Theorem konigsberglem5 16362

Description: Lemma 5 for konigsberg 16363: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem5	⊢ 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...3)
2		konigsberg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
3		konigsberg.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	konigsberglem4 16361	. 2 ⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
5		0z 9490	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		3z 9508	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
7		fzfig 10693	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (0...3) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (0...3) ∈ Fin
9	1, 8	eqeltri 2304	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 ∈ Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑉 ∈ Fin)
11		2nn 9305	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	1, 2, 3	konigsbergvtx 16352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (0...3)
13	12	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...3) = (Vtx‘𝐺)
14	3	fveq2i 5642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
15	9	elexi 2815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 ∈ V
16		0nn0 9417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		1nn0 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		prexg 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ∈ V)
19	16, 17, 18	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 1} ∈ V
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ V)
21		2nn0 9419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		prexg 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → {0, 2} ∈ V)
23	16, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 2} ∈ V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ V)
25		3nn0 9420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℕ0
26		prexg 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → {0, 3} ∈ V)
27	16, 25, 26	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 3} ∈ V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ V)
29		prexg 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → {1, 2} ∈ V)
30	17, 21, 29	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {1, 2} ∈ V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ V)
32		prexg 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → {2, 3} ∈ V)
33	21, 25, 32	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {2, 3} ∈ V
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ V)
35	20, 24, 28, 31, 31, 34, 34	s7cld 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word V)
36	35	mptru 1406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word V
37	2, 36	eqeltri 2304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
38	37	elexi 2815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐸 ∈ V
39	15, 38	opiedgfvi 15898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸
40	14, 39	eqtr2i 2253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
41		wrddm 11125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ∈ Word V → dom 𝐸 = (0..^(♯‘𝐸)))
42	37, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom 𝐸 = (0..^(♯‘𝐸))
43	42	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐸
44		lencl 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐸 ∈ Word V → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
45	37, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘𝐸) ∈ ℕ0
46	45	nn0zi 9501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘𝐸) ∈ ℤ
47		fzofig 10695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐸) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin)
48	5, 46, 47	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin)
50	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
51	1, 2, 3	konigsbergumgr 16357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 ∈ UMGraph
52		umgrupgr 15982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐺 ∈ UPGraph
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ UPGraph)
55	13, 40, 43, 49, 50, 54	vtxdgfif 16163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (VtxDeg‘𝐺):(0...3)⟶ℕ0)
56	55	mptru 1406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (VtxDeg‘𝐺):(0...3)⟶ℕ0
57	56	ffvelcdmi 5781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0...3) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
58	57, 1	eleq2s 2326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
59	58	nn0zd 9600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ)
60		dvdsdc 12377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
61	11, 59, 60	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
62		dcn 849	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
63	61, 62	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
64	63	rgen 2585	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑉 DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)
65	64	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ 𝑉 DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
66	10, 65	ssfirab 7129	. . . 4 ⊢ (⊤ → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin)
67	66	mptru 1406	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin
68	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
69	17	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
70	25	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ0)
71		0ne1 9210	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
72	71	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 1)
73		3ne0 9238	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
74	73	necomi 2487	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
75	74	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 3)
76		1re 8178	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
77		1lt3 9315	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
78	76, 77	ltneii 8276	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 3
79	78	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 3)
80	68, 69, 70, 72, 75, 79	tpfidisj 7121	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1, 3} ∈ Fin)
81	80	mptru 1406	. . 3 ⊢ {0, 1, 3} ∈ Fin
82		fihashss 11081	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin ∧ {0, 1, 3} ∈ Fin ∧ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
83	67, 81, 82	mp3an12 1363	. 2 ⊢ ({0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
84	71, 78, 73	3pm3.2i 1201	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0)
85		c0ex 8173	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
86		1ex 8174	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
87		3ex 9219	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
88		hashtpg 11112	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3))
89	85, 86, 87, 88	mp3an 1373	. . . . 5 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3)
90	84, 89	mpbi 145	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1, 3}) = 3
91	90	breq1i 4095	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ 3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
92		df-3 9203	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
93	92	breq1i 4095	. . . 4 ⊢ (3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
94		2z 9507	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		hashcl 11044	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
96	67, 95	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0
97	96	nn0zi 9501	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ
98		zltp1le 9534	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ) → (2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})))
99	94, 97, 98	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
100	93, 99	sylbb2 138	. . 3 ⊢ (3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
101	91, 100	sylbi 121	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
102	4, 83, 101	mp2b 8	1 ⊢ 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105  DECID wdc 841   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ⊤wtru 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  {crab 2514  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  {cpr 3670  {ctp 3671  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Fincfn 6909  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   < clt 8214   ≤ cle 8215  ℕcn 9143  2c2 9194  3c3 9195  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ...cfz 10243  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  Word cword 11117  ⟨“cs7 11339   ∥ cdvds 12366  Vtxcvtx 15882  iEdgciedg 15883  UPGraphcupgr 15961  UMGraphcumgr 15962  VtxDegcvtxdg 16156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-ihash 11039  df-word 11118  df-concat 11172  df-s1 11197  df-s2 11341  df-s3 11342  df-s4 11343  df-s5 11344  df-s6 11345  df-s7 11346  df-dvds 12367  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-edgf 15875  df-vtx 15884  df-iedg 15885  df-upgren 15963  df-umgren 15964  df-vtxdg 16157

This theorem is referenced by:  konigsberg  16363