Theorem yon1cl 18286

Description: The Yoneda embedding at an object of 𝐶 is a presheaf on 𝐶, also known as the contravariant Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
yon11.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
yon11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
yon11.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
yon11.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
yon1cl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
yon1cl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
yon1cl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
yon1cl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
yon1cl	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑌)‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑆))

Proof of Theorem yon1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		yon11.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑂 FuncCat 𝑆) = (𝑂 FuncCat 𝑆)
3	2	fucbas 17987	. . 3 ⊢ (𝑂 Func 𝑆) = (Base‘(𝑂 FuncCat 𝑆))
4		relfunc 17886	. . . 4 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))
5		yon11.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
6		yon11.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		yon1cl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		yon1cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
9		yon1cl.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10		yon1cl.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
11	5, 6, 7, 8, 2, 9, 10	yoncl 18285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆)))
12		1st2ndbr 8018	. . . 4 ⊢ ((Rel (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))) → (1st ‘𝑌)(𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))(2nd ‘𝑌))
13	4, 11, 12	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑌)(𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))(2nd ‘𝑌))
14	1, 3, 13	funcf1 17890	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑌):𝐵⟶(𝑂 Func 𝑆))
15		yon11.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	14, 15	ffvelcdmd 7061	1 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑌)‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097  ran crn 5644  Rel wrel 5648  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  1^st c1st 7963  2^nd c2nd 7964  Basecbs 17236  Catccat 17687  Hom_f chomf 17689  oppCatcoppc 17734   Func cfunc 17878   FuncCat cfuc 17969  SetCatcsetc 18099  Yoncyon 18272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-hom 17301  df-cco 17302  df-cat 17691  df-cid 17692  df-homf 17693  df-comf 17694  df-oppc 17735  df-func 17882  df-nat 17970  df-fuc 17971  df-setc 18100  df-xpc 18195  df-curf 18237  df-hof 18273  df-yon 18274

This theorem is referenced by:  yonedalem21  18296  yonedalem3a  18297  yonedalem4c  18300