Theorem gcdcllem3 16535

Description: Lemma for gcdn0cl 16536, gcddvds 16537 and dvdslegcd 16538. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdcllem2.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧 ∥ 𝑛}
gcdcllem2.2	⊢ 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
gcdcllem3	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐾   𝑧,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑛)   𝑆(𝑧,𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcllem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)}
2	1	ssrab3 4092	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ ℤ
3		prssi 4826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ)
4		neorian 3035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
5		prid1g 4765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁})
6		neeq1 3001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
7	6	rspcev 3622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
8	5, 7	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
9	8	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
10		prid2g 4766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁})
11		neeq1 3001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
12	11	rspcev 3622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
13	10, 12	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
14	13	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
15	9, 14	jaodan 959	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∨ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
16	4, 15	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0)
17		gcdcllem2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑧 ∥ 𝑛}
18	17	gcdcllem1 16533	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
19	3, 16, 18	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
20	17, 1	gcdcllem2 16534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 = 𝑆)
21		neeq1 3001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
22		raleq 3321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
23	22	rexbidv 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
24	21, 23	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 𝑆 → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
25	20, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
27	19, 26	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥))
28		suprzcl2 12978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
29	2, 28	mp3an1 1447	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
30	27, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅)
31	2, 30	sselid 3993	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ)
32	27	simprd 495	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥)
33		1dvds 16305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑀)
34		1dvds 16305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
35	33, 34	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
36		1z 12645	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
37		breq1 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 1 ∥ 𝑀))
38		breq1 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
39	37, 38	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
40	39, 1	elrab2 3698	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁)))
41	36, 40	mpbiran 709	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑅 ↔ (1 ∥ 𝑀 ∧ 1 ∥ 𝑁))
42	35, 41	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ 𝑅)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ∈ 𝑅)
44		suprzub 12979	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 1 ∈ 𝑅) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
45	2, 32, 43, 44	mp3an2i 1465	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
46		elnnz1 12641	. . 3 ⊢ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
47	31, 45, 46	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ)
48		breq1 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥 ∥ 𝑀 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀))
49		breq1 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
50	48, 49	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = sup(𝑅, ℝ, < ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
51		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝑥 ∥ 𝑀))
52		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 ∥ 𝑁))
53	51, 52	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)))
54	53	cbvrabv 3444	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
55	1, 54	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)}
56	50, 55	elrab2 3698	. . . 4 ⊢ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ 𝑅 ↔ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
57	30, 56	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
58	57	simprd 495	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
59		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝑧 ∥ 𝑀 ↔ 𝐾 ∥ 𝑀))
60		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
61	59, 60	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐾 → ((𝑧 ∥ 𝑀 ∧ 𝑧 ∥ 𝑁) ↔ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)))
62	61, 1	elrab2 3698	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑅 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)))
63	62	biimpri 228	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∈ 𝑅)
64	63	3impb 1114	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑅)
65		suprzub 12979	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ 𝐾 ∈ 𝑅) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))
66	65	3expia 1120	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝐾 ∈ 𝑅 → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
67	2, 66	mpan 690	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≤ 𝑥 → (𝐾 ∈ 𝑅 → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
68	32, 64, 67	syl2im 40	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < )))
69	47, 58, 68	3jca 1127	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup(𝑅, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ≤ sup(𝑅, ℝ, < ))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {cpr 4633   class class class wbr 5148  supcsup 9478  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℕcn 12264  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288

This theorem is referenced by:  gcdn0cl  16536  gcddvds  16537  dvdslegcd  16538