Theorem ipopos 18446

Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ipopos.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipopos	⊢ 𝐼 ∈ Poset

Proof of Theorem ipopos

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipopos.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2	1	fvexi 6844	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
4	1	ipobas 18441	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5		eqidd 2734	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
6		ssid 3953	. . . 4 ⊢ 𝑎 ⊆ 𝑎
7		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
8	1, 7	ipole 18444	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑎))
9	8	3anidm23 1423	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑎))
10	6, 9	mpbiri 258	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → 𝑎(le‘𝐼)𝑎)
11	1, 7	ipole 18444	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑏))
12	1, 7	ipole 18444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑎))
13	12	3com23 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑎))
14	11, 13	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑎) ↔ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎)))
15		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑎 ⊆ 𝑏)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑏 ⊆ 𝑎)
17	15, 16	eqssd 3948	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑎 = 𝑏)
18	14, 17	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
19		sstr 3939	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑎 ⊆ 𝑐)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑎 ⊆ 𝑐))
21	11	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑏))
22	1, 7	ipole 18444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑐))
23	22	3adant3r1 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑐))
24	21, 23	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑐) ↔ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐)))
25	1, 7	ipole 18444	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐))
26	25	3adant3r2 1184	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐))
27	20, 24, 26	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑐) → 𝑎(le‘𝐼)𝑐))
28	3, 4, 5, 10, 18, 27	isposd 18232	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
29		fvprc 6822	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
30	1, 29	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → 𝐼 = ∅)
31		0pos 18231	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Poset
32	30, 31	eqeltrdi 2841	. 2 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
33	28, 32	pm2.61i 182	1 ⊢ 𝐼 ∈ Poset

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  lecple 17172  Posetcpo 18217  toInccipo 18437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ocomp 17186  df-poset 18223  df-ipo 18438

This theorem is referenced by:  isipodrs  18447  mrelatglb  18470  mrelatglb0  18471  mrelatlub  18472  mreclatBAD  18473  pwrssmgc  32990  nsgmgc  33386  nsgqusf1o  33390  ipolubdm  49114  ipolub  49115  ipoglbdm  49117  ipoglb  49118  mreclat  49124  topclat  49125  toplatjoin  49129  toplatmeet  49130