Theorem yon1cl 18200

Description: The Yoneda embedding at an object of 𝐶 is a presheaf on 𝐶, also known as the contravariant Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
yon11.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
yon11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
yon11.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
yon11.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
yon1cl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
yon1cl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
yon1cl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
yon1cl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
yon1cl	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑌)‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑆))

Proof of Theorem yon1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		yon11.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑂 FuncCat 𝑆) = (𝑂 FuncCat 𝑆)
3	2	fucbas 17901	. . 3 ⊢ (𝑂 Func 𝑆) = (Base‘(𝑂 FuncCat 𝑆))
4		relfunc 17800	. . . 4 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))
5		yon11.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
6		yon11.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		yon1cl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		yon1cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
9		yon1cl.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10		yon1cl.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
11	5, 6, 7, 8, 2, 9, 10	yoncl 18199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆)))
12		1st2ndbr 8000	. . . 4 ⊢ ((Rel (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))) → (1st ‘𝑌)(𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))(2nd ‘𝑌))
13	4, 11, 12	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑌)(𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))(2nd ‘𝑌))
14	1, 3, 13	funcf1 17804	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑌):𝐵⟶(𝑂 Func 𝑆))
15		yon11.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	14, 15	ffvelcdmd 7039	1 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑌)‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ran crn 5632  Rel wrel 5636  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1^st c1st 7945  2^nd c2nd 7946  Basecbs 17155  Catccat 17601  Hom_f chomf 17603  oppCatcoppc 17648   Func cfunc 17792   FuncCat cfuc 17883  SetCatcsetc 18013  Yoncyon 18186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17605  df-cid 17606  df-homf 17607  df-comf 17608  df-oppc 17649  df-func 17796  df-nat 17884  df-fuc 17885  df-setc 18014  df-xpc 18109  df-curf 18151  df-hof 18187  df-yon 18188

This theorem is referenced by:  yonedalem21  18210  yonedalem3a  18211  yonedalem4c  18214