Theorem gcdcllem1 16407

Description: Lemma for gcdn0cl 16410, gcddvds 16411 and dvdslegcd 16412. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
gcdcllem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛}

Assertion

Ref	Expression
gcdcllem1	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12499	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		ssel 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ ℤ))
3		1dvds 16178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑛)
4	2, 3	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛 ∈ 𝐴 → 1 ∥ 𝑛))
5	4	ralrimiv 3123	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛)
6		breq1 5094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ∥ 𝑛 ↔ 1 ∥ 𝑛))
7	6	ralbidv 3155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛))
8		gcdcllem1.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛}
9	7, 8	elrab2 3650	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛))
10	9	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 1 ∥ 𝑛) → 1 ∈ 𝑆)
11	1, 5, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 1 ∈ 𝑆)
12	11	ne0d 4292	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → 𝑆 ≠ ∅)
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → 𝑆 ≠ ∅)
14		neeq1 2990	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑤 ≠ 0))
15	14	cbvrexvw 3211	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0)
16		breq1 5094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑛 ↔ 𝑦 ∥ 𝑛))
17	16	ralbidv 3155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑧 ∥ 𝑛 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛))
18	17, 8	elrab2 3650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛))
19	18	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛)
20	18	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℤ)
21		ssel2 3929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
22		dvdsleabs 16219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
23	22	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
24	21, 23	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴)) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
25	24	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦 ∥ 𝑛 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
26	25	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
27	26	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
28	27	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
29	20, 28	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
30		r19.26 3092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) ↔ (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))))
31		pm3.35 802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
32	31	ralimi 3069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 ∧ (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
33	30, 32	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑦 ∥ 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑦 ∥ 𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
34	19, 29, 33	syl2an2 686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
35	34	ralrimiva 3124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
36		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (abs‘𝑛) = (abs‘𝑤))
37	36	breq2d 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (abs‘𝑛) ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
38	14, 37	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑤 → ((𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤))))
39	38	cbvralvw 3210	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
40	39	ralbii 3078	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
41		ralcom 3260	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
42		r19.21v 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
43	42	ralbii 3078	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
44	40, 41, 43	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
45	35, 44	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
46		ssel2 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
47		nn0abscl 15216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
49	48	nn0zd 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℤ)
50		breq2 5095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (abs‘𝑤) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
51	50	ralbidv 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (abs‘𝑤) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = (abs‘𝑤)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
53	49, 52	rspcedv 3570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
54	53	imim2d 57	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
55	54	ralimdva 3144	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)))
56	45, 55	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
57		r19.23v 3159	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
58	56, 57	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
59	58	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
60	15, 59	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
61	13, 60	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  0cc0 11003  1c1 11004   ≤ cle 11144  ℕ₀cn0 12378  ℤcz 12465  abscabs 15138   ∥ cdvds 16160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-dvds 16161

This theorem is referenced by:  gcdcllem3  16409