MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipopos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipopos 18433
Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipopos.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipopos 𝐼 ∈ Poset

Proof of Theorem ipopos
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipopos.i . . . . 5 𝐼 = (toIncβ€˜πΉ)
21fvexi 6860 . . . 4 𝐼 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ V β†’ 𝐼 ∈ V)
41ipobas 18428 . . 3 (𝐹 ∈ V β†’ 𝐹 = (Baseβ€˜πΌ))
5 eqidd 2734 . . 3 (𝐹 ∈ V β†’ (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜πΌ))
6 ssid 3970 . . . 4 π‘Ž βŠ† π‘Ž
7 eqid 2733 . . . . . 6 (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜πΌ)
81, 7ipole 18431 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΌ)π‘Ž ↔ π‘Ž βŠ† π‘Ž))
983anidm23 1422 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΌ)π‘Ž ↔ π‘Ž βŠ† π‘Ž))
106, 9mpbiri 258 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΌ)π‘Ž)
111, 7ipole 18431 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΌ)𝑏 ↔ π‘Ž βŠ† 𝑏))
121, 7ipole 18431 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ π‘Ž ∈ 𝐹) β†’ (𝑏(leβ€˜πΌ)π‘Ž ↔ 𝑏 βŠ† π‘Ž))
13123com23 1127 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) β†’ (𝑏(leβ€˜πΌ)π‘Ž ↔ 𝑏 βŠ† π‘Ž))
1411, 13anbi12d 632 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΌ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΌ)π‘Ž) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž)))
15 simpl 484 . . . . 5 ((π‘Ž βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑏)
16 simpr 486 . . . . 5 ((π‘Ž βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž) β†’ 𝑏 βŠ† π‘Ž)
1715, 16eqssd 3965 . . . 4 ((π‘Ž βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏)
1814, 17syl6bi 253 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΌ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΌ)π‘Ž) β†’ π‘Ž = 𝑏))
19 sstr 3956 . . . . 5 ((π‘Ž βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑐)
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑐))
21113adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΌ)𝑏 ↔ π‘Ž βŠ† 𝑏))
221, 7ipole 18431 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹) β†’ (𝑏(leβ€˜πΌ)𝑐 ↔ 𝑏 βŠ† 𝑐))
23223adant3r1 1183 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ (π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) β†’ (𝑏(leβ€˜πΌ)𝑐 ↔ 𝑏 βŠ† 𝑐))
2421, 23anbi12d 632 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΌ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΌ)𝑐) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐)))
251, 7ipole 18431 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΌ)𝑐 ↔ π‘Ž βŠ† 𝑐))
26253adant3r2 1184 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ (π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘Ž(leβ€˜πΌ)𝑐 ↔ π‘Ž βŠ† 𝑐))
2720, 24, 263imtr4d 294 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ (π‘Ž ∈ 𝐹 ∧ 𝑏 ∈ 𝐹 ∧ 𝑐 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘Ž(leβ€˜πΌ)𝑏 ∧ 𝑏(leβ€˜πΌ)𝑐) β†’ π‘Ž(leβ€˜πΌ)𝑐))
283, 4, 5, 10, 18, 27isposd 18220 . 2 (𝐹 ∈ V β†’ 𝐼 ∈ Poset)
29 fvprc 6838 . . . 4 (Β¬ 𝐹 ∈ V β†’ (toIncβ€˜πΉ) = βˆ…)
301, 29eqtrid 2785 . . 3 (Β¬ 𝐹 ∈ V β†’ 𝐼 = βˆ…)
31 0pos 18218 . . 3 βˆ… ∈ Poset
3230, 31eqeltrdi 2842 . 2 (Β¬ 𝐹 ∈ V β†’ 𝐼 ∈ Poset)
3328, 32pm2.61i 182 1 𝐼 ∈ Poset
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  lecple 17148  Posetcpo 18204  toInccipo 18424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ocomp 17162  df-poset 18210  df-ipo 18425
This theorem is referenced by:  isipodrs  18434  mrelatglb  18457  mrelatglb0  18458  mrelatlub  18459  mreclatBAD  18460  pwrssmgc  31916  nsgmgc  32245  nsgqusf1o  32249  ipolubdm  47102  ipolub  47103  ipoglbdm  47105  ipoglb  47106  mreclat  47112  topclat  47113  toplatjoin  47117  toplatmeet  47118
  Copyright terms: Public domain W3C validator