Theorem gcdcllem1 16466

Description: Lemma for gcdn0cl 16469, gcddvds 16470 and dvdslegcd 16471. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
gcdcllem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛}

Assertion

Ref	Expression
gcdcllem1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12555	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ssel 3916	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ ℤ))
3		1dvds 16237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑛)
4	2, 3	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛 ∈ 𝐴 → 1 ∥ 𝑛))
5	4	ralrimiv 3131	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛)
6		breq1 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑛 ↔ 1 ∥ 𝑛))
7	6	ralbidv 3163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛))
8		gcdcllem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛}
9	7, 8	elrab2 3639	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛))
10	9	biimpri 229	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛) → 1 ∈ 𝑆)
11	1, 5, 10	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 1 ∈ 𝑆)
12	11	ne0d 4277	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝑆 ≠ ∅)
13	12	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → 𝑆 ≠ ∅)
14		neeq1 2997	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑤 ≠ 0))
15	14	cbvrexvw 3219	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0)
16		breq1 5082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑛 ↔ 𝑦 ∥ 𝑛))
17	16	ralbidv 3163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛))
18	17, 8	elrab2 3639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛))
19	18	simprbi 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛)
20	18	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℤ)
21		ssel2 3917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
22		dvdsleabs 16278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
23	22	3expia 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
24	21, 23	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴)) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
25	24	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
26	25	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
27	26	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
28	27	ancoms 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
29	20, 28	sylan2 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
30		r19.26 3100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) ↔ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))))
31		pm3.35 808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
32	31	ralimi 3077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
33	30, 32	sylbir 236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
34	19, 29, 33	syl2an2 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
35	34	ralrimiva 3132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
36		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (abs‘𝑛) = (abs‘𝑤))
37	36	breq2d 5091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (abs‘𝑛) ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
38	14, 37	imbi12d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → ((𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤))))
39	38	cbvralvw 3218	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
40	39	ralbii 3086	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
41		ralcom 3268	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
42		r19.21v 3165	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
43	42	ralbii 3086	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
44	40, 41, 43	3bitri 298	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
45	35, 44	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
46		ssel2 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
47		nn0abscl 15272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
49	48	nn0zd 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℤ)
50		breq2 5083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (abs‘𝑤) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
51	50	ralbidv 3163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (abs‘𝑤) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
52	51	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (abs‘𝑤)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
53	49, 52	rspcedv 3560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
54	53	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
55	54	ralimdva 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
56	45, 55	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
57		r19.23v 3167	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
58	56, 57	sylib 219	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
59	58	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
60	15, 59	sylan2b 600	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
61	13, 60	jca 516	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  0cc0 11036  1c1 11037   ≤ cle 11178  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  abscabs 15194   ∥ cdvds 16219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220

This theorem is referenced by:  gcdcllem3  16468