Theorem dvds1 16457

Description: The only nonnegative integer that divides 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvds1	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∥ 1 ↔ 𝑀 = 1))

Proof of Theorem dvds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∥ 1) → 𝑀 ∈ ℕ0)
2		1nn0 12592	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∥ 1) → 1 ∈ ℕ0)
4		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∥ 1) → 𝑀 ∥ 1)
5		nn0z 12687	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		1dvds 16408	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑀)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∥ 𝑀)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∥ 1) → 1 ∥ 𝑀)
9		dvdseq 16452	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∥ 1 ∧ 1 ∥ 𝑀)) → 𝑀 = 1)
10	1, 3, 4, 8, 9	syl22anc 852	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∥ 1) → 𝑀 = 1)
11	10	ex 418	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
12		id 23	. . 3 ⊢ (𝑀 = 1 → 𝑀 = 1)
13		1z 12696	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		iddvds 16407	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∥ 1)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1 ∥ 1
16	12, 15	eqbrtrdi 5143	. 2 ⊢ (𝑀 = 1 → 𝑀 ∥ 1)
17	11, 16	impbid1 228	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∥ 1 ↔ 𝑀 = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  1c1 11173  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663   ∥ cdvds 16390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-seq 14114  df-exp 14174  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-dvds 16391

This theorem is used by:  rpmulgcd2  16794  rpmul  16797  1nprm  16817  nprmdvds1  16845  expnprm  17042  ablfacrp  20244  chrnzr  21798  znunit  21831  znrrg  21833  cos9thpiminplylem2  34349  lighneallem3  48614