Theorem peano2zm 12633

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12620	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12632	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  1c1 11128   − cmin 11464  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12642  zltlem1  12643  zextlt  12665  zeo  12677  eluzp1m1  12876  uzm1  12888  zbtwnre  12960  fz01en  13567  fzsuc2  13597  elfzm11  13610  uzdisj  13612  preduz  13665  predfz  13668  elfzo  13676  fzon  13695  fzoss2  13702  fzossrbm1  13703  fzosplitsnm1  13754  ubmelm1fzo  13777  elfzom1b  13780  fzosplitprm1  13791  fzoshftral  13798  sermono  14050  seqf1olem1  14057  seqf1olem2  14058  bcm1k  14331  bcn2  14335  bcp1m1  14336  bcpasc  14337  bccl  14338  hashbclem  14468  seqcoll  14480  revccat  14782  revrev  14783  absrdbnd  15358  fsumm1  15765  binomlem  15843  isumsplit  15854  climcndslem1  15863  arisum2  15875  pwdif  15882  pwm1geoser  15883  mertenslem1  15898  fprodser  15963  fprodm1  15981  risefacval2  16024  fallfacval2  16025  fallfacval3  16026  fallfacfwd  16050  binomfallfaclem2  16054  3dvds  16348  oddm1even  16360  oddp1even  16361  mod2eq1n2dvds  16364  zob  16376  nno  16399  pwp1fsum  16408  isprm3  16700  ncoprmlnprm  16745  hashdvds  16792  pockthlem  16923  4sqlem11  16973  vdwapun  16992  vdwnnlem2  17014  efgsp1  19716  efgsres  19717  srgbinomlem4  20187  srgbinomlem  20188  znunit  21522  dvexp3  25932  dvfsumlem1  25982  degltlem1  26027  atantayl2  26898  wilthlem1  27028  basellem5  27045  mersenne  27188  perfectlem1  27190  lgslem1  27258  lgsval2lem  27268  lgseisenlem1  27336  lgseisenlem2  27337  lgseisenlem3  27338  lgsquadlem1  27341  lgsquadlem3  27343  lgsquad2lem1  27345  lgsquad3  27348  2sqlem8  27387  2sqblem  27392  dchrisumlem1  27450  logdivbnd  27517  pntrsumbnd2  27528  ostth2lem3  27596  axlowdim  28886  pthdlem1  29694  pthdlem2  29696  wwlksm1edg  29809  clwwlkccatlem  29916  clwlkclwwlklem2fv1  29922  clwlkclwwlklem2a4  29924  clwlkclwwlklem2a  29925  clwlkclwwlklem2  29927  clwlkclwwlk  29929  clwwisshclwwslem  29941  clwwlkf  29974  wwlksubclwwlk  29985  numclwwlk5  30315  numclwwlk7  30318  frgrreggt1  30320  0nn0m1nnn0  35081  erdszelem7  35165  elfzm12  35643  fz0n  35694  fwddifnp1  36129  knoppndvlem2  36477  ltflcei  37578  poimirlem1  37591  poimirlem2  37592  poimirlem6  37596  poimirlem7  37597  poimirlem8  37598  poimirlem9  37599  poimirlem15  37605  poimirlem16  37606  poimirlem17  37607  poimirlem18  37608  poimirlem19  37609  poimirlem20  37610  poimirlem24  37614  poimirlem27  37617  poimirlem31  37621  poimirlem32  37622  mettrifi  37727  rmxluc  42907  rmyluc  42908  jm2.24  42934  jm2.18  42959  jm2.22  42966  jm2.23  42967  jm2.26lem3  42972  jm2.15nn0  42974  jm2.16nn0  42975  jm2.27a  42976  jm2.27c  42978  jm3.1lem3  42990  hashnzfz  44292  monoords  45274  fzisoeu  45277  dvnmul  45920  stoweidlem11  45988  dirkercncflem1  46080  fourierdlem48  46131  fourierdlem49  46132  fourierdlem65  46148  fourierdlem79  46162  zm1nn  47279  iccpartipre  47383  sfprmdvdsmersenne  47565  lighneallem4a  47570  proththd  47576  dfodd6  47599  evenm1odd  47601  oddm1eveni  47604  onego  47608  m1expoddALTV  47610  dfodd4  47621  oddflALTV  47625  oddm1evenALTV  47637  nnoALTV  47657  perfectALTVlem1  47683  altgsumbcALT  48276  pw2m1lepw2m1  48444  m1modmmod  48449  difmodm1lt  48450  zofldiv2  48459  logbpw2m1  48495  nnolog2flm1  48518  dignn0flhalflem1  48543