Theorem peano2zm 11772

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 11759	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 11771	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 681	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  1c1 10273   − cmin 10606  ℤcz 11728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729

This theorem is referenced by:  zlem1lt  11781  zltlem1  11782  zextlt  11803  zeo  11815  eluzp1m1  12016  uzm1  12024  zbtwnre  12093  fz01en  12686  fzsuc2  12716  elfzm11  12729  uzdisj  12731  preduz  12780  predfz  12783  elfzo  12791  fzon  12808  fzoss2  12815  fzossrbm1  12816  fzosplitsnm1  12862  ubmelm1fzo  12883  elfzom1b  12886  fzosplitprm1  12897  fzoshftral  12904  sermono  13151  seqf1olem1  13158  seqf1olem2  13159  bcm1k  13420  bcn2  13424  bcp1m1  13425  bcpasc  13426  bccl  13427  hashbclem  13550  seqcoll  13562  revccat  13912  revrev  13913  absrdbnd  14488  fsumm1  14887  binomlem  14965  isumsplit  14976  climcndslem1  14985  arisum2  14997  mertenslem1  15019  fprodser  15082  fprodm1  15100  risefacval2  15143  fallfacval2  15144  fallfacval3  15145  fallfacfwd  15169  binomfallfaclem2  15173  3dvds  15459  oddm1even  15471  oddp1even  15472  mod2eq1n2dvds  15475  zob  15487  nno  15512  pwp1fsum  15521  isprm3  15801  ncoprmlnprm  15840  hashdvds  15884  pockthlem  16013  4sqlem11  16063  vdwapun  16082  vdwnnlem2  16104  efgsp1  18534  efgsres  18535  efgsresOLD  18536  srgbinomlem4  18930  srgbinomlem  18931  znunit  20307  dvexp3  24178  dvfsumlem1  24226  degltlem1  24269  abelthlem6  24627  atantayl2  25116  wilthlem1  25246  basellem5  25263  mersenne  25404  perfectlem1  25406  lgslem1  25474  lgsval2lem  25484  lgseisenlem1  25552  lgseisenlem2  25553  lgseisenlem3  25554  lgsquadlem1  25557  lgsquadlem3  25559  lgsquad2lem1  25561  lgsquad3  25564  2sqlem8  25603  2sqblem  25608  dchrisumlem1  25630  logdivbnd  25697  pntrsumbnd2  25708  ostth2lem3  25776  axlowdim  26310  pthdlem1  27118  pthdlem2  27120  wwlksm1edg  27230  wwlksm1edgOLD  27231  clwwlkccatlem  27369  clwlkclwwlklem2fv1  27375  clwlkclwwlklem2a4  27377  clwlkclwwlklem2a  27378  clwlkclwwlklem2  27380  clwlkclwwlk  27382  clwlkclwwlkOLD  27383  clwwisshclwwslem  27403  clwwlkfOLD  27438  clwwlkf  27443  wwlksubclwwlk  27455  wwlksubclwwlkOLD  27456  numclwwlk5  27820  numclwwlk7  27823  frgrreggt1  27825  erdszelem7  31778  elfzm12  32166  fz0n  32210  fwddifnp1  32861  knoppndvlem2  33086  ltflcei  34024  poimirlem1  34038  poimirlem2  34039  poimirlem6  34043  poimirlem7  34044  poimirlem8  34045  poimirlem9  34046  poimirlem15  34052  poimirlem16  34053  poimirlem17  34054  poimirlem18  34055  poimirlem19  34056  poimirlem20  34057  poimirlem24  34061  poimirlem27  34064  poimirlem31  34068  poimirlem32  34069  mettrifi  34179  rmxluc  38464  rmyluc  38465  jm2.24  38493  jm2.18  38518  jm2.22  38525  jm2.23  38526  jm2.26lem3  38531  jm2.15nn0  38533  jm2.16nn0  38534  jm2.27a  38535  jm2.27c  38537  jm3.1lem3  38549  hashnzfz  39479  monoords  40424  fzisoeu  40427  dvnmul  41090  stoweidlem11  41159  dirkercncflem1  41251  fourierdlem48  41302  fourierdlem49  41303  fourierdlem65  41319  fourierdlem79  41333  zm1nn  42348  iccpartipre  42393  pwdif  42526  pwm1geoserALT  42527  sfprmdvdsmersenne  42545  lighneallem4a  42550  proththd  42556  dfodd6  42579  evenm1odd  42581  oddm1eveni  42584  onego  42588  m1expoddALTV  42590  dfodd4  42600  oddflALTV  42604  oddm1evenALTV  42615  nnoALTV  42635  perfectALTVlem1  42659  altgsumbcALT  43150  pw2m1lepw2m1  43329  m1modmmod  43335  difmodm1lt  43336  zofldiv2  43344  logbpw2m1  43380  nnolog2flm1  43403  dignn0flhalflem1  43428