MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvdssubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddvdssubg 19640
Description: The set of all elements whose order divides a fixed integer is a subgroup of any abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
torsubg.1 𝑂 = (od‘𝐺)
oddvdssubg.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
oddvdssubg ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂

Proof of Theorem oddvdssubg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4042 . . 3 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
21a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵)
3 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘(0g𝐺)))
43breq1d 5120 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(0g𝐺)) ∥ 𝑁))
5 ablgrp 19574 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
65adantr 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
7 oddvdssubg.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
97, 8grpidcl 18785 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
106, 9syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
11 torsubg.1 . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
1211, 8od1 19348 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘(0g𝐺)) = 1)
136, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g𝐺)) = 1)
14 1dvds 16160 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
1514adantl 483 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∥ 𝑁)
1613, 15eqbrtrd 5132 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g𝐺)) ∥ 𝑁)
174, 10, 16elrabd 3652 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g𝐺) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
1817ne0d 4300 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅)
19 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑦))
2019breq1d 5120 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁))
2120elrab 3650 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁))
22 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑧))
2322breq1d 5120 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁))
2423elrab 3650 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁))
25 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2625breq1d 5120 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁))
276adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
29 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝑦𝐵)
3029adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑦𝐵)
31 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑧𝐵)
32 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
337, 32grpcl 18763 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
3428, 30, 31, 33syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
35 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Abel)
36 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (.g𝐺) = (.g𝐺)
387, 37, 32mulgdi 19612 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑁(.g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑁(.g𝐺)𝑧)))
3935, 36, 30, 31, 38syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑁(.g𝐺)𝑧)))
40 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)
427, 11, 37, 8oddvds 19336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺)))
4328, 30, 36, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺)))
4441, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
45 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)
467, 11, 37, 8oddvds 19336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑧) = (0g𝐺)))
4728, 31, 36, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)𝑧) = (0g𝐺)))
4845, 47mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g𝐺)𝑧) = (0g𝐺))
4944, 48oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑁(.g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑁(.g𝐺)𝑧)) = ((0g𝐺)(+g𝐺)(0g𝐺)))
5028, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
517, 32, 8grplid 18787 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)(0g𝐺)) = (0g𝐺))
5228, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)(0g𝐺)) = (0g𝐺))
5339, 49, 523eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (0g𝐺))
547, 11, 37, 8oddvds 19336 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (0g𝐺)))
5528, 34, 36, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (0g𝐺)))
5653, 55mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁)
5726, 34, 56elrabd 3652 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑂𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
5824, 57sylan2b 595 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
5958ralrimiva 3144 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
60 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((invg𝐺)‘𝑦)))
6160breq1d 5120 . . . . . 6 (𝑥 = ((invg𝐺)‘𝑦) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((invg𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁))
62 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
637, 62grpinvcl 18805 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6427, 29, 63syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
6511, 62, 7odinv 19350 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → (𝑂‘((invg𝐺)‘𝑦)) = (𝑂𝑦))
6627, 29, 65syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg𝐺)‘𝑦)) = (𝑂𝑦))
6766, 40eqbrtrd 5132 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁)
6861, 64, 67elrabd 3652 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
6959, 68jca 513 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑂𝑦) ∥ 𝑁)) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}))
7021, 69sylan2b 595 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}))
7170ralrimiva 3144 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}))
727, 32, 62issubg2 18950 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}))))
736, 72syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}))))
742, 18, 71, 73mpbir3and 1343 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  {crab 3410  wss 3915  c0 4287   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059  cz 12506  cdvds 16143  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  .gcmg 18879  SubGrpcsubg 18929  odcod 19313  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-od 19317  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by:  ablfacrplem  19851  ablfacrp  19852  ablfacrp2  19853  ablfac1b  19856
  Copyright terms: Public domain W3C validator