Theorem vdegp1bid 16722

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1aid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1aid.w	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
vdegp1aid.d	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃)
vdegp1aid.vf	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
vdegp1aid.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vdegp1bid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
vdegp1bid.xu	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)
vdegp1bid.f	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩))

Assertion

Ref	Expression
vdegp1bid	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdegp1ai.vg	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vdegp1ai.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		vdegp1aid.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
4		wrdf 11326	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
6	5	ffund 5537	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
7		vdegp1aid.vf	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
8		vdegp1bid.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩))
9		wrdv 11336	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → 𝐼 ∈ Word V)
10	3, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Word V)
11		vdegp1aid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		vdegp1bid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		prexg 4349	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ V)
14	11, 12, 13	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ∈ V)
15		cats1un 11509	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16	10, 14, 15	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
17	8, 16	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
18		lencl 11324	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
19	3, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
20		wrdlndm 11337	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
21	3, 20	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
22		vdegp1aid.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
23	1	1vgrex 16427	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
24	11, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
25	1, 2	wrdupgren 16503	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}) → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
26	24, 3, 25	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
27	3, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
28		wrddm 11328	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
29	3, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
30		0z 9660	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
31	19	nn0zd 9771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
32		fzofig 10884	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐼) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin)
33	30, 31, 32	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin)
34	29, 33	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
35		prelpwi 4354	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
36	11, 12, 35	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
37		vdegp1bid.xu	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑈)
38	37	necomd 2506	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑋)
39		pr2ne 7539	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑋} ≈ 2o ↔ 𝑈 ≠ 𝑋))
40	11, 12, 39	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑈, 𝑋} ≈ 2o ↔ 𝑈 ≠ 𝑋))
41	38, 40	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑈, 𝑋} ≈ 2o)
42		prid1g 3815	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
43	11, 42	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
44	1, 2, 6, 7, 17, 19, 21, 11, 22, 27, 34, 36, 41, 43	p1evtxdp1fi 16720	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
45		vdegp1aid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃)
46	45	oveq1d 6100	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1))
47	44, 46	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∉ wnel 2515  {crab 2532  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  𝒫 cpw 3688  {csn 3709  {cpr 3710  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681   ≈ cen 7020  Fincfn 7022  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ..^cfzo 10560  ♯chash 11230  Word cword 11320   ++ cconcat 11374  ⟨“cs1 11399  Vtxcvtx 16419  iEdgciedg 16420  UPGraphcupgr 16498  VtxDegcvtxdg 16693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-xadd 10186  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-ihash 11231  df-word 11321  df-concat 11375  df-s1 11400  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-edgf 16412  df-vtx 16421  df-iedg 16422  df-upgren 16500  df-umgren 16501  df-vtxdg 16694

This theorem is used by:  vdegp1cid  16723  konigsberglem1  16895  konigsberglem2  16896