Theorem oddvdssubg 20081

Description: The set of all elements whose order divides a fixed integer is a subgroup of any abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
torsubg.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
oddvdssubg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvdssubg	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂

Proof of Theorem oddvdssubg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4007	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵)
3		fveq2 6893	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘(0g‘𝐺)))
4	3	breq1d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(0g‘𝐺)) ∥ 𝑁))
5		ablgrp 20011	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
7		oddvdssubg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	7, 8	grpidcl 19188	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
10	6, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
11		torsubg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12	11, 8	od1 19785	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘(0g‘𝐺)) = 1)
13	6, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g‘𝐺)) = 1)
14		1dvds 16452	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∥ 𝑁)
16	13, 15	eqbrtrd 5129	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g‘𝐺)) ∥ 𝑁)
17	4, 10, 16	elrabd 3649	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g‘𝐺) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
18	17	ne0d 4290	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅)
19		fveq2 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑦))
20	19	breq1d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁))
21	20	elrab 3647	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁))
22		fveq2 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑧))
23	22	breq1d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁))
24	23	elrab 3647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁))
25		fveq2 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
26	25	breq1d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁))
27	6	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
29		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
33	7, 32	grpcl 19164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
34	28, 30, 31, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
35		simplll 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Abel)
36		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
38	7, 37, 32	mulgdi 20052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)))
39	35, 36, 30, 31, 38	syl13anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)))
40		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)
42	7, 11, 37, 8	oddvds 19773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)))
43	28, 30, 36, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)))
44	41, 43	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
45		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)
46	7, 11, 37, 8	oddvds 19773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)))
47	28, 31, 36, 46	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)))
48	45, 47	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺))
49	44, 48	oveq12d 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
50	28, 9	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
51	7, 32, 8	grplid 19190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
52	28, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
53	39, 49, 52	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺))
54	7, 11, 37, 8	oddvds 19773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺)))
55	28, 34, 36, 54	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺)))
56	53, 55	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁)
57	26, 34, 56	elrabd 3649	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
58	24, 57	sylan2b 606	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
59	58	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
60		fveq2 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)))
61	60	breq1d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁))
62		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
63	7, 62	grpinvcl 19210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
64	27, 29, 63	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
65	11, 62, 7	odinv 19787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑂‘𝑦))
66	27, 29, 65	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑂‘𝑦))
67	66, 40	eqbrtrd 5129	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁)
68	61, 64, 67	elrabd 3649	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
69	59, 68	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
70	21, 69	sylan2b 606	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
71	70	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
72	7, 32, 62	issubg2 19364	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))))
73	6, 72	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))))
74	2, 18, 71, 73	mpbir3and 1361	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3415   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  1c1 11211  ℤcz 12703   ∥ cdvds 16434  Basecbs 17399  +_gcplusg 17440  0_gc0g 17622  Grpcgrp 19156  inv_gcminusg 19157  ._gcmg 19289  SubGrpcsubg 19342  odcod 19750  Abelcabl 20007

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-dvds 16435  df-gcd 16677  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-od 19754  df-cmn 20008  df-abl 20009

This theorem is used by:  ablfacrplem  20293  ablfacrp  20294  ablfacrp2  20295  ablfac1b  20298