Theorem ipopos 18580

Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ipopos.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipopos	⊢ 𝐼 ∈ Poset

Proof of Theorem ipopos

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipopos.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2	1	fvexi 6885	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
4	1	ipobas 18575	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
6		ssid 3961	. . . 4 ⊢ 𝑎 ⊆ 𝑎
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
8	1, 7	ipole 18578	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑎))
9	8	3anidm23 1444	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑎))
10	6, 9	mpbiri 261	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → 𝑎(le‘𝐼)𝑎)
11	1, 7	ipole 18578	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑏))
12	1, 7	ipole 18578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑎))
13	12	3com23 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑎))
14	11, 13	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑎) ↔ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎)))
15		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑎 ⊆ 𝑏)
16		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑏 ⊆ 𝑎)
17	15, 16	eqssd 3956	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑎 = 𝑏)
18	14, 17	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
19		sstr 3947	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑎 ⊆ 𝑐)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑎 ⊆ 𝑐))
21	11	3adant3r3 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑏))
22	1, 7	ipole 18578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑐))
23	22	3adant3r1 1199	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑐))
24	21, 23	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑐) ↔ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐)))
25	1, 7	ipole 18578	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐))
26	25	3adant3r2 1200	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐))
27	20, 24, 26	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑐) → 𝑎(le‘𝐼)𝑐))
28	3, 4, 5, 10, 18, 27	isposd 18366	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
29		fvprc 6863	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
30	1, 29	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → 𝐼 = ∅)
31		0pos 18365	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Poset
32	30, 31	eqeltrdi 2873	. 2 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
33	28, 32	pm2.61i 184	1 ⊢ 𝐼 ∈ Poset

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  lecple 17305  Posetcpo 18351  toInccipo 18571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-poset 18357  df-ipo 18572

This theorem is referenced by:  isipodrs  18581  mrelatglb  18604  mrelatglb0  18605  mrelatlub  18606  mreclatBAD  18607  pwrssmgc  33228  nsgmgc  33632  nsgqusf1o  33636  ipolubdm  49617  ipolub  49618  ipoglbdm  49620  ipoglb  49621  mreclat  49627  topclat  49628  toplatjoin  49632  toplatmeet  49633