MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvdssubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddvdssubg 19528
Description: The set of all elements whose order divides a fixed integer is a subgroup of any abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
torsubg.1 𝑂 = (od‘𝐺)
oddvdssubg.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
oddvdssubg ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂

Proof of Theorem oddvdssubg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4023 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
21a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵)
3 fveq2 6811 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘(0g𝐺)))
43breq1d 5096 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(0g𝐺)) ∥ 𝑁))
5 ablgrp 19463 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
7 oddvdssubg.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
97, 8grpidcl 18680 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
106, 9syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
11 torsubg.1 . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
1211, 8od1 19239 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘(0g𝐺)) = 1)
136, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g𝐺)) = 1)
14 1dvds 16056 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
1514adantl 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∥ 𝑁)
1613, 15eqbrtrd 5108 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g𝐺)) ∥ 𝑁)
174, 10, 16elrabd 3635 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
1817ne0d 4279 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅)
19 fveq2 6811 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑦))
2019breq1d 5096 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁))
2120elrab 3633 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁))
22 fveq2 6811 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑧))
2322breq1d 5096 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁))
2423elrab 3633 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁))
25 fveq2 6811 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2625breq1d 5096 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁))
276adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
29 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝑦𝐵)
3029adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑦𝐵)
31 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑧𝐵)
32 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
337, 32grpcl 18658 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
3428, 30, 31, 33syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
35 simplll 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Abel)
36 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (.g𝐺) = (.g𝐺)
387, 37, 32mulgdi 19500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑁(.g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑁(.g𝐺)𝑧)))
3935, 36, 30, 31, 38syl13anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑁(.g𝐺)𝑧)))
40 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)
427, 11, 37, 8oddvds 19228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺)))
4328, 30, 36, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺)))
4441, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
45 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)
467, 11, 37, 8oddvds 19228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑧) = (0g𝐺)))
4728, 31, 36, 46syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑧) = (0g𝐺)))
4845, 47mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g𝐺)𝑧) = (0g𝐺))
4944, 48oveq12d 7334 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑁(.g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑁(.g𝐺)𝑧)) = ((0g𝐺)(+g𝐺)(0g𝐺)))
5028, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
517, 32, 8grplid 18682 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)(0g𝐺)) = (0g𝐺))
5228, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)(0g𝐺)) = (0g𝐺))
5339, 49, 523eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (0g𝐺))
547, 11, 37, 8oddvds 19228 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (0g𝐺)))
5528, 34, 36, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (0g𝐺)))
5653, 55mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁)
5726, 34, 56elrabd 3635 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
5824, 57sylan2b 594 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
5958ralrimiva 3139 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
60 fveq2 6811 . . . . . . 7 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((invg𝐺)‘𝑦)))
6160breq1d 5096 . . . . . 6 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((invg𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁))
62 eqid 2736 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
637, 62grpinvcl 18700 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6427, 29, 63syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6511, 62, 7odinv 19241 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → (𝑂‘((invg𝐺)‘𝑦)) = (𝑂𝑦))
6627, 29, 65syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg𝐺)‘𝑦)) = (𝑂𝑦))
6766, 40eqbrtrd 5108 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁)
6861, 64, 67elrabd 3635 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
6959, 68jca 512 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}))
7021, 69sylan2b 594 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}))
7170ralrimiva 3139 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}))
727, 32, 62issubg2 18843 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}))))
736, 72syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}))))
742, 18, 71, 73mpbir3and 1341 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  {crab 3403  wss 3896  c0 4266   class class class wbr 5086  cfv 6465  (class class class)co 7316  1c1 10951  cz 12398  cdvds 16039  Basecbs 16986  +gcplusg 17036  0gc0g 17224  Grpcgrp 18650  invgcminusg 18651  .gcmg 18773  SubGrpcsubg 18822  odcod 19205  Abelcabl 19459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-sup 9277  df-inf 9278  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-rp 12810  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-fl 13591  df-mod 13669  df-seq 13801  df-exp 13862  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-dvds 16040  df-gcd 16278  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-0g 17226  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-sbg 18655  df-mulg 18774  df-subg 18825  df-od 19209  df-cmn 19460  df-abl 19461
This theorem is referenced by:  ablfacrplem  19740  ablfacrp  19741  ablfacrp2  19742  ablfac1b  19745
  Copyright terms: Public domain W3C validator