MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2zm 12547
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 1z 12534 . 2 1 ∈ ℤ
2 zsubcl 12546 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
31, 2mpan2 690 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7358  1c1 11053  cmin 11386  cz 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501
This theorem is referenced by:  zlem1lt  12556  zltlem1  12557  zextlt  12578  zeo  12590  eluzp1m1  12790  uzm1  12802  zbtwnre  12872  fz01en  13470  fzsuc2  13500  elfzm11  13513  uzdisj  13515  preduz  13564  predfz  13567  elfzo  13575  fzon  13594  fzoss2  13601  fzossrbm1  13602  fzosplitsnm1  13648  ubmelm1fzo  13669  elfzom1b  13672  fzosplitprm1  13683  fzoshftral  13690  sermono  13941  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  bcm1k  14216  bcn2  14220  bcp1m1  14221  bcpasc  14222  bccl  14223  hashbclem  14350  seqcoll  14364  revccat  14655  revrev  14656  absrdbnd  15227  fsumm1  15637  binomlem  15715  isumsplit  15726  climcndslem1  15735  arisum2  15747  pwdif  15754  pwm1geoser  15755  mertenslem1  15770  fprodser  15833  fprodm1  15851  risefacval2  15894  fallfacval2  15895  fallfacval3  15896  fallfacfwd  15920  binomfallfaclem2  15924  3dvds  16214  oddm1even  16226  oddp1even  16227  mod2eq1n2dvds  16230  zob  16242  nno  16265  pwp1fsum  16274  isprm3  16560  ncoprmlnprm  16604  hashdvds  16648  pockthlem  16778  4sqlem11  16828  vdwapun  16847  vdwnnlem2  16869  efgsp1  19520  efgsres  19521  srgbinomlem4  19961  srgbinomlem  19962  znunit  20973  dvexp3  25345  dvfsumlem1  25393  degltlem1  25440  atantayl2  26291  wilthlem1  26420  basellem5  26437  mersenne  26578  perfectlem1  26580  lgslem1  26648  lgsval2lem  26658  lgseisenlem1  26726  lgseisenlem2  26727  lgseisenlem3  26728  lgsquadlem1  26731  lgsquadlem3  26733  lgsquad2lem1  26735  lgsquad3  26738  2sqlem8  26777  2sqblem  26782  dchrisumlem1  26840  logdivbnd  26907  pntrsumbnd2  26918  ostth2lem3  26986  axlowdim  27913  pthdlem1  28717  pthdlem2  28719  wwlksm1edg  28829  clwwlkccatlem  28936  clwlkclwwlklem2fv1  28942  clwlkclwwlklem2a4  28944  clwlkclwwlklem2a  28945  clwlkclwwlklem2  28947  clwlkclwwlk  28949  clwwisshclwwslem  28961  clwwlkf  28994  wwlksubclwwlk  29005  numclwwlk5  29335  numclwwlk7  29338  frgrreggt1  29340  0nn0m1nnn0  33706  erdszelem7  33794  elfzm12  34266  fz0n  34306  fwddifnp1  34753  knoppndvlem2  34979  ltflcei  36069  poimirlem1  36082  poimirlem2  36083  poimirlem6  36087  poimirlem7  36088  poimirlem8  36089  poimirlem9  36090  poimirlem15  36096  poimirlem16  36097  poimirlem17  36098  poimirlem18  36099  poimirlem19  36100  poimirlem20  36101  poimirlem24  36105  poimirlem27  36108  poimirlem31  36112  poimirlem32  36113  mettrifi  36219  rmxluc  41263  rmyluc  41264  jm2.24  41290  jm2.18  41315  jm2.22  41322  jm2.23  41323  jm2.26lem3  41328  jm2.15nn0  41330  jm2.16nn0  41331  jm2.27a  41332  jm2.27c  41334  jm3.1lem3  41346  hashnzfz  42607  monoords  43538  fzisoeu  43541  dvnmul  44191  stoweidlem11  44259  dirkercncflem1  44351  fourierdlem48  44402  fourierdlem49  44403  fourierdlem65  44419  fourierdlem79  44433  zm1nn  45541  iccpartipre  45620  sfprmdvdsmersenne  45802  lighneallem4a  45807  proththd  45813  dfodd6  45836  evenm1odd  45838  oddm1eveni  45841  onego  45845  m1expoddALTV  45847  dfodd4  45858  oddflALTV  45862  oddm1evenALTV  45874  nnoALTV  45894  perfectALTVlem1  45920  altgsumbcALT  46436  pw2m1lepw2m1  46608  m1modmmod  46614  difmodm1lt  46615  zofldiv2  46624  logbpw2m1  46660  nnolog2flm1  46683  dignn0flhalflem1  46708
  Copyright terms: Public domain W3C validator