Theorem dichmul0orlem3 16638

Description: Lemma for dichmul0or 16643. (Contributed by Matthew House, 29-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dichmul0orlem3.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
dichmul0orlem3.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dichmul0orlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
dichmul0orlem3.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
dichmul0orlem3	⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dichmul0orlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dichmul0orlem3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		dichmul0orlem3.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		dichmul0orlem3.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 0)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵))
8	2, 4, 6, 7	dichmul0orlem2 16637	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵)) → 𝐴 = 0)
9	8	orcd 741	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵)) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
10	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	1, 3	mulcomd 8311	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
13	12, 5	eqtr3d 2269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = 0)
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝐵 · 𝐴) = 0)
15		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴)) → (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴))
16	10, 11, 14, 15	dichmul0orlem2 16637	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴)) → 𝐵 = 0)
17	16	olcd 742	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))
18	1	abscld 11894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19	3	abscld 11894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
20	18, 19	jca 306	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ))
21		dichmul0orlem3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
22		breq12 4119	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = (abs‘𝐴) ∧ 𝑦 = (abs‘𝐵)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵)))
23		breq12 4119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 = (abs‘𝐵) ∧ 𝑥 = (abs‘𝐴)) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴)))
24	23	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = (abs‘𝐴) ∧ 𝑦 = (abs‘𝐵)) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴)))
25	22, 24	orbi12d 801	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = (abs‘𝐴) ∧ 𝑦 = (abs‘𝐵)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵) ∨ (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴))))
26	25	rspc2gv 2936	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) → ((abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵) ∨ (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴))))
27	20, 21, 26	sylc 62	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵) ∨ (abs‘𝐵) ≤ (abs‘𝐴)))
28	9, 17, 27	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143   · cmul 8148   ≤ cle 8325  abscabs 11710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-rp 10008  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712

This theorem is referenced by:  dichmul0or  16643