Theorem gcdcllem3 16560

Description: Lemma for gcdn0cl 16561, gcddvds 16562 and dvdslegcd 16563. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcllem2.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧 ∥ 𝑛}
gcdcllem2.2	⊢ 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
gcdcllem3	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐾   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑛)   𝑆(𝑧,𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcllem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}
2	1	ssrab3 4037	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ ℤ
3		prssi 4788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ)
4		neorian 3053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
5		prid1g 4727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
6		neeq1 3020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
7	6	rspcev 3582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
8	5, 7	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
9	8	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
10		prid2g 4728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
11		neeq1 3020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
12	11	rspcev 3582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
13	10, 12	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
14	13	adantll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
15	9, 14	jaodan 972	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
16	4, 15	sylan2br 606	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
17		gcdcllem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧 ∥ 𝑛}
18	17	gcdcllem1 16558	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
19	3, 16, 18	syl2an2r 697	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
20	17, 1	gcdcllem2 16559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 = 𝑆)
21		neeq1 3020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
22		raleq 3320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
23	22	rexbidv 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
24	21, 23	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
25	20, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
26	25	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
27	19, 26	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥))
28		suprzcl2 12963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
29	2, 28	mp3an1 1477	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
30	27, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
31	2, 30	sselid 3936	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ)
32	27	simprd 500	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥)
33		1dvds 16329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑀)
34		1dvds 16329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
35	33, 34	anim12i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
36		1z 12625	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
37		breq1 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 1 ∥ 𝑀))
38		breq1 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
39	37, 38	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
40	39, 1	elrab2 3655	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
41	36, 40	mpbiran 721	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
42	35, 41	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ 𝑅)
43	42	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ∈ 𝑅)
44		suprzub 12964	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 1 ∈ 𝑅) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
45	2, 32, 43, 44	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
46		elnnz1 12621	. . 3 ⊢ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
47	31, 45, 46	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ)
48		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥 ∥ 𝑀 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀))
49		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
50	48, 49	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
51		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝑥 ∥ 𝑀))
52		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 ∥ 𝑁))
53	51, 52	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)))
54	53	cbvrabv 3426	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
55	1, 54	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
56	50, 55	elrab2 3655	. . . 4 ⊢ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅 ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
57	30, 56	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
58	57	simprd 500	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
59		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝐾 ∥ 𝑀))
60		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
61	59, 60	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)))
62	61, 1	elrab2 3655	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑅 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)))
63	62	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∈ 𝑅)
64	63	3impb 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑅)
65		suprzub 12964	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐾 ∈ 𝑅) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
66	65	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝐾 ∈ 𝑅 → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
67	2, 66	mpan 702	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐾 ∈ 𝑅 → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
68	32, 64, 67	syl2im 41	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
69	47, 58, 68	3jca 1146	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {cpr 4592   class class class wbr 5110  supcsup 9401  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕcn 12234  ℤcz 12592   ∥ cdvds 16311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312

This theorem is referenced by:  gcdn0cl  16561  gcddvds  16562  dvdslegcd  16563