Theorem vdegp1bid 16327

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1aid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1aid.w	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
vdegp1aid.d	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃)
vdegp1aid.vf	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
vdegp1aid.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vdegp1bid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
vdegp1bid.xu	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)
vdegp1bid.f	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩))

Assertion

Ref	Expression
vdegp1bid	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdegp1ai.vg	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vdegp1ai.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		vdegp1aid.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
4		wrdf 11234	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
6	5	ffund 5514	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
7		vdegp1aid.vf	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
8		vdegp1bid.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩))
9		wrdv 11244	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → 𝐼 ∈ Word V)
10	3, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word V)
11		vdegp1aid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		vdegp1bid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		prexg 4327	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ V)
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ∈ V)
15		cats1un 11417	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16	10, 14, 15	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
17	8, 16	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
18		lencl 11232	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
19	3, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
20		wrdlndm 11245	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
21	3, 20	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
22		vdegp1aid.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
23	1	1vgrex 16032	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
24	11, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
25	1, 2	wrdupgren 16108	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}) → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
26	24, 3, 25	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
27	3, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
28		wrddm 11236	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
29	3, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
30		0z 9590	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
31	19	nn0zd 9701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
32		fzofig 10798	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin)
33	30, 31, 32	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin)
34	29, 33	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
35		prelpwi 4332	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
36	11, 12, 35	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
37		vdegp1bid.xu	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)
38	37	necomd 2500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑋)
39		pr2ne 7491	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑋} ≈ 2o ↔ 𝑈 ≠ 𝑋))
40	11, 12, 39	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑈, 𝑋} ≈ 2o ↔ 𝑈 ≠ 𝑋))
41	38, 40	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ≈ 2o)
42		prid1g 3797	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
43	11, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
44	1, 2, 6, 7, 17, 19, 21, 11, 22, 27, 34, 36, 41, 43	p1evtxdp1fi 16325	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
45		vdegp1aid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃)
46	45	oveq1d 6067	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1))
47	44, 46	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   ∉ wnel 2509  {crab 2526  Vcvv 2815   ∪ cun 3211  𝒫 cpw 3671  {csn 3691  {cpr 3692  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111  dom cdm 4751  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  1_oc1o 6642  2_oc2o 6643   ≈ cen 6975  Fincfn 6977  0cc0 8129  1c1 8130   + caddc 8132  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579  ..^cfzo 10480  ♯chash 11142  Word cword 11228   ++ cconcat 11282  ⟨“cs1 11307  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  UPGraphcupgr 16103  VtxDegcvtxdg 16298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-xadd 10109  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-ihash 11143  df-word 11229  df-concat 11283  df-s1 11308  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-upgren 16105  df-umgren 16106  df-vtxdg 16299

This theorem is referenced by:  vdegp1cid  16328  konigsberglem1  16500  konigsberglem2  16501