Theorem konigsberglem5 16647

Description: Lemma 5 for konigsberg 16648: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem5	⊢ 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...3)
2		konigsberg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
3		konigsberg.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	konigsberglem4 16646	. 2 ⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
5		0z 9634	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		3z 9652	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
7		fzfig 10845	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (0...3) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ (0...3) ∈ Fin
9	1, 8	eqeltri 2311	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 ∈ Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑉 ∈ Fin)
11		2nn 9445	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	1, 2, 3	konigsbergvtx 16637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (0...3)
13	12	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...3) = (Vtx‘𝐺)
14	3	fveq2i 5693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
15	9	elexi 2834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 ∈ V
16		0nn0 9557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		1nn0 9558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		prexg 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ∈ V)
19	16, 17, 18	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 1} ∈ V
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ V)
21		2nn0 9559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		prexg 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → {0, 2} ∈ V)
23	16, 21, 22	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 2} ∈ V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ V)
25		3nn0 9560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℕ0
26		prexg 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → {0, 3} ∈ V)
27	16, 25, 26	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 3} ∈ V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ V)
29		prexg 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → {1, 2} ∈ V)
30	17, 21, 29	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {1, 2} ∈ V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ V)
32		prexg 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → {2, 3} ∈ V)
33	21, 25, 32	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {2, 3} ∈ V
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ V)
35	20, 24, 28, 31, 31, 34, 34	s7cld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word V)
36	35	mptru 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word V
37	2, 36	eqeltri 2311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
38	37	elexi 2834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐸 ∈ V
39	15, 38	opiedgfvi 16183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸
40	14, 39	eqtr2i 2260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
41		wrddm 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ∈ Word V → dom 𝐸 = (0..^(♯‘𝐸)))
42	37, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom 𝐸 = (0..^(♯‘𝐸))
43	42	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐸
44		lencl 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐸 ∈ Word V → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
45	37, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘𝐸) ∈ ℕ0
46	45	nn0zi 9645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘𝐸) ∈ ℤ
47		fzofig 10847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐸) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin)
48	5, 46, 47	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin)
50	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
51	1, 2, 3	konigsbergumgr 16642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 ∈ UMGraph
52		umgrupgr 16267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐺 ∈ UPGraph
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ UPGraph)
55	13, 40, 43, 49, 50, 54	vtxdgfif 16448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (VtxDeg‘𝐺):(0...3)⟶ℕ0)
56	55	mptru 1411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (VtxDeg‘𝐺):(0...3)⟶ℕ0
57	56	ffvelcdmi 5833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0...3) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
58	57, 1	eleq2s 2333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
59	58	nn0zd 9745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ)
60		dvdsdc 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
61	11, 59, 60	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
62		dcn 854	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
63	61, 62	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
64	63	rgen 2603	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑉 DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)
65	64	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ 𝑉 DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
66	10, 65	ssfirab 7234	. . . 4 ⊢ (⊤ → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin)
67	66	mptru 1411	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin
68	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
69	17	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
70	25	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ0)
71		0ne1 9350	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
72	71	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 1)
73		3ne0 9378	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
74	73	necomi 2505	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
75	74	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 3)
76		1re 8315	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
77		1lt3 9455	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
78	76, 77	ltneii 8412	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 3
79	78	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 3)
80	68, 69, 70, 72, 75, 79	tpfidisj 7226	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1, 3} ∈ Fin)
81	80	mptru 1411	. . 3 ⊢ {0, 1, 3} ∈ Fin
82		fihashss 11235	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin ∧ {0, 1, 3} ∈ Fin ∧ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
83	67, 81, 82	mp3an12 1368	. 2 ⊢ ({0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
84	71, 78, 73	3pm3.2i 1206	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0)
85		c0ex 8310	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
86		1ex 8311	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
87		3ex 9359	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
88		hashtpg 11277	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3))
89	85, 86, 87, 88	mp3an 1378	. . . . 5 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3)
90	84, 89	mpbi 145	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1, 3}) = 3
91	90	breq1i 4132	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ 3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
92		df-3 9343	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
93	92	breq1i 4132	. . . 4 ⊢ (3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
94		2z 9651	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		hashcl 11198	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
96	67, 95	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0
97	96	nn0zi 9645	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ
98		zltp1le 9678	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ) → (2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})))
99	94, 97, 98	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
100	93, 99	sylbb2 138	. . 3 ⊢ (3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
101	91, 100	sylbi 121	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
102	4, 83, 101	mp2b 8	1 ⊢ 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  {cpr 3706  {ctp 3707  ⟨cop 3708   class class class wbr 4125  dom cdm 4769  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Fincfn 7012  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   ≤ cle 8351  ℕcn 9283  2c2 9334  3c3 9335  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ...cfz 10390  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Word cword 11282  ⟨“cs7 11504   ∥ cdvds 12532  Vtxcvtx 16167  iEdgciedg 16168  UPGraphcupgr 16246  UMGraphcumgr 16247  VtxDegcvtxdg 16441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xadd 10154  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-ihash 11193  df-word 11283  df-concat 11337  df-s1 11362  df-s2 11506  df-s3 11507  df-s4 11508  df-s5 11509  df-s6 11510  df-s7 11511  df-dvds 12533  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-upgren 16248  df-umgren 16249  df-vtxdg 16442

This theorem is referenced by:  konigsberg  16648