Theorem yon1cl 17361

Description: The Yoneda embedding at an object of 𝐶 is a presheaf on 𝐶, also known as the contravariant Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
yon11.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
yon11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
yon11.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
yon11.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
yon1cl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
yon1cl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
yon1cl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
yon1cl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
yon1cl	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑌)‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑆))

Proof of Theorem yon1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		yon11.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2772	. . . 4 ⊢ (𝑂 FuncCat 𝑆) = (𝑂 FuncCat 𝑆)
3	2	fucbas 17078	. . 3 ⊢ (𝑂 Func 𝑆) = (Base‘(𝑂 FuncCat 𝑆))
4		relfunc 16980	. . . 4 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))
5		yon11.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
6		yon11.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		yon1cl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		yon1cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
9		yon1cl.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10		yon1cl.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
11	5, 6, 7, 8, 2, 9, 10	yoncl 17360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆)))
12		1st2ndbr 7546	. . . 4 ⊢ ((Rel (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))) → (1st ‘𝑌)(𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))(2nd ‘𝑌))
13	4, 11, 12	sylancr 578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑌)(𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))(2nd ‘𝑌))
14	1, 3, 13	funcf1 16984	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑌):𝐵⟶(𝑂 Func 𝑆))
15		yon11.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	14, 15	ffvelrnd 6671	1 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑌)‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ⊆ wss 3825   class class class wbr 4923  ran crn 5401  Rel wrel 5405  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  1^st c1st 7492  2^nd c2nd 7493  Basecbs 16329  Catccat 16783  Hom_f chomf 16785  oppCatcoppc 16829   Func cfunc 16972   FuncCat cfuc 17060  SetCatcsetc 17183  Yoncyon 17347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-hom 16435  df-cco 16436  df-cat 16787  df-cid 16788  df-homf 16789  df-comf 16790  df-oppc 16830  df-func 16976  df-nat 17061  df-fuc 17062  df-setc 17184  df-xpc 17270  df-curf 17312  df-hof 17348  df-yon 17349

This theorem is referenced by:  yonedalem21  17371  yonedalem3a  17372  yonedalem4c  17375