Theorem ccats1pfxeqbi 11536

Description: A word is a prefix of a word with length greater by 1 than the first word iff the second word is the first word concatenated with the last symbol of the second word. (Contributed by AV, 24-Oct-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1pfxeqbi	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Proof of Theorem ccats1pfxeqbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccats1pfxeq 11508	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
2		simp1 1028	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3		lencl 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4		nn0p1nn 9613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
7		3simpc 1027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)))
8		lswlgt0cl 11379	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
9	6, 7, 8	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
10	9	s1cld 11412	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉)
11		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊))
12		pfxccatid 11535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = 𝑊)
13	12	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑊)) → 𝑊 = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
14	2, 10, 11, 13	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑊 = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
15		oveq1 6095	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) = ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)))
16	15	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) prefix (♯‘𝑊)) = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)))
17	14, 16	sylan9eq 2291	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)) → 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)))
18	17	ex 115	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) → 𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊))))
19	1, 18	impbid 129	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  1c1 8186   + caddc 8188  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  ♯chash 11236  Word cword 11326  lastSclsw 11371   ++ cconcat 11380  ⟨“cs1 11405   prefix cpfx 11466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-lsw 11372  df-concat 11381  df-s1 11406  df-substr 11440  df-pfx 11467

This theorem is used by: (None)