MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  yonedalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem yonedalem1 18261
Description: Lemma for yoneda 18272. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
yoneda.y π‘Œ = (Yonβ€˜πΆ)
yoneda.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
yoneda.1 1 = (Idβ€˜πΆ)
yoneda.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
yoneda.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
yoneda.t 𝑇 = (SetCatβ€˜π‘‰)
yoneda.q 𝑄 = (𝑂 FuncCat 𝑆)
yoneda.h 𝐻 = (HomFβ€˜π‘„)
yoneda.r 𝑅 = ((𝑄 Γ—c 𝑂) FuncCat 𝑇)
yoneda.e 𝐸 = (𝑂 evalF 𝑆)
yoneda.z 𝑍 = (𝐻 ∘func ((⟨(1st β€˜π‘Œ), tpos (2nd β€˜π‘Œ)⟩ ∘func (𝑄 2ndF 𝑂)) ⟨,⟩F (𝑄 1stF 𝑂)))
yoneda.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
yoneda.w (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ π‘Š)
yoneda.u (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
yoneda.v (πœ‘ β†’ (ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉)
Assertion
Ref Expression
yonedalem1 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑇) ∧ 𝐸 ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑇)))

Proof of Theorem yonedalem1
StepHypRef Expression
1 yoneda.z . . 3 𝑍 = (𝐻 ∘func ((⟨(1st β€˜π‘Œ), tpos (2nd β€˜π‘Œ)⟩ ∘func (𝑄 2ndF 𝑂)) ⟨,⟩F (𝑄 1stF 𝑂)))
2 eqid 2725 . . . . 5 ((⟨(1st β€˜π‘Œ), tpos (2nd β€˜π‘Œ)⟩ ∘func (𝑄 2ndF 𝑂)) ⟨,⟩F (𝑄 1stF 𝑂)) = ((⟨(1st β€˜π‘Œ), tpos (2nd β€˜π‘Œ)⟩ ∘func (𝑄 2ndF 𝑂)) ⟨,⟩F (𝑄 1stF 𝑂))
3 eqid 2725 . . . . 5 ((oppCatβ€˜π‘„) Γ—c 𝑄) = ((oppCatβ€˜π‘„) Γ—c 𝑄)
4 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑄 Γ—c 𝑂) = (𝑄 Γ—c 𝑂)
5 yoneda.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝑂 FuncCat 𝑆)
6 yoneda.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 yoneda.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
87oppccat 17701 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ Cat β†’ 𝑂 ∈ Cat)
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Cat)
10 yoneda.w . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ π‘Š)
11 yoneda.v . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ran (Homf β€˜π‘„) βˆͺ π‘ˆ) βŠ† 𝑉)
1211unssbd 4182 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
1310, 12ssexd 5319 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
14 yoneda.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
1514setccat 18071 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ V β†’ 𝑆 ∈ Cat)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Cat)
175, 9, 16fuccat 17959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ Cat)
18 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑄 2ndF 𝑂) = (𝑄 2ndF 𝑂)
194, 17, 9, 182ndfcl 18186 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 2ndF 𝑂) ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑂))
20 eqid 2725 . . . . . . . 8 (oppCatβ€˜π‘„) = (oppCatβ€˜π‘„)
21 relfunc 17845 . . . . . . . . 9 Rel (𝐢 Func 𝑄)
22 yoneda.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (Yonβ€˜πΆ)
23 yoneda.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜πΆ) βŠ† π‘ˆ)
2422, 6, 7, 14, 5, 13, 23yoncl 18251 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐢 Func 𝑄))
25 1st2ndbr 8042 . . . . . . . . 9 ((Rel (𝐢 Func 𝑄) ∧ π‘Œ ∈ (𝐢 Func 𝑄)) β†’ (1st β€˜π‘Œ)(𝐢 Func 𝑄)(2nd β€˜π‘Œ))
