Theorem dvdsprime 16657

Description: If 𝑀 divides a prime, then 𝑀 is either the prime or one. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprime	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))

Proof of Theorem dvdsprime

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 16652	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))))
2		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∥ 𝑃 ↔ 𝑀 ∥ 𝑃))
3		eqeq1 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑀 = 1))
4		eqeq1 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 𝑃 ↔ 𝑀 = 𝑃))
5	3, 4	orbi12d 916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃)))
6		orcom 868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1))
7	5, 6	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
8	2, 7	imbi12d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ↔ (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1))))
9	8	rspccva 3600	. . . 4 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
10	9	adantll 712	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
11	1, 10	sylanb 579	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
12		prmz 16645	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
13		iddvds 16246	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ 𝑃)
15	14	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ 𝑃)
16		breq1 5146	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 𝑃 → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
17	15, 16	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 𝑃 → 𝑀 ∥ 𝑃))
18		1dvds 16247	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
19	12, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∥ 𝑃)
20	19	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∥ 𝑃)
21		breq1 5146	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
22	20, 21	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 1 → 𝑀 ∥ 𝑃))
23	17, 22	jaod 857	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∥ 𝑃))
24	11, 23	impbid 211	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  1c1 11139  ℕcn 12242  2c2 12297  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852   ∥ cdvds 16230  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  prm2orodd  16661  pythagtriplem4  16787  odcau  19563  prmcyg  19853  prmgrpsimpgd  20075  2lgs  27358  aks6d1c2p2  41646  rtprmirr  41971  goldbachthlem2  46949  fmtnofac1  46973  oddprmALTV  47090