Theorem ccats1pfxeqbi 11492

Description: A word is a prefix of a word with length greater by 1 than the first word iff the second word is the first word concatenated with the last symbol of the second word. (Contributed by AV, 24-Oct-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1pfxeqbi	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Proof of Theorem ccats1pfxeqbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccats1pfxeq 11464	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
2		simp1 1028	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3		lencl 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4		nn0p1nn 9581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
7		3simpc 1027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)))
8		lswlgt0cl 11335	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
9	6, 7, 8	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
10	9	s1cld 11368	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉)
11		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
12		pfxccatid 11491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
13	12	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → 𝑊 = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
14	2, 10, 11, 13	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑊 = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
15		oveq1 6082	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
16	15	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)))
17	14, 16	sylan9eq 2291	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)) → 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)))
18	17	ex 115	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊))))
19	1, 18	impbid 129	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  1c1 8170   + caddc 8172  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542  ♯chash 11192  Word cword 11282  lastSclsw 11327   ++ cconcat 11336  ⟨“cs1 11361   prefix cpfx 11422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-lsw 11328  df-concat 11337  df-s1 11362  df-substr 11396  df-pfx 11423

This theorem is referenced by: (None)