Theorem abscld 11964

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
abscld	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abscl 11833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  ℂcc 8178  ℝcr 8179  abscabs 11779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781

This theorem is used by:  maxabsle  11987  maxabslemlub  11990  maxabslemval  11991  maxcl  11993  dfabsmax  12000  maxltsup  12001  max0addsup  12002  minabs  12020  bdtrilem  12024  bdtri  12025  mul0inf  12026  climuni  12078  climabs0  12092  mulcn2  12097  reccn2ap  12098  cn1lem  12099  cjcn2  12101  climsqz  12120  climsqz2  12121  climcvg1nlem  12134  fsumabs  12251  iserabs  12261  divcnv  12283  expcnv  12290  explecnv  12291  absltap  12295  absgtap  12296  georeclim  12299  geoisumr  12304  cvgratnnlemnexp  12310  cvgratnnlemmn  12311  cvgratnnlemabsle  12313  cvgratnnlemfm  12315  cvgratnnlemrate  12316  cvgratnn  12317  cvgratz  12318  mertenslemub  12320  mertenslemi1  12321  mertenslem2  12322  fprodabs  12402  efcllemp  12444  efaddlem  12460  eftlub  12476  ef01bndlem  12542  sin01bnd  12543  cos01bnd  12544  absef  12556  dvdsabseq  12633  alzdvds  12640  dvdsbnd  12752  sqnprm  12934  pclemub  13089  mul4sqlem  13195  addcncntoplem  15753  mulcncflem  15799  cnopnap  15803  maxcncf  15807  mincncf  15808  limcimolemlt  15856  cnplimclemle  15860  limccnp2lem  15868  dveflem  15918  rpabscxpbnd  16137  pellexlem2  16191  lgsdirprm  16319  lgsdilem2  16321  lgsne0  16323  lgsabs1  16324  2sqlem1  16399  mul2sq  16401  2sqlem3  16402  dichmul0orlem2  16920  dichmul0orlem3  16921  dichmul0orlem4  16922  dichmul0orlem5  16923  dichmul0orlem6  16924  dichmul0orlem7  16925  qdencn  17238  apdifflemf  17262  apdiff  17264  ltlenmkv  17287