Theorem peano2zm 12686

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12673	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12685	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   − cmin 11520  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12695  zltlem1  12696  zextlt  12717  zeo  12729  eluzp1m1  12929  uzm1  12941  zbtwnre  13011  fz01en  13612  fzsuc2  13642  elfzm11  13655  uzdisj  13657  preduz  13707  predfz  13710  elfzo  13718  fzon  13737  fzoss2  13744  fzossrbm1  13745  fzosplitsnm1  13791  ubmelm1fzo  13813  elfzom1b  13816  fzosplitprm1  13827  fzoshftral  13834  sermono  14085  seqf1olem1  14092  seqf1olem2  14093  bcm1k  14364  bcn2  14368  bcp1m1  14369  bcpasc  14370  bccl  14371  hashbclem  14501  seqcoll  14513  revccat  14814  revrev  14815  absrdbnd  15390  fsumm1  15799  binomlem  15877  isumsplit  15888  climcndslem1  15897  arisum2  15909  pwdif  15916  pwm1geoser  15917  mertenslem1  15932  fprodser  15997  fprodm1  16015  risefacval2  16058  fallfacval2  16059  fallfacval3  16060  fallfacfwd  16084  binomfallfaclem2  16088  3dvds  16379  oddm1even  16391  oddp1even  16392  mod2eq1n2dvds  16395  zob  16407  nno  16430  pwp1fsum  16439  isprm3  16730  ncoprmlnprm  16775  hashdvds  16822  pockthlem  16952  4sqlem11  17002  vdwapun  17021  vdwnnlem2  17043  efgsp1  19779  efgsres  19780  srgbinomlem4  20256  srgbinomlem  20257  znunit  21605  dvexp3  26036  dvfsumlem1  26086  degltlem1  26131  atantayl2  26999  wilthlem1  27129  basellem5  27146  mersenne  27289  perfectlem1  27291  lgslem1  27359  lgsval2lem  27369  lgseisenlem1  27437  lgseisenlem2  27438  lgseisenlem3  27439  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem3  27444  lgsquad2lem1  27446  lgsquad3  27449  2sqlem8  27488  2sqblem  27493  dchrisumlem1  27551  logdivbnd  27618  pntrsumbnd2  27629  ostth2lem3  27697  axlowdim  28994  pthdlem1  29802  pthdlem2  29804  wwlksm1edg  29914  clwwlkccatlem  30021  clwlkclwwlklem2fv1  30027  clwlkclwwlklem2a4  30029  clwlkclwwlklem2a  30030  clwlkclwwlklem2  30032  clwlkclwwlk  30034  clwwisshclwwslem  30046  clwwlkf  30079  wwlksubclwwlk  30090  numclwwlk5  30420  numclwwlk7  30423  frgrreggt1  30425  0nn0m1nnn0  35080  erdszelem7  35165  elfzm12  35643  fz0n  35693  fwddifnp1  36129  knoppndvlem2  36479  ltflcei  37568  poimirlem1  37581  poimirlem2  37582  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem8  37588  poimirlem9  37589  poimirlem15  37595  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem18  37598  poimirlem19  37599  poimirlem20  37600  poimirlem24  37604  poimirlem27  37607  poimirlem31  37611  poimirlem32  37612  mettrifi  37717  rmxluc  42893  rmyluc  42894  jm2.24  42920  jm2.18  42945  jm2.22  42952  jm2.23  42953  jm2.26lem3  42958  jm2.15nn0  42960  jm2.16nn0  42961  jm2.27a  42962  jm2.27c  42964  jm3.1lem3  42976  hashnzfz  44289  monoords  45212  fzisoeu  45215  dvnmul  45864  stoweidlem11  45932  dirkercncflem1  46024  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem65  46092  fourierdlem79  46106  zm1nn  47217  iccpartipre  47295  sfprmdvdsmersenne  47477  lighneallem4a  47482  proththd  47488  dfodd6  47511  evenm1odd  47513  oddm1eveni  47516  onego  47520  m1expoddALTV  47522  dfodd4  47533  oddflALTV  47537  oddm1evenALTV  47549  nnoALTV  47569  perfectALTVlem1  47595  altgsumbcALT  48078  pw2m1lepw2m1  48249  m1modmmod  48255  difmodm1lt  48256  zofldiv2  48265  logbpw2m1  48301  nnolog2flm1  48324  dignn0flhalflem1  48349