Theorem swrdpfx 11289

Description: A subword of a prefix is a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Apr-2018.) (Revised by AV, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdpfx	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩)))

Proof of Theorem swrdpfx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	anim2i 342	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
4		pfxval 11256	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
5	3, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
6	5	oveq1d 6033	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
7		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
9		0elfz 10353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
10	1, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝑁))
11	10	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0...𝑁))
12	7, 8, 11	3jca 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)))
14		elfzelz 10260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		zcn 9484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	subid1d 8479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
17	16	eqcomd 2237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 − 0))
18	14, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
19	18	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝑁 = (𝑁 − 0))
20	19	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0...𝑁) = (0...(𝑁 − 0)))
21	20	eleq2d 2301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0))))
22	19	oveq2d 6034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐾...𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 0)))
23	22	eleq2d 2301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))))
24	21, 23	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0)))))
25	24	biimpa 296	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))))
26		swrdswrd 11287	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 0)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩)))
27	13, 25, 26	sylc 62	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩))
28		elfzelz 10260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 9603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
31	30	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝐾 ∈ ℂ)
32	31	addlidd 8329	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (0 + 𝐾) = 𝐾)
33		elfzelz 10260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝐿 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 9603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
35	34	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
36	35	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝐿 ∈ ℂ)
37	36	addlidd 8329	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (0 + 𝐿) = 𝐿)
38	32, 37	opeq12d 3870	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩ = ⟨𝐾, 𝐿⟩)
39	38	oveq2d 6034	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝑊 substr ⟨(0 + 𝐾), (0 + 𝐿)⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
40	6, 27, 39	3eqtrd 2268	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁))) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩))
41	40	ex 115	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...𝑁)) → ((𝑊 prefix 𝑁) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝐾, 𝐿⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3672  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032   + caddc 8035   − cmin 8350  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ...cfz 10243  ♯chash 11038  Word cword 11114   substr csubstr 11227   prefix cpfx 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11115  df-substr 11228  df-pfx 11255

This theorem is referenced by: (None)