  wwlksm1edg  29902  clwwlkccatlem  30009  clwlkclwwlklem2fv1  30015  clwlkclwwlklem2a4  30017  clwlkclwwlklem2a  30018  clwlkclwwlklem2  30020  clwlkclwwlk  30022  clwwisshclwwslem  30034  clwwlkf  30067  wwlksubclwwlk  30078  numclwwlk5  30408  numclwwlk7  30411  frgrreggt1  30413  0nn0m1nnn0  35119  erdszelem7  35203  elfzm12  35681  fz0n  35732  fwddifnp1  36167  knoppndvlem2  36515  ltflcei  37616  poimirlem1  37629  poimirlem2  37630  poimirlem6  37634  poimirlem7  37635  poimirlem8  37636  poimirlem9  37637  poimirlem15  37643  poimirlem16  37644  poimirlem17  37645  poimirlem18  37646  poimirlem19  37647  poimirlem20  37648  poimirlem24  37652  poimirlem27  37655  poimirlem31  37659  poimirlem32  37660  mettrifi  37765  rmxluc  42953  rmyluc  42954  jm2.24  42980  jm2.18  43005  jm2.22  43012  jm2.23  43013  jm2.26lem3  43018  jm2.15nn0  43020  jm2.16nn0  43021  jm2.27a  43022  jm2.27c  43024  jm3.1lem3  43036  hashnzfz  44344  monoords  45314  fzisoeu  45317  dvnmul  45963  stoweidlem11  46031  dirkercncflem1  46123  fourierdlem48  46174  fourierdlem49  46175  fourierdlem65  46191  fourierdlem79  46205  zm1nn  47319  iccpartipre  47413  sfprmdvdsmersenne  47595  lighneallem4a  47600  proththd  47606  dfodd6  47629  evenm1odd  47631  oddm1eveni  47634  onego  47638  m1expoddALTV  47640  dfodd4  47651  oddflALTV  47655  oddm1evenALTV  47667  nnoALTV  47687  perfectALTVlem1  47713  altgsumbcALT  48274  pw2m1lepw2m1  48442  m1modmmod  48447  difmodm1lt  48448  zofldiv2  48457  logbpw2m1  48493  nnolog2flm1  48516  dignn0flhalflem1  48541