Theorem gcdcllem3 16547

Description: Lemma for gcdn0cl 16548, gcddvds 16549 and dvdslegcd 16550. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcllem2.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧 ∥ 𝑛}
gcdcllem2.2	⊢ 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
gcdcllem3	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐾   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑛)   𝑆(𝑧,𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcllem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}
2	1	ssrab3 4105	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ ℤ
3		prssi 4846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ)
4		neorian 3043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
5		prid1g 4785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
6		neeq1 3009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
7	6	rspcev 3635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
8	5, 7	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
9	8	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
10		prid2g 4786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
11		neeq1 3009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
12	11	rspcev 3635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
13	10, 12	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
14	13	adantll 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
15	9, 14	jaodan 958	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
16	4, 15	sylan2br 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
17		gcdcllem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧 ∥ 𝑛}
18	17	gcdcllem1 16545	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
19	3, 16, 18	syl2an2r 684	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
20	17, 1	gcdcllem2 16546	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 = 𝑆)
21		neeq1 3009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
22		raleq 3331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
23	22	rexbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
24	21, 23	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
25	20, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
27	19, 26	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥))
28		suprzcl2 13003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
29	2, 28	mp3an1 1448	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
30	27, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
31	2, 30	sselid 4006	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ)
32	27	simprd 495	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥)
33		1dvds 16319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑀)
34		1dvds 16319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
35	33, 34	anim12i 612	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
36		1z 12673	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
37		breq1 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 1 ∥ 𝑀))
38		breq1 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
39	37, 38	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
40	39, 1	elrab2 3711	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
41	36, 40	mpbiran 708	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
42	35, 41	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ 𝑅)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ∈ 𝑅)
44		suprzub 13004	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 1 ∈ 𝑅) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
45	2, 32, 43, 44	mp3an2i 1466	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
46		elnnz1 12669	. . 3 ⊢ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
47	31, 45, 46	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ)
48		breq1 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥 ∥ 𝑀 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀))
49		breq1 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
50	48, 49	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
51		breq1 5169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝑥 ∥ 𝑀))
52		breq1 5169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 ∥ 𝑁))
53	51, 52	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)))
54	53	cbvrabv 3454	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
55	1, 54	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
56	50, 55	elrab2 3711	. . . 4 ⊢ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅 ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
57	30, 56	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
58	57	simprd 495	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
59		breq1 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝐾 ∥ 𝑀))
60		breq1 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
61	59, 60	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)))
62	61, 1	elrab2 3711	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑅 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)))
63	62	biimpri 228	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∈ 𝑅)
64	63	3impb 1115	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑅)
65		suprzub 13004	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐾 ∈ 𝑅) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
66	65	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝐾 ∈ 𝑅 → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
67	2, 66	mpan 689	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐾 ∈ 𝑅 → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
68	32, 64, 67	syl2im 40	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
69	47, 58, 68	3jca 1128	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {cpr 4650   class class class wbr 5166  supcsup 9509  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℤcz 12639   ∥ cdvds 16302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303

This theorem is referenced by:  gcdn0cl  16548  gcddvds  16549  dvdslegcd  16550