MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipopos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipopos 17546
Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipopos.i 𝐼 = (toInc‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipopos 𝐼 ∈ Poset

Proof of Theorem ipopos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipopos.i . . . . 5 𝐼 = (toInc‘𝐹)
21fvexi 6460 . . . 4 𝐼 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
41ipobas 17541 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5 eqidd 2778 . . 3 (𝐹 ∈ V → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
6 ssid 3841 . . . 4 𝑎𝑎
7 eqid 2777 . . . . . 6 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
81, 7ipole 17544 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑎𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎𝑎𝑎))
983anidm23 1493 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎𝑎𝑎))
106, 9mpbiri 250 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹) → 𝑎(le‘𝐼)𝑎)
111, 7ipole 17544 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑎𝑏))
121, 7ipole 17544 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏𝐹𝑎𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎𝑏𝑎))
13123com23 1117 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎𝑏𝑎))
1411, 13anbi12d 624 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑎) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
15 simpl 476 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑎𝑏)
16 simpr 479 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑏𝑎)
1715, 16eqssd 3837 . . . 4 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑎 = 𝑏)
1814, 17syl6bi 245 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
19 sstr 3828 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → 𝑎𝑐)
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → 𝑎𝑐))
21113adant3r3 1192 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑎𝑏))
221, 7ipole 17544 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏𝐹𝑐𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐𝑏𝑐))
23223adant3r1 1190 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐𝑏𝑐))
2421, 23anbi12d 624 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑐) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑐)))
251, 7ipole 17544 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑐𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐𝑎𝑐))
26253adant3r2 1191 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐𝑎𝑐))
2720, 24, 263imtr4d 286 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑐) → 𝑎(le‘𝐼)𝑐))
283, 4, 5, 10, 18, 27isposd 17341 . 2 (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
29 fvprc 6439 . . . 4 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
301, 29syl5eq 2825 . . 3 𝐹 ∈ V → 𝐼 = ∅)
31 0pos 17340 . . 3 ∅ ∈ Poset
3230, 31syl6eqel 2866 . 2 𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
3328, 32pm2.61i 177 1 𝐼 ∈ Poset
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  Vcvv 3397  wss 3791  c0 4140   class class class wbr 4886  cfv 6135  lecple 16345  Posetcpo 17326  toInccipo 17537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ocomp 16359  df-poset 17332  df-ipo 17538
This theorem is referenced by:  isipodrs  17547  mrelatglb  17570  mrelatglb0  17571  mrelatlub  17572  mreclatBAD  17573
  Copyright terms: Public domain W3C validator