Theorem gcdcllem3 16651

Description: Lemma for gcdn0cl 16652, gcddvds 16653 and dvdslegcd 16654. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcllem2.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧 ∥ 𝑛}
gcdcllem2.2	⊢ 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
gcdcllem3	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐾   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧, 𝑛)   𝑆(𝑧, 𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcllem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}
2	1	ssrab3 4030	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ ℤ
3		prssi 4782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ)
4		neorian 3051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
5		prid1g 4721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
6		neeq1 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
7	6	rspcev 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
8	5, 7	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
9	8	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
10		prid2g 4722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
11		neeq1 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
12	11	rspcev 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
13	10, 12	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
14	13	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
15	9, 14	jaodan 972	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
16	4, 15	sylan2br 607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
17		gcdcllem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧 ∥ 𝑛}
18	17	gcdcllem1 16649	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
19	3, 16, 18	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
20	17, 1	gcdcllem2 16650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 = 𝑆)
21		neeq1 3018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
22		raleq 3317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
23	22	rexbidv 3187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
24	21, 23	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
25	20, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
26	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
27	19, 26	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥))
28		suprzcl2 13046	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
29	2, 28	mp3an1 1477	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
30	27, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
31	2, 30	sselid 3929	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ)
32	27	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥)
33		1dvds 16420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑀)
34		1dvds 16420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
35	33, 34	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
36		1z 12707	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
37		breq1 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 1 ∥ 𝑀))
38		breq1 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
39	37, 38	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
40	39, 1	elrab2 3649	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
41	36, 40	mpbiran 722	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
42	35, 41	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ 𝑅)
43	42	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ∈ 𝑅)
44		suprzub 13047	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 1 ∈ 𝑅) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
45	2, 32, 43, 44	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
46		elnnz1 12703	. . 3 ⊢ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
47	31, 45, 46	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ)
48		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥 ∥ 𝑀 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀))
49		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
50	48, 49	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
51		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝑥 ∥ 𝑀))
52		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 ∥ 𝑁))
53	51, 52	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)))
54	53	cbvrabv 3423	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
55	1, 54	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
56	50, 55	elrab2 3649	. . . 4 ⊢ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅 ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
57	30, 56	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
58	57	simprd 501	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
59		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝐾 ∥ 𝑀))
60		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
61	59, 60	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)))
62	61, 1	elrab2 3649	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑅 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)))
63	62	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∈ 𝑅)
64	63	3impb 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑅)
65		suprzub 13047	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐾 ∈ 𝑅) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
66	65	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝐾 ∈ 𝑅 → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
67	2, 66	mpan 703	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐾 ∈ 𝑅 → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
68	32, 64, 67	syl2im 41	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
69	47, 58, 68	3jca 1146	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {cpr 4586   class class class wbr 5103  supcsup 9416  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12316  ℤcz 12674   ∥ cdvds 16402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403

This theorem is used by:  gcdn0cl  16652  gcddvds  16653  dvdslegcd  16654