Theorem vdegp1bid 16193

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1aid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1aid.w	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
vdegp1aid.d	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃)
vdegp1aid.vf	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
vdegp1aid.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vdegp1bid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
vdegp1bid.xu	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)
vdegp1bid.f	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩))

Assertion

Ref	Expression
vdegp1bid	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdegp1ai.vg	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vdegp1ai.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		vdegp1aid.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
4		wrdf 11126	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
6	5	ffund 5486	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
7		vdegp1aid.vf	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
8		vdegp1bid.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩))
9		wrdv 11136	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → 𝐼 ∈ Word V)
10	3, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word V)
11		vdegp1aid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		vdegp1bid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		prexg 4301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ V)
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ∈ V)
15		cats1un 11309	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16	10, 14, 15	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
17	8, 16	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
18		lencl 11124	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
19	3, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
20		wrdlndm 11137	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
21	3, 20	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
22		vdegp1aid.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
23	1	1vgrex 15898	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
24	11, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
25	1, 2	wrdupgren 15974	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}) → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
26	24, 3, 25	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
27	3, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
28		wrddm 11128	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
29	3, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
30		0z 9493	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
31	19	nn0zd 9603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
32		fzofig 10698	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin)
33	30, 31, 32	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin)
34	29, 33	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
35		prelpwi 4306	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
36	11, 12, 35	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
37		vdegp1bid.xu	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)
38	37	necomd 2488	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑋)
39		pr2ne 7400	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑋} ≈ 2o ↔ 𝑈 ≠ 𝑋))
40	11, 12, 39	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑈, 𝑋} ≈ 2o ↔ 𝑈 ≠ 𝑋))
41	38, 40	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ≈ 2o)
42		prid1g 3775	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
43	11, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
44	1, 2, 6, 7, 17, 19, 21, 11, 22, 27, 34, 36, 41, 43	p1evtxdp1fi 16191	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
45		vdegp1aid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃)
46	45	oveq1d 6036	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1))
47	44, 46	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   ∉ wnel 2497  {crab 2514  Vcvv 2802   ∪ cun 3198  𝒫 cpw 3652  {csn 3669  {cpr 3670  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6021  1_oc1o 6578  2_oc2o 6579   ≈ cen 6910  Fincfn 6912  0cc0 8035  1c1 8036   + caddc 8038  ℕ₀cn0 9405  ℤcz 9482  ..^cfzo 10380  ♯chash 11041  Word cword 11120   ++ cconcat 11174  ⟨“cs1 11199  Vtxcvtx 15890  iEdgciedg 15891  UPGraphcupgr 15969  VtxDegcvtxdg 16164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-irdg 6539  df-frec 6560  df-1o 6585  df-2o 6586  df-oadd 6589  df-er 6705  df-en 6913  df-dom 6914  df-fin 6915  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-z 9483  df-dec 9615  df-uz 9759  df-xadd 10011  df-fz 10247  df-fzo 10381  df-ihash 11042  df-word 11121  df-concat 11175  df-s1 11200  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-edgf 15883  df-vtx 15892  df-iedg 15893  df-upgren 15971  df-umgren 15972  df-vtxdg 16165

This theorem is referenced by:  vdegp1cid  16194  konigsberglem1  16366  konigsberglem2  16367