Theorem oddvdssubg 18977

Description: The set of all elements whose order divides a fixed integer is a subgroup of any abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
torsubg.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
oddvdssubg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvdssubg	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂

Proof of Theorem oddvdssubg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4058	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵)
3		fveq2 6672	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘(0g‘𝐺)))
4	3	breq1d 5078	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(0g‘𝐺)) ∥ 𝑁))
5		ablgrp 18913	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
7		oddvdssubg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	7, 8	grpidcl 18133	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
11		torsubg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12	11, 8	od1 18688	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘(0g‘𝐺)) = 1)
13	6, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g‘𝐺)) = 1)
14		1dvds 15626	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
15	14	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∥ 𝑁)
16	13, 15	eqbrtrd 5090	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g‘𝐺)) ∥ 𝑁)
17	4, 10, 16	elrabd 3684	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g‘𝐺) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
18	17	ne0d 4303	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅)
19		fveq2 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑦))
20	19	breq1d 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁))
21	20	elrab 3682	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁))
22		fveq2 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑧))
23	22	breq1d 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁))
24	23	elrab 3682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁))
25		fveq2 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
26	25	breq1d 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁))
27	6	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
28	27	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
29		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
33	7, 32	grpcl 18113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
34	28, 30, 31, 33	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
35		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Abel)
36		simpllr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37		eqid 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
38	7, 37, 32	mulgdi 18949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)))
39	35, 36, 30, 31, 38	syl13anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)))
40		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)
41	40	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)
42	7, 11, 37, 8	oddvds 18677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)))
43	28, 30, 36, 42	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)))
44	41, 43	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
45		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)
46	7, 11, 37, 8	oddvds 18677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)))
47	28, 31, 36, 46	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)))
48	45, 47	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺))
49	44, 48	oveq12d 7176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
50	28, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
51	7, 32, 8	grplid 18135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
52	28, 50, 51	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
53	39, 49, 52	3eqtrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺))
54	7, 11, 37, 8	oddvds 18677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺)))
55	28, 34, 36, 54	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺)))
56	53, 55	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁)
57	26, 34, 56	elrabd 3684	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
58	24, 57	sylan2b 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
59	58	ralrimiva 3184	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
60		fveq2 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)))
61	60	breq1d 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁))
62		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
63	7, 62	grpinvcl 18153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
64	27, 29, 63	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
65	11, 62, 7	odinv 18690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑂‘𝑦))
66	27, 29, 65	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑂‘𝑦))
67	66, 40	eqbrtrd 5090	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁)
68	61, 64, 67	elrabd 3684	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
69	59, 68	jca 514	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
70	21, 69	sylan2b 595	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
71	70	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
72	7, 32, 62	issubg2 18296	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))))
73	6, 72	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))))
74	2, 18, 71, 73	mpbir3and 1338	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  {crab 3144   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  1c1 10540  ℤcz 11984   ∥ cdvds 15609  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  0_gc0g 16715  Grpcgrp 18105  inv_gcminusg 18106  ._gcmg 18226  SubGrpcsubg 18275  odcod 18654  Abelcabl 18909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-gcd 15846  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-od 18658  df-cmn 18910  df-abl 18911

This theorem is referenced by:  ablfacrplem  19189  ablfacrp  19190  ablfacrp2  19191  ablfac1b  19194