2621, 24, 25sylancr 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1st β€˜π‘Œ)(𝐢 Func 𝑄)(2nd β€˜π‘Œ))
277, 20, 26funcoppc 17858 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1st β€˜π‘Œ)(𝑂 Func (oppCatβ€˜π‘„))tpos (2nd β€˜π‘Œ))
28 df-br 5144 . . . . . . 7 ((1st β€˜π‘Œ)(𝑂 Func (oppCatβ€˜π‘„))tpos (2nd β€˜π‘Œ) ↔ ⟨(1st β€˜π‘Œ), tpos (2nd β€˜π‘Œ)⟩ ∈ (𝑂 Func (oppCatβ€˜π‘„)))
2927, 28sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨(1st β€˜π‘Œ), tpos (2nd β€˜π‘Œ)⟩ ∈ (𝑂 Func (oppCatβ€˜π‘„)))
3019, 29cofucl 17871 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (⟨(1st β€˜π‘Œ), tpos (2nd β€˜π‘Œ)⟩ ∘func (𝑄 2ndF 𝑂)) ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func (oppCatβ€˜π‘„)))
31 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑄 1stF 𝑂) = (𝑄 1stF 𝑂)
324, 17, 9, 311stfcl 18185 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑄 1stF 𝑂) ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑄))
332, 3, 30, 32prfcl 18191 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((⟨(1st β€˜π‘Œ), tpos (2nd β€˜π‘Œ)⟩ ∘func (𝑄 2ndF 𝑂)) ⟨,⟩F (𝑄 1stF 𝑂)) ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func ((oppCatβ€˜π‘„) Γ—c 𝑄)))
34 yoneda.h . . . . 5 𝐻 = (HomFβ€˜π‘„)
35 yoneda.t . . . . 5 𝑇 = (SetCatβ€˜π‘‰)
3611unssad 4181 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (Homf β€˜π‘„) βŠ† 𝑉)
3734, 20, 35, 17, 10, 36hofcl 18248 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (((oppCatβ€˜π‘„) Γ—c 𝑄) Func 𝑇))
3833, 37cofucl 17871 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘func ((⟨(1st β€˜π‘Œ), tpos (2nd β€˜π‘Œ)⟩ ∘func (𝑄 2ndF 𝑂)) ⟨,⟩F (𝑄 1stF 𝑂))) ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑇))
391, 38eqeltrid 2829 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑇))
4035, 14, 10, 12funcsetcres2 18079 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑆) βŠ† ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑇))
41 yoneda.e . . . 4 𝐸 = (𝑂 evalF 𝑆)
4241, 5, 9, 16evlfcl 18211 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑆))
4340, 42sseldd 3973 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑇))
4439, 43jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑇) ∧ 𝐸 ∈ ((𝑄 Γ—c 𝑂) Func 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βˆͺ cun 3938   βŠ† wss 3940  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143  ran crn 5673  Rel wrel 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  1st c1st 7987  2nd c2nd 7988  tpos ctpos 8227  Basecbs 17177  Catccat 17641  Idccid 17642  Homf chomf 17643  oppCatcoppc 17688   Func cfunc 17837   ∘func ccofu 17839   FuncCat cfuc 17929  SetCatcsetc 18061   Γ—c cxpc 18156   1stF c1stf 18157   2ndF c2ndf 18158   ⟨,⟩F cprf 18159   evalF cevlf 18198  HomFchof 18237  Yoncyon 18238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-hom 17254  df-cco 17255  df-cat 17645  df-cid 17646  df-homf 17647  df-comf 17648  df-oppc 17689  df-ssc 17790  df-resc 17791  df-subc 17792  df-func 17841  df-cofu 17843  df-nat 17930  df-fuc 17931  df-setc 18062  df-xpc 18160  df-1stf 18161  df-2ndf 18162  df-prf 18163  df-evlf 18202  df-curf 18203  df-hof 18239  df-yon 18240
This theorem is referenced by:  yonedalem3b  18268  yonedalem3  18269  yonedainv  18270  yonffthlem  18271  yoneda  18272
  Copyright terms: Public domain W3C validator