Theorem peano2zm 12552

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12539	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12551	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   − cmin 11381  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12561  zltlem1  12562  zextlt  12584  zeo  12596  eluzp1m1  12795  uzm1  12807  zbtwnre  12881  fz01en  13489  fzsuc2  13519  elfzm11  13532  uzdisj  13534  preduz  13587  predfz  13590  elfzo  13598  fzon  13617  fzoss2  13624  fzossrbm1  13625  fzosplitsnm1  13677  ubmelm1fzo  13700  elfzom1b  13703  fzosplitprm1  13714  fzoshftral  13721  sermono  13975  seqf1olem1  13982  seqf1olem2  13983  bcm1k  14256  bcn2  14260  bcp1m1  14261  bcpasc  14262  bccl  14263  hashbclem  14393  seqcoll  14405  revccat  14707  revrev  14708  absrdbnd  15284  fsumm1  15693  binomlem  15771  isumsplit  15782  climcndslem1  15791  arisum2  15803  pwdif  15810  pwm1geoser  15811  mertenslem1  15826  fprodser  15891  fprodm1  15909  risefacval2  15952  fallfacval2  15953  fallfacval3  15954  fallfacfwd  15978  binomfallfaclem2  15982  3dvds  16277  oddm1even  16289  oddp1even  16290  mod2eq1n2dvds  16293  zob  16305  nno  16328  pwp1fsum  16337  isprm3  16629  ncoprmlnprm  16674  hashdvds  16721  pockthlem  16852  4sqlem11  16902  vdwapun  16921  vdwnnlem2  16943  efgsp1  19651  efgsres  19652  srgbinomlem4  20149  srgbinomlem  20150  znunit  21505  dvexp3  25915  dvfsumlem1  25965  degltlem1  26010  atantayl2  26881  wilthlem1  27011  basellem5  27028  mersenne  27171  perfectlem1  27173  lgslem1  27241  lgsval2lem  27251  lgseisenlem1  27319  lgseisenlem2  27320  lgseisenlem3  27321  lgsquadlem1  27324  lgsquadlem3  27326  lgsquad2lem1  27328  lgsquad3  27331  2sqlem8  27370  2sqblem  27375  dchrisumlem1  27433  logdivbnd  27500  pntrsumbnd2  27511  ostth2lem3  27579  axlowdim  28941  pthdlem1  29746  pthdlem2  29748  wwlksm1edg  29861  clwwlkccatlem  29968  clwlkclwwlklem2fv1  29974  clwlkclwwlklem2a4  29976  clwlkclwwlklem2a  29977  clwlkclwwlklem2  29979  clwlkclwwlk  29981  clwwisshclwwslem  29993  clwwlkf  30026  wwlksubclwwlk  30037  numclwwlk5  30367  numclwwlk7  30370  frgrreggt1  30372  0nn0m1nnn0  35093  erdszelem7  35177  elfzm12  35655  fz0n  35711  fwddifnp1  36146  knoppndvlem2  36494  ltflcei  37595  poimirlem1  37608  poimirlem2  37609  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem8  37615  poimirlem9  37616  poimirlem15  37622  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem18  37625  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem24  37631  poimirlem27  37634  poimirlem31  37638  poimirlem32  37639  mettrifi  37744  rmxluc  42918  rmyluc  42919  jm2.24  42945  jm2.18  42970  jm2.22  42977  jm2.23  42978  jm2.26lem3  42983  jm2.15nn0  42985  jm2.16nn0  42986  jm2.27a  42987  jm2.27c  42989  jm3.1lem3  43001  hashnzfz  44302  monoords  45288  fzisoeu  45291  dvnmul  45934  stoweidlem11  46002  dirkercncflem1  46094  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem65  46162  fourierdlem79  46176  zm1nn  47296  m1modmmod  47352  difmodm1lt  47353  iccpartipre  47415  sfprmdvdsmersenne  47597  lighneallem4a  47602  proththd  47608  dfodd6  47631  evenm1odd  47633  oddm1eveni  47636  onego  47640  m1expoddALTV  47642  dfodd4  47653  oddflALTV  47657  oddm1evenALTV  47669  nnoALTV  47689  perfectALTVlem1  47715  altgsumbcALT  48334  pw2m1lepw2m1  48502  zofldiv2  48513  logbpw2m1  48549  nnolog2flm1  48572  dignn0flhalflem1  48597