Theorem ipopos 18716

Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ipopos.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipopos	⊢ 𝐼 ∈ Poset

Proof of Theorem ipopos

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipopos.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2	1	fvexi 6900	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
4	1	ipobas 18711	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
6		ssid 3930	. . . 4 ⊢ 𝑎 ⊆ 𝑎
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
8	1, 7	ipole 18714	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑎))
9	8	3anidm23 1448	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑎))
10	6, 9	mpbiri 261	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → 𝑎(le‘𝐼)𝑎)
11	1, 7	ipole 18714	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑏))
12	1, 7	ipole 18714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑎))
13	12	3com23 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑎))
14	11, 13	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑎) ↔ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎)))
15		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑎 ⊆ 𝑏)
16		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑏 ⊆ 𝑎)
17	15, 16	eqssd 3925	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑎 = 𝑏)
18	14, 17	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
19		sstr 3916	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑎 ⊆ 𝑐)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑎 ⊆ 𝑐))
21	11	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑏))
22	1, 7	ipole 18714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑐))
23	22	3adant3r1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑐))
24	21, 23	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑐) ↔ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐)))
25	1, 7	ipole 18714	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐))
26	25	3adant3r2 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐))
27	20, 24, 26	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑐) → 𝑎(le‘𝐼)𝑐))
28	3, 4, 5, 10, 18, 27	isposd 18502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
29		fvprc 6878	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
30	1, 29	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → 𝐼 = ∅)
31		0pos 18501	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Poset
32	30, 31	eqeltrdi 2868	. 2 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
33	28, 32	pm2.61i 184	1 ⊢ 𝐼 ∈ Poset

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  lecple 17441  Posetcpo 18487  toInccipo 18707

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ocomp 17455  df-poset 18493  df-ipo 18708

This theorem is used by:  isipodrs  18717  mrelatglb  18740  mrelatglb0  18741  mrelatlub  18742  mreclatBAD  18743  pwrssmgc  33608  nsgmgc  34010  nsgqusf1o  34014  ipolubdm  50195  ipolub  50196  ipoglbdm  50198  ipoglb  50199  mreclat  50205  topclat  50206  toplatjoin  50210  toplatmeet  50211