Theorem gcdcllem1 16516

Description: Lemma for gcdn0cl 16519, gcddvds 16520 and dvdslegcd 16521. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
gcdcllem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛}

Assertion

Ref	Expression
gcdcllem1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12598	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ssel 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ ℤ))
3		1dvds 16287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑛)
4	2, 3	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛 ∈ 𝐴 → 1 ∥ 𝑛))
5	4	ralrimiv 3152	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛)
6		breq1 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑛 ↔ 1 ∥ 𝑛))
7	6	ralbidv 3184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛))
8		gcdcllem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛}
9	7, 8	elrab2 3653	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛))
10	9	biimpri 230	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛) → 1 ∈ 𝑆)
11	1, 5, 10	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 1 ∈ 𝑆)
12	11	ne0d 4294	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝑆 ≠ ∅)
13	12	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → 𝑆 ≠ ∅)
14		neeq1 3018	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑤 ≠ 0))
15	14	cbvrexvw 3240	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0)
16		breq1 5102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑛 ↔ 𝑦 ∥ 𝑛))
17	16	ralbidv 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛))
18	17, 8	elrab2 3653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛))
19	18	simprbi 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛)
20	18	simplbi 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℤ)
21		ssel2 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
22		dvdsleabs 16328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
23	22	3expia 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
24	21, 23	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴)) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
25	24	anassrs 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
26	25	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
27	26	ralrimiva 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
28	27	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
29	20, 28	sylan2 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
30		r19.26 3121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) ↔ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))))
31		pm3.35 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
32	31	ralimi 3098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
33	30, 32	sylbir 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
34	19, 29, 33	syl2an2 696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
35	34	ralrimiva 3153	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
36		fveq2 6863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (abs‘𝑛) = (abs‘𝑤))
37	36	breq2d 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (abs‘𝑛) ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
38	14, 37	imbi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → ((𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤))))
39	38	cbvralvw 3239	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
40	39	ralbii 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
41		ralcom 3289	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
42		r19.21v 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
43	42	ralbii 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
44	40, 41, 43	3bitri 299	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
45	35, 44	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
46		ssel2 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
47		nn0abscl 15322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
49	48	nn0zd 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℤ)
50		breq2 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (abs‘𝑤) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
51	50	ralbidv 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (abs‘𝑤) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
52	51	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (abs‘𝑤)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
53	49, 52	rspcedv 3574	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
54	53	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
55	54	ralimdva 3173	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
56	45, 55	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
57		r19.23v 3188	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
58	56, 57	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
59	58	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
60	15, 59	sylan2b 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
61	13, 60	jca 519	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {crab 3413   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  0cc0 11070  1c1 11071   ≤ cle 11214  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  abscabs 15244   ∥ cdvds 16269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270

This theorem is referenced by:  gcdcllem3  16518