MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdcllem1 16379
Description: Lemma for gcdn0cl 16382, gcddvds 16383 and dvdslegcd 16384. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
gcdcllem1.1 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛𝐴 𝑧𝑛}
Assertion
Ref Expression
gcdcllem1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 12533 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 ssel 3937 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛𝐴𝑛 ∈ ℤ))
3 1dvds 16153 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑛)
42, 3syl6 35 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛𝐴 → 1 ∥ 𝑛))
54ralrimiv 3142 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛)
6 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑧𝑛 ↔ 1 ∥ 𝑛))
76ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (∀𝑛𝐴 𝑧𝑛 ↔ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛))
8 gcdcllem1.1 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛𝐴 𝑧𝑛}
97, 8elrab2 3648 . . . . . 6 (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛))
109biimpri 227 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛) → 1 ∈ 𝑆)
111, 5, 10sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → 1 ∈ 𝑆)
1211ne0d 4295 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝑆 ≠ ∅)
1312adantr 481 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → 𝑆 ≠ ∅)
14 neeq1 3006 . . . 4 (𝑛 = 𝑤 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑤 ≠ 0))
1514cbvrexvw 3226 . . 3 (∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0)
16 breq1 5108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑛𝑦𝑛))
1716ralbidv 3174 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑛𝐴 𝑧𝑛 ↔ ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛))
1817, 8elrab2 3648 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛))
1918simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑆 → ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛)
2018simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℤ)
21 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
22 dvdsleabs 16193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
23223expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2421, 23sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴)) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2524anassrs 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2625com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2726ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2827ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2920, 28sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
30 r19.26 3114 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) ↔ (∀𝑛𝐴 𝑦𝑛 ∧ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))))
31 pm3.35 801 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3231ralimi 3086 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3330, 32sylbir 234 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛𝐴 𝑦𝑛 ∧ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3419, 29, 33syl2an2 684 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3534ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
36 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑤 → (abs‘𝑛) = (abs‘𝑤))
3736breq2d 5117 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (abs‘𝑛) ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
3814, 37imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑤 → ((𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤))))
3938cbvralvw 3225 . . . . . . . . 9 (∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4039ralbii 3096 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑦𝑆𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
41 ralcom 3272 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
42 r19.21v 3176 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4342ralbii 3096 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4440, 41, 433bitri 296 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4535, 44sylib 217 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
46 ssel2 3939 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
47 nn0abscl 15197 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℤ → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
4948nn0zd 12525 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℤ)
50 breq2 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (abs‘𝑤) → (𝑦𝑥𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5150ralbidv 3174 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (abs‘𝑤) → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5251adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑥 = (abs‘𝑤)) → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5349, 52rspcedv 3574 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
5453imim2d 57 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)))
5554ralimdva 3164 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)))
5645, 55mpd 15 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
57 r19.23v 3179 . . . . 5 (∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) ↔ (∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
5856, 57sylib 217 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
5958imp 407 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
6015, 59sylan2b 594 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
6113, 60jca 512 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  0cc0 11051  1c1 11052  cle 11190  0cn0 12413  cz 12499  abscabs 15119  cdvds 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137
This theorem is referenced by:  gcdcllem3  16381
  Copyright terms: Public domain W3C validator