Theorem peano2zm 12601

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12588	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12600	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  1c1 11107   − cmin 11440  ℤcz 12554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12610  zltlem1  12611  zextlt  12632  zeo  12644  eluzp1m1  12844  uzm1  12856  zbtwnre  12926  fz01en  13525  fzsuc2  13555  elfzm11  13568  uzdisj  13570  preduz  13619  predfz  13622  elfzo  13630  fzon  13649  fzoss2  13656  fzossrbm1  13657  fzosplitsnm1  13703  ubmelm1fzo  13724  elfzom1b  13727  fzosplitprm1  13738  fzoshftral  13745  sermono  13996  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  bcm1k  14271  bcn2  14275  bcp1m1  14276  bcpasc  14277  bccl  14278  hashbclem  14407  seqcoll  14421  revccat  14712  revrev  14713  absrdbnd  15284  fsumm1  15693  binomlem  15771  isumsplit  15782  climcndslem1  15791  arisum2  15803  pwdif  15810  pwm1geoser  15811  mertenslem1  15826  fprodser  15889  fprodm1  15907  risefacval2  15950  fallfacval2  15951  fallfacval3  15952  fallfacfwd  15976  binomfallfaclem2  15980  3dvds  16270  oddm1even  16282  oddp1even  16283  mod2eq1n2dvds  16286  zob  16298  nno  16321  pwp1fsum  16330  isprm3  16616  ncoprmlnprm  16660  hashdvds  16704  pockthlem  16834  4sqlem11  16884  vdwapun  16903  vdwnnlem2  16925  efgsp1  19599  efgsres  19600  srgbinomlem4  20045  srgbinomlem  20046  znunit  21110  dvexp3  25486  dvfsumlem1  25534  degltlem1  25581  atantayl2  26432  wilthlem1  26561  basellem5  26578  mersenne  26719  perfectlem1  26721  lgslem1  26789  lgsval2lem  26799  lgseisenlem1  26867  lgseisenlem2  26868  lgseisenlem3  26869  lgsquadlem1  26872  lgsquadlem3  26874  lgsquad2lem1  26876  lgsquad3  26879  2sqlem8  26918  2sqblem  26923  dchrisumlem1  26981  logdivbnd  27048  pntrsumbnd2  27059  ostth2lem3  27127  axlowdim  28208  pthdlem1  29012  pthdlem2  29014  wwlksm1edg  29124  clwwlkccatlem  29231  clwlkclwwlklem2fv1  29237  clwlkclwwlklem2a4  29239  clwlkclwwlklem2a  29240  clwlkclwwlklem2  29242  clwlkclwwlk  29244  clwwisshclwwslem  29256  clwwlkf  29289  wwlksubclwwlk  29300  numclwwlk5  29630  numclwwlk7  29633  frgrreggt1  29635  0nn0m1nnn0  34090  erdszelem7  34176  elfzm12  34648  fz0n  34688  fwddifnp1  35125  knoppndvlem2  35377  ltflcei  36464  poimirlem1  36477  poimirlem2  36478  poimirlem6  36482  poimirlem7  36483  poimirlem8  36484  poimirlem9  36485  poimirlem15  36491  poimirlem16  36492  poimirlem17  36493  poimirlem18  36494  poimirlem19  36495  poimirlem20  36496  poimirlem24  36500  poimirlem27  36503  poimirlem31  36507  poimirlem32  36508  mettrifi  36613  rmxluc  41660  rmyluc  41661  jm2.24  41687  jm2.18  41712  jm2.22  41719  jm2.23  41720  jm2.26lem3  41725  jm2.15nn0  41727  jm2.16nn0  41728  jm2.27a  41729  jm2.27c  41731  jm3.1lem3  41743  hashnzfz  43064  monoords  43993  fzisoeu  43996  dvnmul  44645  stoweidlem11  44713  dirkercncflem1  44805  fourierdlem48  44856  fourierdlem49  44857  fourierdlem65  44873  fourierdlem79  44887  zm1nn  45996  iccpartipre  46075  sfprmdvdsmersenne  46257  lighneallem4a  46262  proththd  46268  dfodd6  46291  evenm1odd  46293  oddm1eveni  46296  onego  46300  m1expoddALTV  46302  dfodd4  46313  oddflALTV  46317  oddm1evenALTV  46329  nnoALTV  46349  perfectALTVlem1  46375  altgsumbcALT  46982  pw2m1lepw2m1  47154  m1modmmod  47160  difmodm1lt  47161  zofldiv2  47170  logbpw2m1  47206  nnolog2flm1  47229  dignn0flhalflem1  47254