Theorem peano2zm 12028

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12015	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		zsubcl 12027	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  1c1 10540   − cmin 10872  ℤcz 11984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985

This theorem is referenced by:  zlem1lt  12037  zltlem1  12038  zextlt  12059  zeo  12071  eluzp1m1  12271  uzm1  12279  zbtwnre  12349  fz01en  12938  fzsuc2  12968  elfzm11  12981  uzdisj  12983  preduz  13032  predfz  13035  elfzo  13043  fzon  13061  fzoss2  13068  fzossrbm1  13069  fzosplitsnm1  13115  ubmelm1fzo  13136  elfzom1b  13139  fzosplitprm1  13150  fzoshftral  13157  sermono  13405  seqf1olem1  13412  seqf1olem2  13413  bcm1k  13678  bcn2  13682  bcp1m1  13683  bcpasc  13684  bccl  13685  hashbclem  13813  seqcoll  13825  revccat  14130  revrev  14131  absrdbnd  14703  fsumm1  15108  binomlem  15186  isumsplit  15197  climcndslem1  15206  arisum2  15218  pwdif  15225  pwm1geoser  15226  mertenslem1  15242  fprodser  15305  fprodm1  15323  risefacval2  15366  fallfacval2  15367  fallfacval3  15368  fallfacfwd  15392  binomfallfaclem2  15396  3dvds  15682  oddm1even  15694  oddp1even  15695  mod2eq1n2dvds  15698  zob  15710  nno  15735  pwp1fsum  15744  isprm3  16029  ncoprmlnprm  16070  hashdvds  16114  pockthlem  16243  4sqlem11  16293  vdwapun  16312  vdwnnlem2  16334  efgsp1  18865  efgsres  18866  srgbinomlem4  19295  srgbinomlem  19296  znunit  20712  dvexp3  24577  dvfsumlem1  24625  degltlem1  24668  atantayl2  25518  wilthlem1  25647  basellem5  25664  mersenne  25805  perfectlem1  25807  lgslem1  25875  lgsval2lem  25885  lgseisenlem1  25953  lgseisenlem2  25954  lgseisenlem3  25955  lgsquadlem1  25958  lgsquadlem3  25960  lgsquad2lem1  25962  lgsquad3  25965  2sqlem8  26004  2sqblem  26009  dchrisumlem1  26067  logdivbnd  26134  pntrsumbnd2  26145  ostth2lem3  26213  axlowdim  26749  pthdlem1  27549  pthdlem2  27551  wwlksm1edg  27661  clwwlkccatlem  27769  clwlkclwwlklem2fv1  27775  clwlkclwwlklem2a4  27777  clwlkclwwlklem2a  27778  clwlkclwwlklem2  27780  clwlkclwwlk  27782  clwwisshclwwslem  27794  clwwlkf  27828  wwlksubclwwlk  27839  numclwwlk5  28169  numclwwlk7  28172  frgrreggt1  28174  0nn0m1nnn0  32353  erdszelem7  32446  elfzm12  32920  fz0n  32964  fwddifnp1  33628  knoppndvlem2  33854  ltflcei  34882  poimirlem1  34895  poimirlem2  34896  poimirlem6  34900  poimirlem7  34901  poimirlem8  34902  poimirlem9  34903  poimirlem15  34909  poimirlem16  34910  poimirlem17  34911  poimirlem18  34912  poimirlem19  34913  poimirlem20  34914  poimirlem24  34918  poimirlem27  34921  poimirlem31  34925  poimirlem32  34926  mettrifi  35034  rmxluc  39540  rmyluc  39541  jm2.24  39567  jm2.18  39592  jm2.22  39599  jm2.23  39600  jm2.26lem3  39605  jm2.15nn0  39607  jm2.16nn0  39608  jm2.27a  39609  jm2.27c  39611  jm3.1lem3  39623  hashnzfz  40659  monoords  41571  fzisoeu  41574  dvnmul  42235  stoweidlem11  42303  dirkercncflem1  42395  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem65  42463  fourierdlem79  42477  zm1nn  43509  iccpartipre  43588  sfprmdvdsmersenne  43775  lighneallem4a  43780  proththd  43786  dfodd6  43809  evenm1odd  43811  oddm1eveni  43814  onego  43818  m1expoddALTV  43820  dfodd4  43831  oddflALTV  43835  oddm1evenALTV  43847  nnoALTV  43867  perfectALTVlem1  43893  altgsumbcALT  44408  pw2m1lepw2m1  44582  m1modmmod  44588  difmodm1lt  44589  zofldiv2  44598  logbpw2m1  44634  nnolog2flm1  44657  dignn0flhalflem1  44682