MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdcllem1 16386
Description: Lemma for gcdn0cl 16389, gcddvds 16390 and dvdslegcd 16391. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
gcdcllem1.1 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛𝐴 𝑧𝑛}
Assertion
Ref Expression
gcdcllem1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem gcdcllem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 12540 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 ssel 3942 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛𝐴𝑛 ∈ ℤ))
3 1dvds 16160 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑛)
42, 3syl6 35 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (𝑛𝐴 → 1 ∥ 𝑛))
54ralrimiv 3143 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛)
6 breq1 5113 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑧𝑛 ↔ 1 ∥ 𝑛))
76ralbidv 3175 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (∀𝑛𝐴 𝑧𝑛 ↔ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛))
8 gcdcllem1.1 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∀𝑛𝐴 𝑧𝑛}
97, 8elrab2 3653 . . . . . 6 (1 ∈ 𝑆 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛))
109biimpri 227 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 1 ∥ 𝑛) → 1 ∈ 𝑆)
111, 5, 10sylancr 588 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → 1 ∈ 𝑆)
1211ne0d 4300 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → 𝑆 ≠ ∅)
1312adantr 482 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → 𝑆 ≠ ∅)
14 neeq1 3007 . . . 4 (𝑛 = 𝑤 → (𝑛 ≠ 0 ↔ 𝑤 ≠ 0))
1514cbvrexvw 3229 . . 3 (∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0)
16 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑛𝑦𝑛))
1716ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑛𝐴 𝑧𝑛 ↔ ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛))
1817, 8elrab2 3653 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛))
1918simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑆 → ∀𝑛𝐴 𝑦𝑛)
2018simplbi 499 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℤ)
21 ssel2 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
22 dvdsleabs 16200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
23223expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2421, 23sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑛𝐴)) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2524anassrs 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑛 ≠ 0 → (𝑦𝑛𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2625com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2726ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ ℤ) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2827ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
2920, 28sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛))))
30 r19.26 3115 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) ↔ (∀𝑛𝐴 𝑦𝑛 ∧ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))))
31 pm3.35 802 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3231ralimi 3087 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 ∧ (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3330, 32sylbir 234 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛𝐴 𝑦𝑛 ∧ ∀𝑛𝐴 (𝑦𝑛 → (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3419, 29, 33syl2an2 685 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
3534ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)))
36 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑤 → (abs‘𝑛) = (abs‘𝑤))
3736breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑤 → (𝑦 ≤ (abs‘𝑛) ↔ 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
3814, 37imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑤 → ((𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤))))
3938cbvralvw 3228 . . . . . . . . 9 (∀𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4039ralbii 3097 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑦𝑆𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
41 ralcom 3275 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
42 r19.21v 3177 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4342ralbii 3097 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐴𝑦𝑆 (𝑤 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4440, 41, 433bitri 297 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑆𝑛𝐴 (𝑛 ≠ 0 → 𝑦 ≤ (abs‘𝑛)) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
4535, 44sylib 217 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
46 ssel2 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℤ)
47 nn0abscl 15204 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℤ → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℕ0)
4948nn0zd 12532 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (abs‘𝑤) ∈ ℤ)
50 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (abs‘𝑤) → (𝑦𝑥𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5150ralbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (abs‘𝑤) → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5251adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑥 = (abs‘𝑤)) → (∀𝑦𝑆 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)))
5349, 52rspcedv 3577 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → (∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
5453imim2d 57 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)))
5554ralimdva 3165 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℤ → (∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∀𝑦𝑆 𝑦 ≤ (abs‘𝑤)) → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)))
5645, 55mpd 15 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℤ → ∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
57 r19.23v 3180 . . . . 5 (∀𝑤𝐴 (𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) ↔ (∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
5856, 57sylib 217 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
5958imp 408 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑤𝐴 𝑤 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
6015, 59sylan2b 595 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
6113, 60jca 513 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ ∃𝑛𝐴 𝑛 ≠ 0) → (𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3074  {crab 3410  wss 3915  c0 4287   class class class wbr 5110  cfv 6501  0cc0 11058  1c1 11059  cle 11197  0cn0 12420  cz 12506  abscabs 15126  cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  gcdcllem3  16388
  Copyright terms: Public domain W3C validator