Theorem dvdsprime 16618

Description: If 𝑀 divides a prime, then 𝑀 is either the prime or one. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprime	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))

Proof of Theorem dvdsprime

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 16613	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))))
2		breq1 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 ∥ 𝑃 ↔ 𝑀 ∥ 𝑃))
3		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑀 = 1))
4		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 𝑃 ↔ 𝑀 = 𝑃))
5	3, 4	orbi12d 919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃)))
6		orcom 871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1))
7	5, 6	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
8	2, 7	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ↔ (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1))))
9	8	rspccva 3576	. . . 4 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
10	9	adantll 715	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
11	1, 10	sylanb 582	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 → (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))
12		prmz 16606	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
13		iddvds 16200	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ 𝑃)
16		breq1 5102	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 𝑃 → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
17	15, 16	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 𝑃 → 𝑀 ∥ 𝑃))
18		1dvds 16201	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
19	12, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∥ 𝑃)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∥ 𝑃)
21		breq1 5102	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 1 → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
22	20, 21	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 1 → 𝑀 ∥ 𝑃))
23	17, 22	jaod 860	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∥ 𝑃))
24	11, 23	impbid 212	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃 ∨ 𝑀 = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  1c1 11031  ℕcn 12149  2c2 12204  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755   ∥ cdvds 16183  ℙcprime 16602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-dvds 16184  df-prm 16603

This theorem is referenced by:  prm2orodd  16622  pythagtriplem4  16751  odcau  19537  prmcyg  19827  prmgrpsimpgd  20049  rtprmirr  26730  2lgs  27378  aks6d1c2p2  42410  goldbachthlem2  47828  fmtnofac1  47852  oddprmALTV  47969