Theorem peano2zm 12374

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12361	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7272  1c1 10883   − cmin 11216  ℤcz 12330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-n0 12245  df-z 12331

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12383  zltlem1  12384  zextlt  12405  zeo  12417  eluzp1m1  12619  uzm1  12627  zbtwnre  12697  fz01en  13295  fzsuc2  13325  elfzm11  13338  uzdisj  13340  preduz  13389  predfz  13392  elfzo  13400  fzon  13419  fzoss2  13426  fzossrbm1  13427  fzosplitsnm1  13473  ubmelm1fzo  13494  elfzom1b  13497  fzosplitprm1  13508  fzoshftral  13515  sermono  13766  seqf1olem1  13773  seqf1olem2  13774  bcm1k  14040  bcn2  14044  bcp1m1  14045  bcpasc  14046  bccl  14047  hashbclem  14175  seqcoll  14189  revccat  14490  revrev  14491  absrdbnd  15064  fsumm1  15474  binomlem  15552  isumsplit  15563  climcndslem1  15572  arisum2  15584  pwdif  15591  pwm1geoser  15592  mertenslem1  15607  fprodser  15670  fprodm1  15688  risefacval2  15731  fallfacval2  15732  fallfacval3  15733  fallfacfwd  15757  binomfallfaclem2  15761  3dvds  16051  oddm1even  16063  oddp1even  16064  mod2eq1n2dvds  16067  zob  16079  nno  16102  pwp1fsum  16111  isprm3  16399  ncoprmlnprm  16443  hashdvds  16487  pockthlem  16617  4sqlem11  16667  vdwapun  16686  vdwnnlem2  16708  efgsp1  19354  efgsres  19355  srgbinomlem4  19790  srgbinomlem  19791  znunit  20782  dvexp3  25153  dvfsumlem1  25201  degltlem1  25248  atantayl2  26099  wilthlem1  26228  basellem5  26245  mersenne  26386  perfectlem1  26388  lgslem1  26456  lgsval2lem  26466  lgseisenlem1  26534  lgseisenlem2  26535  lgseisenlem3  26536  lgsquadlem1  26539  lgsquadlem3  26541  lgsquad2lem1  26543  lgsquad3  26546  2sqlem8  26585  2sqblem  26590  dchrisumlem1  26648  logdivbnd  26715  pntrsumbnd2  26726  ostth2lem3  26794  axlowdim  27340  pthdlem1  28143  pthdlem2  28145  wwlksm1edg  28255  clwwlkccatlem  28362  clwlkclwwlklem2fv1  28368  clwlkclwwlklem2a4  28370  clwlkclwwlklem2a  28371  clwlkclwwlklem2  28373  clwlkclwwlk  28375  clwwisshclwwslem  28387  clwwlkf  28420  wwlksubclwwlk  28431  numclwwlk5  28761  numclwwlk7  28764  frgrreggt1  28766  0nn0m1nnn0  33080  erdszelem7  33168  elfzm12  33642  fz0n  33705  fwddifnp1  34476  knoppndvlem2  34702  ltflcei  35774  poimirlem1  35787  poimirlem2  35788  poimirlem6  35792  poimirlem7  35793  poimirlem8  35794  poimirlem9  35795  poimirlem15  35801  poimirlem16  35802  poimirlem17  35803  poimirlem18  35804  poimirlem19  35805  poimirlem20  35806  poimirlem24  35810  poimirlem27  35813  poimirlem31  35817  poimirlem32  35818  mettrifi  35924  rmxluc  40767  rmyluc  40768  jm2.24  40794  jm2.18  40819  jm2.22  40826  jm2.23  40827  jm2.26lem3  40832  jm2.15nn0  40834  jm2.16nn0  40835  jm2.27a  40836  jm2.27c  40838  jm3.1lem3  40850  hashnzfz  41920  monoords  42818  fzisoeu  42821  dvnmul  43466  stoweidlem11  43534  dirkercncflem1  43626  fourierdlem48  43677  fourierdlem49  43678  fourierdlem65  43694  fourierdlem79  43708  zm1nn  44773  iccpartipre  44852  sfprmdvdsmersenne  45034  lighneallem4a  45039  proththd  45045  dfodd6  45068  evenm1odd  45070  oddm1eveni  45073  onego  45077  m1expoddALTV  45079  dfodd4  45090  oddflALTV  45094  oddm1evenALTV  45106  nnoALTV  45126  perfectALTVlem1  45152  altgsumbcALT  45668  pw2m1lepw2m1  45840  m1modmmod  45846  difmodm1lt  45847  zofldiv2  45856  logbpw2m1  45892  nnolog2flm1  45915  dignn0flhalflem1  45940