Theorem swrdswrd 11164

Description: A subword of a subword is a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdswrd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Proof of Theorem swrdswrd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfzelz 10154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant3 1023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		elfzel2 10152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant3 1023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		swrdclg 11111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
9		elfz0ubfz0 10254	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
11		elfzuz 10150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
13		fzss1 10192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ⊆ (0...(𝑁 − 𝑀)))
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ⊆ (0...(𝑁 − 𝑀)))
15	14	sseld 3193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))))
16	15	impr 379	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)))
17		3ancomb 989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
18	17	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
20		swrdlen 11113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁 − 𝑀))
22	21	oveq2d 5967	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))) = (0...(𝑁 − 𝑀)))
23	16, 22	eleqtrrd 2286	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
24		swrdval2 11112	. . . 4 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
25	8, 10, 23, 24	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
26	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27	3	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
28	5	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
29	26, 27, 28, 6	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
30		elfzoelz 10276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑥 ∈ ℤ)
32		elfzelz 10154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
33	32	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
34	33	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
35	31, 34	zaddcld 9506	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ)
36		fvexg 5602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) ∈ V)
37	29, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) ∈ V)
38	37	ralrimiva 2580	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ∀𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) ∈ V)
39		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))
40	39	fnmpt 5408	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) ∈ V → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾)))
41	38, 40	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾)))
42		swrdswrdlem 11163	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
43		swrdvalfn 11117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
44	42, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
45		elfzelz 10154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
46		zcn 9384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
48		zcn 9384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
49	48	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
50		zcn 9384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
51	50	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
52		pnpcan 8318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)) = (𝐿 − 𝐾))
53	52	eqcomd 2212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
54	47, 49, 51, 53	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
55	54	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
56	45, 32, 55	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
57	2, 56	syl5com 29	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
58	57	3ad2ant3 1023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
59	58	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
60	59	oveq2d 5967	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (0..^(𝐿 − 𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
61	60	fneq2d 5370	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↔ (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
62	44, 61	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿 − 𝐾)))
63		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
64		oveq1 5958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
65	64	fvoveq1d 5973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
66		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)))
67	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
68		elfzoelz 10276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → 𝑦 ∈ ℤ)
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑦 ∈ ℤ)
70	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
71	69, 70	zaddcld 9506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑦 + 𝐾) ∈ ℤ)
72	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
73	71, 72	zaddcld 9506	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) ∈ ℤ)
74		fvexg 5602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V)
75	67, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V)
76	63, 65, 66, 75	fvmptd3 5680	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
77		zcn 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
78	77, 46, 50	3anim123i 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
79	78	3expa 1206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
80		add32r 8239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)) = ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀))
81	80	eqcomd 2212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
82	79, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
83	82	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
84	83	com13 80	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
85	32, 84	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
86	85	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
87	2, 86	syl5com 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
88	87	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
89	88	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
90	89, 68	impel 280	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
91	90	fveq2d 5587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
92	76, 91	eqtrd 2239	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
93	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
94		elfz2nn0 10241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
95		elfz2 10144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
96		elfzo0 10313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)))
97		nn0re 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ)
98	97	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
99		nn0re 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
101		zre 9383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
102	101	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
103		ltaddsub 8516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 ↔ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)))
104	103	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
105	98, 100, 102, 104	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
106		nn0addcl 9337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
107	106	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
109	108	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
110	109	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
111		elnn0z 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)))
112		0red 8080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
113		zre 9383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
114	113	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
115	101	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
116		lelttr 8168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
117	112, 114, 115, 116	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
118		0red 8080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
119	101	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
120		nn0re 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
121	120	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ)
122		ltletr 8169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ) → ((0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → 0 < (𝑁 − 𝑀)))
123	118, 119, 121, 122	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → 0 < (𝑁 − 𝑀)))
124		elnnnn0b 9346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝑁 − 𝑀)))
125	124	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
126	125	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (0 < (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
127	123, 126	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
128	127	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
129	128	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
130	129	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
131	117, 130	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
132	131	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))
133	132	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))))
134	133	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))))
135	134	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))))
136	135	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))))
137	111, 136	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))))
138	106, 137	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))
139	138	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))))
140	139	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))))
141	140	imp41 353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)
142		nn0readdcl 9361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
143	142	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
144	143	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
145	144	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
146		ltletr 8169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))
147	145, 102, 120, 146	syl2an3an 1311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))
148	147	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))))
149	148	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))))
150	149	imp41 353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀))
151		elfzo0 10313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝐾) < (𝑁 − 𝑀)))
152	110, 141, 150, 151	syl3anbrc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
153	152	exp41 370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
154	105, 153	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
155	154	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))))
156	155	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))))
157	156	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
158	157	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿 − 𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
159	158	impancom 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
160	159	3adant2 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿 − 𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
161	96, 160	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
162	161	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
164	163	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
165	164	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))))
166	165	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
167	95, 166	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
168	167	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
169	168	3adant3 1020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
170	94, 169	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))))
171	170	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
172	171	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
173	172	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
174	173	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
175		swrdfv 11114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
176	93, 174, 175	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
177	176	mpteq2dva 4138	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))))
178	177	fveq1d 5585	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦))
179	42	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
180	46, 48, 50	3anim123i 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
181	180	3expa 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
182	181, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
183	182	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
184	183	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
185	45, 184	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
186	32, 185	mpan9 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
187	2, 186	syl5com 29	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
188	187	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
189	188	imp 124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
190	189	oveq2d 5967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (0..^(𝐿 − 𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
191	190	eleq2d 2276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↔ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
192	191	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
193		swrdfv 11114	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
194	179, 192, 193	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
195	92, 178, 194	3eqtr4d 2249	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦))
196	41, 62, 195	eqfnfvd 5687	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
197	25, 196	eqtrd 2239	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
198	197	ex 115	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  Vcvv 2773   ⊆ wss 3167  ⟨cop 3637   class class class wbr 4047   ↦ cmpt 4109   Fn wfn 5271  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  ℝcr 7931  0cc0 7932   + caddc 7935   < clt 8114   ≤ cle 8115   − cmin 8250  ℕcn 9043  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655  ...cfz 10137  ..^cfzo 10271  ♯chash 10927  Word cword 11001   substr csubstr 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-1o 6509  df-er 6627  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-ihash 10928  df-word 11002  df-substr 11107

This theorem is referenced by:  pfxswrd  11165  swrdpfx  11166