Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdcllem1 15842
 Description: Lemma for gcdn0cl 15845, gcddvds 15846 and dvdslegcd 15847. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
gcdcllem1.1 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛𝐴 𝑧𝑛}
Assertion
Ref Expression
gcdcllem1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 12004 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 ssel 3911 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛𝐴𝑛 ∈ ℤ))
3 1dvds 15620 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑛)
42, 3syl6 35 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛𝐴 → 1 ∥ 𝑛))
54ralrimiv 3151 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛)
6 breq1 5036 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑧𝑛 ↔ 1 ∥ 𝑛))
76ralbidv 3165 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (∀𝑛𝐴 𝑧𝑛 ↔ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛))
8 gcdcllem1.1 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛𝐴 𝑧𝑛}
97, 8elrab2 3634 . . . . . 6 (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛))
109biimpri 231 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛) → 1 ∈ 𝑆)
111, 5, 10sylancr 590 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → 1 ∈ 𝑆)
1211ne0d 4254 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝑆 ≠ ∅)
1312adantr 484 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → 𝑆 ≠ ∅)
14 neeq1 3052 . . . 4 (𝑛 = 𝑤 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑤 ≠ 0))
1514cbvrexvw 3400 . . 3 (∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0)
16 breq1 5036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑛𝑦𝑛))
1716ralbidv 3165 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑛𝐴 𝑧𝑛 ↔ ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛))
1817, 8elrab2 3634 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛))
1918simprbi 500 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑆 → ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛)
2018simplbi 501 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℤ)
21 ssel2 3913 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
22 dvdsleabs 15657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
23223expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2421, 23sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴)) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2524anassrs 471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2625com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2726ralrimiva 3152 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2827ancoms 462 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2920, 28sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
30 r19.26 3140 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) ↔ (∀𝑛𝐴 𝑦𝑛 ∧ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))))
31 pm3.35 802 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3231ralimi 3131 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3330, 32sylbir 238 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛𝐴 𝑦𝑛 ∧ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3419, 29, 33syl2an2 685 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3534ralrimiva 3152 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
36 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑤 → (abs‘𝑛) = (abs‘𝑤))
3736breq2d 5045 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (abs‘𝑛) ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
3814, 37imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑤 → ((𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤))))
3938cbvralvw 3399 . . . . . . . . 9 (∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4039ralbii 3136 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑦𝑆𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
41 ralcom 3310 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
42 r19.21v 3145 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4342ralbii 3136 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4440, 41, 433bitri 300 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4535, 44sylib 221 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
46 ssel2 3913 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
47 nn0abscl 14668 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℤ → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
4948nn0zd 12077 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℤ)
50 breq2 5037 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (abs‘𝑤) → (𝑦𝑥𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5150ralbidv 3165 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (abs‘𝑤) → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5251adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑥 = (abs‘𝑤)) → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5349, 52rspcedv 3567 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
5453imim2d 57 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)))
5554ralimdva 3147 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)))
5645, 55mpd 15 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
57 r19.23v 3241 . . . . 5 (∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) ↔ (∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
5856, 57sylib 221 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
5958imp 410 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
6015, 59sylan2b 596 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
6113, 60jca 515 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  0cc0 10530  1c1 10531   ≤ cle 10669  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  abscabs 14589   ∥ cdvds 15603 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-dvds 15604 This theorem is referenced by:  gcdcllem3  15844
 Copyright terms: Public domain W3C validator