Theorem konigsberglem5 16416

Description: Lemma 5 for konigsberg 16417: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem5	⊢ 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...3)
2		konigsberg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
3		konigsberg.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	konigsberglem4 16415	. 2 ⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
5		0z 9534	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		3z 9552	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
7		fzfig 10738	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (0...3) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (0...3) ∈ Fin
9	1, 8	eqeltri 2304	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 ∈ Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑉 ∈ Fin)
11		2nn 9347	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	1, 2, 3	konigsbergvtx 16406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (0...3)
13	12	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...3) = (Vtx‘𝐺)
14	3	fveq2i 5651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
15	9	elexi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 ∈ V
16		0nn0 9459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		1nn0 9460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		prexg 4307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ∈ V)
19	16, 17, 18	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 1} ∈ V
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ V)
21		2nn0 9461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		prexg 4307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → {0, 2} ∈ V)
23	16, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 2} ∈ V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ V)
25		3nn0 9462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℕ0
26		prexg 4307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → {0, 3} ∈ V)
27	16, 25, 26	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 3} ∈ V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ V)
29		prexg 4307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → {1, 2} ∈ V)
30	17, 21, 29	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {1, 2} ∈ V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ V)
32		prexg 4307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → {2, 3} ∈ V)
33	21, 25, 32	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {2, 3} ∈ V
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ V)
35	20, 24, 28, 31, 31, 34, 34	s7cld 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word V)
36	35	mptru 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word V
37	2, 36	eqeltri 2304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
38	37	elexi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐸 ∈ V
39	15, 38	opiedgfvi 15952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸
40	14, 39	eqtr2i 2253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
41		wrddm 11170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ∈ Word V → dom 𝐸 = (0..^(♯‘𝐸)))
42	37, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom 𝐸 = (0..^(♯‘𝐸))
43	42	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐸
44		lencl 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐸 ∈ Word V → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
45	37, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘𝐸) ∈ ℕ0
46	45	nn0zi 9545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘𝐸) ∈ ℤ
47		fzofig 10740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐸) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin)
48	5, 46, 47	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin)
50	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
51	1, 2, 3	konigsbergumgr 16411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 ∈ UMGraph
52		umgrupgr 16036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐺 ∈ UPGraph
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ UPGraph)
55	13, 40, 43, 49, 50, 54	vtxdgfif 16217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (VtxDeg‘𝐺):(0...3)⟶ℕ0)
56	55	mptru 1407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (VtxDeg‘𝐺):(0...3)⟶ℕ0
57	56	ffvelcdmi 5789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0...3) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
58	57, 1	eleq2s 2326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
59	58	nn0zd 9644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ)
60		dvdsdc 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
61	11, 59, 60	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
62		dcn 850	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
63	61, 62	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
64	63	rgen 2586	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑉 DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)
65	64	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ 𝑉 DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
66	10, 65	ssfirab 7172	. . . 4 ⊢ (⊤ → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin)
67	66	mptru 1407	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin
68	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
69	17	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
70	25	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ0)
71		0ne1 9252	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
72	71	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 1)
73		3ne0 9280	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
74	73	necomi 2488	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
75	74	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 3)
76		1re 8221	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
77		1lt3 9357	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
78	76, 77	ltneii 8318	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 3
79	78	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 3)
80	68, 69, 70, 72, 75, 79	tpfidisj 7164	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1, 3} ∈ Fin)
81	80	mptru 1407	. . 3 ⊢ {0, 1, 3} ∈ Fin
82		fihashss 11126	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin ∧ {0, 1, 3} ∈ Fin ∧ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
83	67, 81, 82	mp3an12 1364	. 2 ⊢ ({0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
84	71, 78, 73	3pm3.2i 1202	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0)
85		c0ex 8216	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
86		1ex 8217	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
87		3ex 9261	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
88		hashtpg 11157	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3))
89	85, 86, 87, 88	mp3an 1374	. . . . 5 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3)
90	84, 89	mpbi 145	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1, 3}) = 3
91	90	breq1i 4100	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ 3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
92		df-3 9245	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
93	92	breq1i 4100	. . . 4 ⊢ (3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
94		2z 9551	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		hashcl 11089	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
96	67, 95	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0
97	96	nn0zi 9545	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ
98		zltp1le 9578	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ) → (2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})))
99	94, 97, 98	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
100	93, 99	sylbb2 138	. . 3 ⊢ (3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
101	91, 100	sylbi 121	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
102	4, 83, 101	mp2b 8	1 ⊢ 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511  {crab 2515  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201  {cpr 3674  {ctp 3675  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  dom cdm 4731  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Fincfn 6952  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   ≤ cle 8257  ℕcn 9185  2c2 9236  3c3 9237  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523  ...cfz 10288  ..^cfzo 10422  ♯chash 11083  Word cword 11162  ⟨“cs7 11384   ∥ cdvds 12411  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  UPGraphcupgr 16015  UMGraphcumgr 16016  VtxDegcvtxdg 16210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-xadd 10052  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-fl 10576  df-mod 10631  df-ihash 11084  df-word 11163  df-concat 11217  df-s1 11242  df-s2 11386  df-s3 11387  df-s4 11388  df-s5 11389  df-s6 11390  df-s7 11391  df-dvds 12412  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-upgren 16017  df-umgren 16018  df-vtxdg 16211

This theorem is referenced by:  konigsberg  16417