Theorem peano2zm 12538

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12525	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12537	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  1c1 11031   − cmin 11368  ℤcz 12492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12547  zltlem1  12548  zextlt  12570  zeo  12582  eluzp1m1  12781  uzm1  12789  zbtwnre  12863  fz01en  13472  fzsuc2  13502  elfzm11  13515  uzdisj  13517  preduz  13570  predfz  13573  elfzo  13581  fzon  13600  fzoss2  13607  fzossrbm1  13608  fzosplitsnm1  13660  ubmelm1fzo  13683  elfzom1b  13686  fzosplitprm1  13698  fzoshftral  13707  sermono  13961  seqf1olem1  13968  seqf1olem2  13969  bcm1k  14242  bcn2  14246  bcp1m1  14247  bcpasc  14248  bccl  14249  hashbclem  14379  seqcoll  14391  revccat  14693  revrev  14694  absrdbnd  15269  fsumm1  15678  binomlem  15756  isumsplit  15767  climcndslem1  15776  arisum2  15788  pwdif  15795  pwm1geoser  15796  mertenslem1  15811  fprodser  15876  fprodm1  15894  risefacval2  15937  fallfacval2  15938  fallfacval3  15939  fallfacfwd  15963  binomfallfaclem2  15967  3dvds  16262  oddm1even  16274  oddp1even  16275  mod2eq1n2dvds  16278  zob  16290  nno  16313  pwp1fsum  16322  isprm3  16614  ncoprmlnprm  16659  hashdvds  16706  pockthlem  16837  4sqlem11  16887  vdwapun  16906  vdwnnlem2  16928  chnccat  18553  efgsp1  19670  efgsres  19671  srgbinomlem4  20168  srgbinomlem  20169  znunit  21522  dvexp3  25942  dvfsumlem1  25992  degltlem1  26037  atantayl2  26908  wilthlem1  27038  basellem5  27055  mersenne  27198  perfectlem1  27200  lgslem1  27268  lgsval2lem  27278  lgseisenlem1  27346  lgseisenlem2  27347  lgseisenlem3  27348  lgsquadlem1  27351  lgsquadlem3  27353  lgsquad2lem1  27355  lgsquad3  27358  2sqlem8  27397  2sqblem  27402  dchrisumlem1  27460  logdivbnd  27527  pntrsumbnd2  27538  ostth2lem3  27606  axlowdim  29038  pthdlem1  29843  pthdlem2  29845  wwlksm1edg  29958  clwwlkccatlem  30068  clwlkclwwlklem2fv1  30074  clwlkclwwlklem2a4  30076  clwlkclwwlklem2a  30077  clwlkclwwlklem2  30079  clwlkclwwlk  30081  clwwisshclwwslem  30093  clwwlkf  30126  wwlksubclwwlk  30137  numclwwlk5  30467  numclwwlk7  30470  frgrreggt1  30472  0nn0m1nnn0  35309  erdszelem7  35393  elfzm12  35871  fz0n  35927  fwddifnp1  36361  knoppndvlem2  36715  ltflcei  37811  poimirlem1  37824  poimirlem2  37825  poimirlem6  37829  poimirlem7  37830  poimirlem8  37831  poimirlem9  37832  poimirlem15  37838  poimirlem16  37839  poimirlem17  37840  poimirlem18  37841  poimirlem19  37842  poimirlem20  37843  poimirlem24  37847  poimirlem27  37850  poimirlem31  37854  poimirlem32  37855  mettrifi  37960  rmxluc  43245  rmyluc  43246  jm2.24  43272  jm2.18  43297  jm2.22  43304  jm2.23  43305  jm2.26lem3  43310  jm2.15nn0  43312  jm2.16nn0  43313  jm2.27a  43314  jm2.27c  43316  jm3.1lem3  43328  hashnzfz  44628  monoords  45612  fzisoeu  45615  dvnmul  46254  stoweidlem11  46322  dirkercncflem1  46414  fourierdlem48  46465  fourierdlem49  46466  fourierdlem65  46482  fourierdlem79  46496  chnsubseq  47191  zm1nn  47615  m1modmmod  47671  difmodm1lt  47672  iccpartipre  47734  sfprmdvdsmersenne  47916  lighneallem4a  47921  proththd  47927  dfodd6  47950  evenm1odd  47952  oddm1eveni  47955  onego  47959  m1expoddALTV  47961  dfodd4  47972  oddflALTV  47976  oddm1evenALTV  47988  nnoALTV  48008  perfectALTVlem1  48034  altgsumbcALT  48666  pw2m1lepw2m1  48833  zofldiv2  48844  logbpw2m1  48880  nnolog2flm1  48903  dignn0flhalflem1  48928