Theorem peano2zm 12658

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12645	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12657	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  1c1 11154   − cmin 11490  ℤcz 12611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12667  zltlem1  12668  zextlt  12690  zeo  12702  eluzp1m1  12902  uzm1  12914  zbtwnre  12986  fz01en  13589  fzsuc2  13619  elfzm11  13632  uzdisj  13634  preduz  13687  predfz  13690  elfzo  13698  fzon  13717  fzoss2  13724  fzossrbm1  13725  fzosplitsnm1  13776  ubmelm1fzo  13799  elfzom1b  13802  fzosplitprm1  13813  fzoshftral  13820  sermono  14072  seqf1olem1  14079  seqf1olem2  14080  bcm1k  14351  bcn2  14355  bcp1m1  14356  bcpasc  14357  bccl  14358  hashbclem  14488  seqcoll  14500  revccat  14801  revrev  14802  absrdbnd  15377  fsumm1  15784  binomlem  15862  isumsplit  15873  climcndslem1  15882  arisum2  15894  pwdif  15901  pwm1geoser  15902  mertenslem1  15917  fprodser  15982  fprodm1  16000  risefacval2  16043  fallfacval2  16044  fallfacval3  16045  fallfacfwd  16069  binomfallfaclem2  16073  3dvds  16365  oddm1even  16377  oddp1even  16378  mod2eq1n2dvds  16381  zob  16393  nno  16416  pwp1fsum  16425  isprm3  16717  ncoprmlnprm  16762  hashdvds  16809  pockthlem  16939  4sqlem11  16989  vdwapun  17008  vdwnnlem2  17030  efgsp1  19770  efgsres  19771  srgbinomlem4  20247  srgbinomlem  20248  znunit  21600  dvexp3  26031  dvfsumlem1  26081  degltlem1  26126  atantayl2  26996  wilthlem1  27126  basellem5  27143  mersenne  27286  perfectlem1  27288  lgslem1  27356  lgsval2lem  27366  lgseisenlem1  27434  lgseisenlem2  27435  lgseisenlem3  27436  lgsquadlem1  27439  lgsquadlem3  27441  lgsquad2lem1  27443  lgsquad3  27446  2sqlem8  27485  2sqblem  27490  dchrisumlem1  27548  logdivbnd  27615  pntrsumbnd2  27626  ostth2lem3  27694  axlowdim  28991  pthdlem1  29799  pthdlem2  29801  wwlksm1edg  29911  clwwlkccatlem  30018  clwlkclwwlklem2fv1  30024  clwlkclwwlklem2a4  30026  clwlkclwwlklem2a  30027  clwlkclwwlklem2  30029  clwlkclwwlk  30031  clwwisshclwwslem  30043  clwwlkf  30076  wwlksubclwwlk  30087  numclwwlk5  30417  numclwwlk7  30420  frgrreggt1  30422  0nn0m1nnn0  35097  erdszelem7  35182  elfzm12  35660  fz0n  35711  fwddifnp1  36147  knoppndvlem2  36496  ltflcei  37595  poimirlem1  37608  poimirlem2  37609  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem8  37615  poimirlem9  37616  poimirlem15  37622  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem18  37625  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem24  37631  poimirlem27  37634  poimirlem31  37638  poimirlem32  37639  mettrifi  37744  rmxluc  42925  rmyluc  42926  jm2.24  42952  jm2.18  42977  jm2.22  42984  jm2.23  42985  jm2.26lem3  42990  jm2.15nn0  42992  jm2.16nn0  42993  jm2.27a  42994  jm2.27c  42996  jm3.1lem3  43008  hashnzfz  44316  monoords  45248  fzisoeu  45251  dvnmul  45899  stoweidlem11  45967  dirkercncflem1  46059  fourierdlem48  46110  fourierdlem49  46111  fourierdlem65  46127  fourierdlem79  46141  zm1nn  47252  iccpartipre  47346  sfprmdvdsmersenne  47528  lighneallem4a  47533  proththd  47539  dfodd6  47562  evenm1odd  47564  oddm1eveni  47567  onego  47571  m1expoddALTV  47573  dfodd4  47584  oddflALTV  47588  oddm1evenALTV  47600  nnoALTV  47620  perfectALTVlem1  47646  altgsumbcALT  48198  pw2m1lepw2m1  48366  m1modmmod  48371  difmodm1lt  48372  zofldiv2  48381  logbpw2m1  48417  nnolog2flm1  48440  dignn0flhalflem1  48465