Theorem yon1cl 18164

Description: The Yoneda embedding at an object of 𝐶 is a presheaf on 𝐶, also known as the contravariant Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
yon11.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
yon11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
yon11.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
yon11.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
yon1cl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
yon1cl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
yon1cl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
yon1cl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
yon1cl	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑌)‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑆))

Proof of Theorem yon1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		yon11.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑂 FuncCat 𝑆) = (𝑂 FuncCat 𝑆)
3	2	fucbas 17865	. . 3 ⊢ (𝑂 Func 𝑆) = (Base‘(𝑂 FuncCat 𝑆))
4		relfunc 17764	. . . 4 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))
5		yon11.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
6		yon11.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		yon1cl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		yon1cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
9		yon1cl.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10		yon1cl.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
11	5, 6, 7, 8, 2, 9, 10	yoncl 18163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆)))
12		1st2ndbr 7969	. . . 4 ⊢ ((Rel (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))) → (1st ‘𝑌)(𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))(2nd ‘𝑌))
13	4, 11, 12	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑌)(𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))(2nd ‘𝑌))
14	1, 3, 13	funcf1 17768	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑌):𝐵⟶(𝑂 Func 𝑆))
15		yon11.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	14, 15	ffvelcdmd 7013	1 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑌)‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086  ran crn 5612  Rel wrel 5616  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1^st c1st 7914  2^nd c2nd 7915  Basecbs 17115  Catccat 17565  Hom_f chomf 17567  oppCatcoppc 17612   Func cfunc 17756   FuncCat cfuc 17847  SetCatcsetc 17977  Yoncyon 18150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-homf 17571  df-comf 17572  df-oppc 17613  df-func 17760  df-nat 17848  df-fuc 17849  df-setc 17978  df-xpc 18073  df-curf 18115  df-hof 18151  df-yon 18152

This theorem is referenced by:  yonedalem21  18174  yonedalem3a  18175  yonedalem4c  18178