MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipopos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipopos 17440
Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipopos.i 𝐼 = (toInc‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipopos 𝐼 ∈ Poset

Proof of Theorem ipopos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipopos.i . . . . 5 𝐼 = (toInc‘𝐹)
21fvexi 6393 . . . 4 𝐼 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
41ipobas 17435 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5 eqidd 2766 . . 3 (𝐹 ∈ V → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
6 ssid 3785 . . . 4 𝑎𝑎
7 eqid 2765 . . . . . 6 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
81, 7ipole 17438 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑎𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎𝑎𝑎))
983anidm23 1544 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎𝑎𝑎))
106, 9mpbiri 249 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹) → 𝑎(le‘𝐼)𝑎)
111, 7ipole 17438 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑎𝑏))
121, 7ipole 17438 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏𝐹𝑎𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎𝑏𝑎))
13123com23 1156 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎𝑏𝑎))
1411, 13anbi12d 624 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑎) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
15 simpl 474 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑎𝑏)
16 simpr 477 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑏𝑎)
1715, 16eqssd 3780 . . . 4 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑎 = 𝑏)
1814, 17syl6bi 244 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
19 sstr 3771 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → 𝑎𝑐)
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → 𝑎𝑐))
21113adant3r3 1235 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑎𝑏))
221, 7ipole 17438 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏𝐹𝑐𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐𝑏𝑐))
23223adant3r1 1233 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐𝑏𝑐))
2421, 23anbi12d 624 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑐) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑐)))
251, 7ipole 17438 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑐𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐𝑎𝑐))
26253adant3r2 1234 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐𝑎𝑐))
2720, 24, 263imtr4d 285 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑐) → 𝑎(le‘𝐼)𝑐))
283, 4, 5, 10, 18, 27isposd 17235 . 2 (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
29 fvprc 6372 . . . 4 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
301, 29syl5eq 2811 . . 3 𝐹 ∈ V → 𝐼 = ∅)
31 0pos 17234 . . 3 ∅ ∈ Poset
3230, 31syl6eqel 2852 . 2 𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
3328, 32pm2.61i 176 1 𝐼 ∈ Poset
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  wss 3734  c0 4081   class class class wbr 4811  cfv 6070  lecple 16235  Posetcpo 17220  toInccipo 17431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-fz 12539  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ocomp 16249  df-poset 17226  df-ipo 17432
This theorem is referenced by:  isipodrs  17441  mrelatglb  17464  mrelatglb0  17465  mrelatlub  17466  mreclatBAD  17467
  Copyright terms: Public domain W3C validator