Theorem vdegp1bid 16436

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1aid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1aid.w	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
vdegp1aid.d	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃)
vdegp1aid.vf	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
vdegp1aid.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vdegp1bid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
vdegp1bid.xu	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)
vdegp1bid.f	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩))

Assertion

Ref	Expression
vdegp1bid	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdegp1ai.vg	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vdegp1ai.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		vdegp1aid.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
4		wrdf 11255	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
6	5	ffund 5517	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
7		vdegp1aid.vf	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
8		vdegp1bid.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩))
9		wrdv 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → 𝐼 ∈ Word V)
10	3, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word V)
11		vdegp1aid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		vdegp1bid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		prexg 4330	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ V)
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ∈ V)
15		cats1un 11438	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16	10, 14, 15	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
17	8, 16	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
18		lencl 11253	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
19	3, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
20		wrdlndm 11266	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
21	3, 20	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
22		vdegp1aid.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
23	1	1vgrex 16141	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
24	11, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
25	1, 2	wrdupgren 16217	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}) → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
26	24, 3, 25	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
27	3, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
28		wrddm 11257	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
29	3, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
30		0z 9605	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
31	19	nn0zd 9716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
32		fzofig 10818	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin)
33	30, 31, 32	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin)
34	29, 33	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
35		prelpwi 4335	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
36	11, 12, 35	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
37		vdegp1bid.xu	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)
38	37	necomd 2500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑋)
39		pr2ne 7502	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑋} ≈ 2o ↔ 𝑈 ≠ 𝑋))
40	11, 12, 39	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑈, 𝑋} ≈ 2o ↔ 𝑈 ≠ 𝑋))
41	38, 40	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ≈ 2o)
42		prid1g 3800	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
43	11, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
44	1, 2, 6, 7, 17, 19, 21, 11, 22, 27, 34, 36, 41, 43	p1evtxdp1fi 16434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
45		vdegp1aid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃)
46	45	oveq1d 6073	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1))
47	44, 46	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   ∉ wnel 2509  {crab 2526  Vcvv 2815   ∪ cun 3212  𝒫 cpw 3674  {csn 3694  {cpr 3695  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  dom cdm 4754  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654   ≈ cen 6986  Fincfn 6988  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   ++ cconcat 11303  ⟨“cs1 11328  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UPGraphcupgr 16212  VtxDegcvtxdg 16407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-xadd 10125  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-concat 11304  df-s1 11329  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-upgren 16214  df-umgren 16215  df-vtxdg 16408

This theorem is referenced by:  vdegp1cid  16437  konigsberglem1  16609  konigsberglem2  16610