Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipopos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipopos 17772
 Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipopos.i 𝐼 = (toInc‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipopos 𝐼 ∈ Poset

Proof of Theorem ipopos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipopos.i . . . . 5 𝐼 = (toInc‘𝐹)
21fvexi 6677 . . . 4 𝐼 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
41ipobas 17767 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5 eqidd 2825 . . 3 (𝐹 ∈ V → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
6 ssid 3975 . . . 4 𝑎𝑎
7 eqid 2824 . . . . . 6 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
81, 7ipole 17770 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑎𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎𝑎𝑎))
983anidm23 1418 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎𝑎𝑎))
106, 9mpbiri 261 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹) → 𝑎(le‘𝐼)𝑎)
111, 7ipole 17770 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑎𝑏))
121, 7ipole 17770 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏𝐹𝑎𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎𝑏𝑎))
13123com23 1123 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎𝑏𝑎))
1411, 13anbi12d 633 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑎) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
15 simpl 486 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑎𝑏)
16 simpr 488 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑏𝑎)
1715, 16eqssd 3970 . . . 4 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑎 = 𝑏)
1814, 17syl6bi 256 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
19 sstr 3961 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → 𝑎𝑐)
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → 𝑎𝑐))
21113adant3r3 1181 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑎𝑏))
221, 7ipole 17770 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏𝐹𝑐𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐𝑏𝑐))
23223adant3r1 1179 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐𝑏𝑐))
2421, 23anbi12d 633 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑐) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑐)))
251, 7ipole 17770 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑐𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐𝑎𝑐))
26253adant3r2 1180 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐𝑎𝑐))
2720, 24, 263imtr4d 297 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑐) → 𝑎(le‘𝐼)𝑐))
283, 4, 5, 10, 18, 27isposd 17567 . 2 (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
29 fvprc 6656 . . . 4 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
301, 29syl5eq 2871 . . 3 𝐹 ∈ V → 𝐼 = ∅)
31 0pos 17566 . . 3 ∅ ∈ Poset
3230, 31eqeltrdi 2924 . 2 𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
3328, 32pm2.61i 185 1 𝐼 ∈ Poset
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276   class class class wbr 5053  ‘cfv 6345  lecple 16574  Posetcpo 17552  toInccipo 17763 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ocomp 16588  df-poset 17558  df-ipo 17764 This theorem is referenced by:  isipodrs  17773  mrelatglb  17796  mrelatglb0  17797  mrelatlub  17798  mreclatBAD  17799  pwrssmgc  30701
 Copyright terms: Public domain W3C validator