Theorem peano2zm 12570

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12557	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12569	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039   − cmin 11377  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12579  zltlem1  12580  zextlt  12603  zeo  12615  eluzp1m1  12814  uzm1  12822  zbtwnre  12896  fz01en  13506  fzsuc2  13536  elfzm11  13549  uzdisj  13551  preduz  13604  predfz  13607  elfzo  13615  fzon  13635  fzoss2  13642  fzossrbm1  13643  fzosplitsnm1  13695  ubmelm1fzo  13718  elfzom1b  13721  fzosplitprm1  13733  fzoshftral  13742  sermono  13996  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  bcm1k  14277  bcn2  14281  bcp1m1  14282  bcpasc  14283  bccl  14284  hashbclem  14414  seqcoll  14426  revccat  14728  revrev  14729  absrdbnd  15304  fsumm1  15713  binomlem  15794  isumsplit  15805  climcndslem1  15814  arisum2  15826  pwdif  15833  pwm1geoser  15834  mertenslem1  15849  fprodser  15914  fprodm1  15932  risefacval2  15975  fallfacval2  15976  fallfacval3  15977  fallfacfwd  16001  binomfallfaclem2  16005  3dvds  16300  oddm1even  16312  oddp1even  16313  mod2eq1n2dvds  16316  zob  16328  nno  16351  pwp1fsum  16360  isprm3  16652  ncoprmlnprm  16698  hashdvds  16745  pockthlem  16876  4sqlem11  16926  vdwapun  16945  vdwnnlem2  16967  chnccat  18592  efgsp1  19712  efgsres  19713  srgbinomlem4  20210  srgbinomlem  20211  znunit  21543  dvexp3  25945  dvfsumlem1  25993  degltlem1  26037  atantayl2  26902  wilthlem1  27031  basellem5  27048  mersenne  27190  perfectlem1  27192  lgslem1  27260  lgsval2lem  27270  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  lgseisenlem3  27340  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem3  27345  lgsquad2lem1  27347  lgsquad3  27350  2sqlem8  27389  2sqblem  27394  dchrisumlem1  27452  logdivbnd  27519  pntrsumbnd2  27530  ostth2lem3  27598  axlowdim  29030  pthdlem1  29834  pthdlem2  29836  wwlksm1edg  29949  clwwlkccatlem  30059  clwlkclwwlklem2fv1  30065  clwlkclwwlklem2a4  30067  clwlkclwwlklem2a  30068  clwlkclwwlklem2  30070  clwlkclwwlk  30072  clwwisshclwwslem  30084  clwwlkf  30117  wwlksubclwwlk  30128  numclwwlk5  30458  numclwwlk7  30461  frgrreggt1  30463  0nn0m1nnn0  35295  erdszelem7  35379  elfzm12  35857  fz0n  35913  fwddifnp1  36347  knoppndvlem2  36773  ltflcei  37929  poimirlem1  37942  poimirlem2  37943  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem8  37949  poimirlem9  37950  poimirlem15  37956  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem18  37959  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  poimirlem24  37965  poimirlem27  37968  poimirlem31  37972  poimirlem32  37973  mettrifi  38078  rmxluc  43364  rmyluc  43365  jm2.24  43391  jm2.18  43416  jm2.22  43423  jm2.23  43424  jm2.26lem3  43429  jm2.15nn0  43431  jm2.16nn0  43432  jm2.27a  43433  jm2.27c  43435  jm3.1lem3  43447  hashnzfz  44747  monoords  45730  fzisoeu  45733  dvnmul  46371  stoweidlem11  46439  dirkercncflem1  46531  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem65  46599  fourierdlem79  46613  chnsubseq  47310  zm1nn  47750  flmrecm1  47791  m1modmmod  47812  difmodm1lt  47813  muldvdsfacgt  47834  iccpartipre  47881  sfprmdvdsmersenne  48066  lighneallem4a  48071  proththd  48077  dfodd6  48113  evenm1odd  48115  oddm1eveni  48118  onego  48122  m1expoddALTV  48124  dfodd4  48135  oddflALTV  48139  oddm1evenALTV  48151  nnoALTV  48171  perfectALTVlem1  48197  altgsumbcALT  48829  pw2m1lepw2m1  48996  zofldiv2  49007  logbpw2m1  49043  nnolog2flm1  49066  dignn0flhalflem1  49091