Theorem konigsberglem5 16504

Description: Lemma 5 for konigsberg 16505: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem5	⊢ 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...3)
2		konigsberg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
3		konigsberg.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	konigsberglem4 16503	. 2 ⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
5		0z 9590	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		3z 9608	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
7		fzfig 10796	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (0...3) ∈ Fin)
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (0...3) ∈ Fin
9	1, 8	eqeltri 2307	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 ∈ Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑉 ∈ Fin)
11		2nn 9401	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
12	1, 2, 3	konigsbergvtx 16494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (0...3)
13	12	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...3) = (Vtx‘𝐺)
14	3	fveq2i 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
15	9	elexi 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 ∈ V
16		0nn0 9513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		1nn0 9514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		prexg 4327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ∈ V)
19	16, 17, 18	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 1} ∈ V
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ V)
21		2nn0 9515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ0
22		prexg 4327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → {0, 2} ∈ V)
23	16, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 2} ∈ V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ V)
25		3nn0 9516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℕ0
26		prexg 4327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → {0, 3} ∈ V)
27	16, 25, 26	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {0, 3} ∈ V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ V)
29		prexg 4327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → {1, 2} ∈ V)
30	17, 21, 29	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {1, 2} ∈ V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ V)
32		prexg 4327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → {2, 3} ∈ V)
33	21, 25, 32	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {2, 3} ∈ V
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ V)
35	20, 24, 28, 31, 31, 34, 34	s7cld 11479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word V)
36	35	mptru 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word V
37	2, 36	eqeltri 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
38	37	elexi 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐸 ∈ V
39	15, 38	opiedgfvi 16040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸
40	14, 39	eqtr2i 2256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
41		wrddm 11236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ∈ Word V → dom 𝐸 = (0..^(♯‘𝐸)))
42	37, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ dom 𝐸 = (0..^(♯‘𝐸))
43	42	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^(♯‘𝐸)) = dom 𝐸
44		lencl 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐸 ∈ Word V → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
45	37, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘𝐸) ∈ ℕ0
46	45	nn0zi 9601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘𝐸) ∈ ℤ
47		fzofig 10798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐸) ∈ ℤ) → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin)
48	5, 46, 47	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ Fin)
50	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
51	1, 2, 3	konigsbergumgr 16499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 ∈ UMGraph
52		umgrupgr 16124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐺 ∈ UPGraph
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → 𝐺 ∈ UPGraph)
55	13, 40, 43, 49, 50, 54	vtxdgfif 16305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (VtxDeg‘𝐺):(0...3)⟶ℕ0)
56	55	mptru 1407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (VtxDeg‘𝐺):(0...3)⟶ℕ0
57	56	ffvelcdmi 5813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0...3) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
58	57, 1	eleq2s 2329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
59	58	nn0zd 9701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ)
60		dvdsdc 12488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
61	11, 59, 60	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
62		dcn 850	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
63	61, 62	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 → DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
64	63	rgen 2597	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑉 DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)
65	64	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ 𝑉 DECID ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
66	10, 65	ssfirab 7199	. . . 4 ⊢ (⊤ → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin)
67	66	mptru 1407	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin
68	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
69	17	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
70	25	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℕ0)
71		0ne1 9306	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
72	71	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 1)
73		3ne0 9334	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
74	73	necomi 2499	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
75	74	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ≠ 3)
76		1re 8275	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
77		1lt3 9411	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
78	76, 77	ltneii 8372	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 3
79	78	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 3)
80	68, 69, 70, 72, 75, 79	tpfidisj 7191	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1, 3} ∈ Fin)
81	80	mptru 1407	. . 3 ⊢ {0, 1, 3} ∈ Fin
82		fihashss 11185	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin ∧ {0, 1, 3} ∈ Fin ∧ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
83	67, 81, 82	mp3an12 1364	. 2 ⊢ ({0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
84	71, 78, 73	3pm3.2i 1202	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0)
85		c0ex 8270	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
86		1ex 8271	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
87		3ex 9315	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
88		hashtpg 11223	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3))
89	85, 86, 87, 88	mp3an 1374	. . . . 5 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3)
90	84, 89	mpbi 145	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1, 3}) = 3
91	90	breq1i 4118	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ 3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
92		df-3 9299	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
93	92	breq1i 4118	. . . 4 ⊢ (3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
94		2z 9607	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
95		hashcl 11148	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
96	67, 95	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0
97	96	nn0zi 9601	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ
98		zltp1le 9634	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ) → (2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})))
99	94, 97, 98	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
100	93, 99	sylbb2 138	. . 3 ⊢ (3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
101	91, 100	sylbi 121	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
102	4, 83, 101	mp2b 8	1 ⊢ 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∀wral 2522  {crab 2526  Vcvv 2815   ⊆ wss 3213  {cpr 3692  {ctp 3693  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111  dom cdm 4751  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Fincfn 6977  0cc0 8129  1c1 8130   + caddc 8132   < clt 8310   ≤ cle 8311  ℕcn 9239  2c2 9290  3c3 9291  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579  ...cfz 10345  ..^cfzo 10480  ♯chash 11142  Word cword 11228  ⟨“cs7 11450   ∥ cdvds 12477  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  UPGraphcupgr 16103  UMGraphcumgr 16104  VtxDegcvtxdg 16298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-xadd 10109  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-fl 10634  df-mod 10689  df-ihash 11143  df-word 11229  df-concat 11283  df-s1 11308  df-s2 11452  df-s3 11453  df-s4 11454  df-s5 11455  df-s6 11456  df-s7 11457  df-dvds 12478  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-upgren 16105  df-umgren 16106  df-vtxdg 16299

This theorem is referenced by:  konigsberg  16505