Theorem oddvdssubg 19834

Description: The set of all elements whose order divides a fixed integer is a subgroup of any abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
torsubg.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
oddvdssubg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvdssubg	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂

Proof of Theorem oddvdssubg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4055	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵)
3		fveq2 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘(0g‘𝐺)))
4	3	breq1d 5129	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(0g‘𝐺)) ∥ 𝑁))
5		ablgrp 19764	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
7		oddvdssubg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	7, 8	grpidcl 18946	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
11		torsubg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12	11, 8	od1 19538	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘(0g‘𝐺)) = 1)
13	6, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g‘𝐺)) = 1)
14		1dvds 16288	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∥ 𝑁)
16	13, 15	eqbrtrd 5141	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g‘𝐺)) ∥ 𝑁)
17	4, 10, 16	elrabd 3673	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g‘𝐺) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
18	17	ne0d 4317	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅)
19		fveq2 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑦))
20	19	breq1d 5129	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁))
21	20	elrab 3671	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁))
22		fveq2 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑧))
23	22	breq1d 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁))
24	23	elrab 3671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁))
25		fveq2 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
26	25	breq1d 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁))
27	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
29		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
33	7, 32	grpcl 18922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
34	28, 30, 31, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
35		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Abel)
36		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
38	7, 37, 32	mulgdi 19805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)))
39	35, 36, 30, 31, 38	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)))
40		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)
42	7, 11, 37, 8	oddvds 19526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)))
43	28, 30, 36, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)))
44	41, 43	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
45		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)
46	7, 11, 37, 8	oddvds 19526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)))
47	28, 31, 36, 46	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)))
48	45, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺))
49	44, 48	oveq12d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
50	28, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
51	7, 32, 8	grplid 18948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
52	28, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
53	39, 49, 52	3eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺))
54	7, 11, 37, 8	oddvds 19526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺)))
55	28, 34, 36, 54	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺)))
56	53, 55	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁)
57	26, 34, 56	elrabd 3673	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
58	24, 57	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
59	58	ralrimiva 3132	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
60		fveq2 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)))
61	60	breq1d 5129	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁))
62		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
63	7, 62	grpinvcl 18968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
64	27, 29, 63	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
65	11, 62, 7	odinv 19540	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑂‘𝑦))
66	27, 29, 65	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑂‘𝑦))
67	66, 40	eqbrtrd 5141	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁)
68	61, 64, 67	elrabd 3673	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
69	59, 68	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
70	21, 69	sylan2b 594	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
71	70	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
72	7, 32, 62	issubg2 19122	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))))
73	6, 72	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))))
74	2, 18, 71, 73	mpbir3and 1343	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3415   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1c1 11128  ℤcz 12586   ∥ cdvds 16270  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269  0_gc0g 17451  Grpcgrp 18914  inv_gcminusg 18915  ._gcmg 19048  SubGrpcsubg 19101  odcod 19503  Abelcabl 19760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16271  df-gcd 16512  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-mulg 19049  df-subg 19104  df-od 19507  df-cmn 19761  df-abl 19762

This theorem is referenced by:  ablfacrplem  20046  ablfacrp  20047  ablfacrp2  20048  ablfac1b  20051