Theorem ipopos 18630

Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ipopos.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipopos	⊢ 𝐼 ∈ Poset

Proof of Theorem ipopos

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipopos.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2	1	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
4	1	ipobas 18625	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐹 = (Base‘𝐼))
5		eqidd 2763	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (le‘𝐼) = (le‘𝐼))
6		ssid 3956	. . . 4 ⊢ 𝑎 ⊆ 𝑎
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
8	1, 7	ipole 18628	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑎))
9	8	3anidm23 1448	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑎))
10	6, 9	mpbiri 261	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → 𝑎(le‘𝐼)𝑎)
11	1, 7	ipole 18628	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑏))
12	1, 7	ipole 18628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑎 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑎))
13	12	3com23 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑎 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑎))
14	11, 13	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑎) ↔ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎)))
15		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑎 ⊆ 𝑏)
16		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑏 ⊆ 𝑎)
17	15, 16	eqssd 3951	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑎) → 𝑎 = 𝑏)
18	14, 17	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑎) → 𝑎 = 𝑏))
19		sstr 3942	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑎 ⊆ 𝑐)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑎 ⊆ 𝑐))
21	11	3adant3r3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑏 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑏))
22	1, 7	ipole 18628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑐))
23	22	3adant3r1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑏(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑐))
24	21, 23	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑐) ↔ (𝑎 ⊆ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐)))
25	1, 7	ipole 18628	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐))
26	25	3adant3r2 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → (𝑎(le‘𝐼)𝑐 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐))
27	20, 24, 26	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ (𝑎 ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) → ((𝑎(le‘𝐼)𝑏 ∧ 𝑏(le‘𝐼)𝑐) → 𝑎(le‘𝐼)𝑐))
28	3, 4, 5, 10, 18, 27	isposd 18416	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
29		fvprc 6874	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → (toInc‘𝐹) = ∅)
30	1, 29	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → 𝐼 = ∅)
31		0pos 18415	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Poset
32	30, 31	eqeltrdi 2870	. 2 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ V → 𝐼 ∈ Poset)
33	28, 32	pm2.61i 184	1 ⊢ 𝐼 ∈ Poset

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  lecple 17355  Posetcpo 18401  toInccipo 18621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ocomp 17369  df-poset 18407  df-ipo 18622

This theorem is used by:  isipodrs  18631  mrelatglb  18654  mrelatglb0  18655  mrelatlub  18656  mreclatBAD  18657  pwrssmgc  33448  nsgmgc  33849  nsgqusf1o  33853  ipolubdm  49921  ipolub  49922  ipoglbdm  49924  ipoglb  49925  mreclat  49931  topclat  49932  toplatjoin  49936  toplatmeet  49937