Theorem gcdcllem1 16134

Description: Lemma for gcdn0cl 16137, gcddvds 16138 and dvdslegcd 16139. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
gcdcllem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛}

Assertion

Ref	Expression
gcdcllem1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12280	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ssel 3910	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ ℤ))
3		1dvds 15908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑛)
4	2, 3	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛 ∈ 𝐴 → 1 ∥ 𝑛))
5	4	ralrimiv 3106	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛)
6		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑛 ↔ 1 ∥ 𝑛))
7	6	ralbidv 3120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛))
8		gcdcllem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛}
9	7, 8	elrab2 3620	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛))
10	9	biimpri 227	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛) → 1 ∈ 𝑆)
11	1, 5, 10	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 1 ∈ 𝑆)
12	11	ne0d 4266	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝑆 ≠ ∅)
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → 𝑆 ≠ ∅)
14		neeq1 3005	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑤 ≠ 0))
15	14	cbvrexvw 3373	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0)
16		breq1 5073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑛 ↔ 𝑦 ∥ 𝑛))
17	16	ralbidv 3120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛))
18	17, 8	elrab2 3620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛))
19	18	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛)
20	18	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℤ)
21		ssel2 3912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
22		dvdsleabs 15948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
23	22	3expia 1119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
24	21, 23	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴)) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
25	24	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
26	25	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
27	26	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
28	27	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
29	20, 28	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
30		r19.26 3094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) ↔ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))))
31		pm3.35 799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
32	31	ralimi 3086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
33	30, 32	sylbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
34	19, 29, 33	syl2an2 682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
35	34	ralrimiva 3107	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
36		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (abs‘𝑛) = (abs‘𝑤))
37	36	breq2d 5082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (abs‘𝑛) ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
38	14, 37	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → ((𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤))))
39	38	cbvralvw 3372	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
40	39	ralbii 3090	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
41		ralcom 3280	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
42		r19.21v 3100	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
43	42	ralbii 3090	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
44	40, 41, 43	3bitri 296	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
45	35, 44	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
46		ssel2 3912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
47		nn0abscl 14952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
49	48	nn0zd 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℤ)
50		breq2 5074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (abs‘𝑤) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
51	50	ralbidv 3120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (abs‘𝑤) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (abs‘𝑤)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
53	49, 52	rspcedv 3544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
54	53	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
55	54	ralimdva 3102	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
56	45, 55	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
57		r19.23v 3207	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
58	56, 57	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
59	58	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
60	15, 59	sylan2b 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
61	13, 60	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  0cc0 10802  1c1 10803   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  abscabs 14873   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  gcdcllem3  16136