Theorem peano2zm 12515

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12502	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12514	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  1c1 11007   − cmin 11344  ℤcz 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12524  zltlem1  12525  zextlt  12547  zeo  12559  eluzp1m1  12758  uzm1  12770  zbtwnre  12844  fz01en  13452  fzsuc2  13482  elfzm11  13495  uzdisj  13497  preduz  13550  predfz  13553  elfzo  13561  fzon  13580  fzoss2  13587  fzossrbm1  13588  fzosplitsnm1  13640  ubmelm1fzo  13663  elfzom1b  13666  fzosplitprm1  13678  fzoshftral  13687  sermono  13941  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  bcm1k  14222  bcn2  14226  bcp1m1  14227  bcpasc  14228  bccl  14229  hashbclem  14359  seqcoll  14371  revccat  14673  revrev  14674  absrdbnd  15249  fsumm1  15658  binomlem  15736  isumsplit  15747  climcndslem1  15756  arisum2  15768  pwdif  15775  pwm1geoser  15776  mertenslem1  15791  fprodser  15856  fprodm1  15874  risefacval2  15917  fallfacval2  15918  fallfacval3  15919  fallfacfwd  15943  binomfallfaclem2  15947  3dvds  16242  oddm1even  16254  oddp1even  16255  mod2eq1n2dvds  16258  zob  16270  nno  16293  pwp1fsum  16302  isprm3  16594  ncoprmlnprm  16639  hashdvds  16686  pockthlem  16817  4sqlem11  16867  vdwapun  16886  vdwnnlem2  16908  chnccat  18532  efgsp1  19649  efgsres  19650  srgbinomlem4  20147  srgbinomlem  20148  znunit  21500  dvexp3  25909  dvfsumlem1  25959  degltlem1  26004  atantayl2  26875  wilthlem1  27005  basellem5  27022  mersenne  27165  perfectlem1  27167  lgslem1  27235  lgsval2lem  27245  lgseisenlem1  27313  lgseisenlem2  27314  lgseisenlem3  27315  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem3  27320  lgsquad2lem1  27322  lgsquad3  27325  2sqlem8  27364  2sqblem  27369  dchrisumlem1  27427  logdivbnd  27494  pntrsumbnd2  27505  ostth2lem3  27573  axlowdim  28939  pthdlem1  29744  pthdlem2  29746  wwlksm1edg  29859  clwwlkccatlem  29969  clwlkclwwlklem2fv1  29975  clwlkclwwlklem2a4  29977  clwlkclwwlklem2a  29978  clwlkclwwlklem2  29980  clwlkclwwlk  29982  clwwisshclwwslem  29994  clwwlkf  30027  wwlksubclwwlk  30038  numclwwlk5  30368  numclwwlk7  30371  frgrreggt1  30373  0nn0m1nnn0  35157  erdszelem7  35241  elfzm12  35719  fz0n  35775  fwddifnp1  36209  knoppndvlem2  36557  ltflcei  37647  poimirlem1  37660  poimirlem2  37661  poimirlem6  37665  poimirlem7  37666  poimirlem8  37667  poimirlem9  37668  poimirlem15  37674  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem18  37677  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem24  37683  poimirlem27  37686  poimirlem31  37690  poimirlem32  37691  mettrifi  37796  rmxluc  43028  rmyluc  43029  jm2.24  43055  jm2.18  43080  jm2.22  43087  jm2.23  43088  jm2.26lem3  43093  jm2.15nn0  43095  jm2.16nn0  43096  jm2.27a  43097  jm2.27c  43099  jm3.1lem3  43111  hashnzfz  44412  monoords  45397  fzisoeu  45400  dvnmul  46040  stoweidlem11  46108  dirkercncflem1  46200  fourierdlem48  46251  fourierdlem49  46252  fourierdlem65  46268  fourierdlem79  46282  chnsubseq  46977  zm1nn  47401  m1modmmod  47457  difmodm1lt  47458  iccpartipre  47520  sfprmdvdsmersenne  47702  lighneallem4a  47707  proththd  47713  dfodd6  47736  evenm1odd  47738  oddm1eveni  47741  onego  47745  m1expoddALTV  47747  dfodd4  47758  oddflALTV  47762  oddm1evenALTV  47774  nnoALTV  47794  perfectALTVlem1  47820  altgsumbcALT  48452  pw2m1lepw2m1  48620  zofldiv2  48631  logbpw2m1  48667  nnolog2flm1  48690  dignn0flhalflem1  48715