Theorem ccats1pfxeq 11185

Description: The last symbol of a word concatenated with the word with the last symbol removed results in the word itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1pfxeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Proof of Theorem ccats1pfxeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5963	. . . 4 ⊢ (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊))) → (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
3		lencl 11015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 9365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
5		pncan1 8464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℂ → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (♯‘𝑊))
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (♯‘𝑊))
7	6	eqcomd 2212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
8	7	3ad2ant1 1021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
9		oveq1 5963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → ((♯‘𝑈) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
10	9	eqcomd 2212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
11	10	3ad2ant3 1023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
12	8, 11	eqtrd 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) = ((♯‘𝑈) − 1))
13	12	oveq2d 5972	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑈) − 1)))
14	13	oveq1d 5971	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 prefix ((♯‘𝑈) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
15		simp2 1001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
16		nn0p1gt0 9339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
17	3, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
18	17	3ad2ant1 1021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
19		breq2 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
20	19	3ad2ant3 1023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
21	18, 20	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < (♯‘𝑈))
22		wrdfin 11030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → 𝑈 ∈ Fin)
23		fihashneq0 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
25	24	3ad2ant2 1022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
26	21, 25	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ≠ ∅)
27		pfxlswccat 11184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ((𝑈 prefix ((♯‘𝑈) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
28	15, 26, 27	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 prefix ((♯‘𝑈) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
29	14, 28	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
30	29	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊))) → ((𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
31	2, 30	eqtr2d 2240	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊))) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
32	31	ex 115	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∅c0 3464   class class class wbr 4050  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  Fincfn 6839  ℂcc 7938  0cc0 7940  1c1 7941   + caddc 7943   < clt 8122   − cmin 8258  ℕ₀cn0 9310  ♯chash 10937  Word cword 11011  lastSclsw 11055   ++ cconcat 11064  ⟨“cs1 11087   prefix cpfx 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-1o 6514  df-er 6632  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-ihash 10938  df-word 11012  df-lsw 11056  df-concat 11065  df-s1 11088  df-substr 11117  df-pfx 11144

This theorem is referenced by:  ccats1pfxeqrex  11186