MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipopos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipopos 17758
Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipopos.i 𝐼 = (toInc‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipopos 𝐼 ∈ Poset

Proof of Theorem ipopos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipopos.i . . . . 5 𝐼 = (toInc‘𝐹)
21fvexi 6677 . . . 4 𝐼 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
41ipobas 17753 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5 eqidd 2819 . . 3 (𝐹 ∈ V → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
6 ssid 3986 . . . 4 𝑎𝑎
7 eqid 2818 . . . . . 6 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
81, 7ipole 17756 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑎𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎𝑎𝑎))
983anidm23 1413 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎𝑎𝑎))
106, 9mpbiri 259 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹) → 𝑎(le‘𝐼)𝑎)
111, 7ipole 17756 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑎𝑏))
121, 7ipole 17756 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏𝐹𝑎𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎𝑏𝑎))
13123com23 1118 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎𝑏𝑎))
1411, 13anbi12d 630 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑎) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑎)))
15 simpl 483 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑎𝑏)
16 simpr 485 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑏𝑎)
1715, 16eqssd 3981 . . . 4 ((𝑎𝑏𝑏𝑎) → 𝑎 = 𝑏)
1814, 17syl6bi 254 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑏𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
19 sstr 3972 . . . . 5 ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → 𝑎𝑐)
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎𝑏𝑏𝑐) → 𝑎𝑐))
21113adant3r3 1176 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑎𝑏))
221, 7ipole 17756 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏𝐹𝑐𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐𝑏𝑐))
23223adant3r1 1174 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐𝑏𝑐))
2421, 23anbi12d 630 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑐) ↔ (𝑎𝑏𝑏𝑐)))
251, 7ipole 17756 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎𝐹𝑐𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐𝑎𝑐))
26253adant3r2 1175 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐𝑎𝑐))
2720, 24, 263imtr4d 295 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎𝐹𝑏𝐹𝑐𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏𝑏(le‘𝐼)𝑐) → 𝑎(le‘𝐼)𝑐))
283, 4, 5, 10, 18, 27isposd 17553 . 2 (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
29 fvprc 6656 . . . 4 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
301, 29syl5eq 2865 . . 3 𝐹 ∈ V → 𝐼 = ∅)
31 0pos 17552 . . 3 ∅ ∈ Poset
3230, 31syl6eqel 2918 . 2 𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
3328, 32pm2.61i 183 1 𝐼 ∈ Poset
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  lecple 16560  Posetcpo 17538  toInccipo 17749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ocomp 16574  df-poset 17544  df-ipo 17750
This theorem is referenced by:  isipodrs  17759  mrelatglb  17782  mrelatglb0  17783  mrelatlub  17784  mreclatBAD  17785
  Copyright terms: Public domain W3C validator