Theorem yon1cl 18255

Description: The Yoneda embedding at an object of 𝐶 is a presheaf on 𝐶, also known as the contravariant Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
yon11.y	⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
yon11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
yon11.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
yon11.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
yon1cl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
yon1cl.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
yon1cl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
yon1cl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
yon1cl	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑌)‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑆))

Proof of Theorem yon1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		yon11.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑂 FuncCat 𝑆) = (𝑂 FuncCat 𝑆)
3	2	fucbas 17951	. . 3 ⊢ (𝑂 Func 𝑆) = (Base‘(𝑂 FuncCat 𝑆))
4		relfunc 17848	. . . 4 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))
5		yon11.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Yon‘𝐶)
6		yon11.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		yon1cl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		yon1cl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
9		yon1cl.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
10		yon1cl.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
11	5, 6, 7, 8, 2, 9, 10	yoncl 18254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆)))
12		1st2ndbr 8046	. . . 4 ⊢ ((Rel (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))) → (1st ‘𝑌)(𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))(2nd ‘𝑌))
13	4, 11, 12	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑌)(𝐶 Func (𝑂 FuncCat 𝑆))(2nd ‘𝑌))
14	1, 3, 13	funcf1 17852	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝑌):𝐵⟶(𝑂 Func 𝑆))
15		yon11.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	14, 15	ffvelcdmd 7095	1 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝑌)‘𝑋) ∈ (𝑂 Func 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148  ran crn 5679  Rel wrel 5683  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  1^st c1st 7991  2^nd c2nd 7992  Basecbs 17180  Catccat 17644  Hom_f chomf 17646  oppCatcoppc 17691   Func cfunc 17840   FuncCat cfuc 17932  SetCatcsetc 18064  Yoncyon 18241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-hom 17257  df-cco 17258  df-cat 17648  df-cid 17649  df-homf 17650  df-comf 17651  df-oppc 17692  df-func 17844  df-nat 17933  df-fuc 17934  df-setc 18065  df-xpc 18163  df-curf 18206  df-hof 18242  df-yon 18243

This theorem is referenced by:  yonedalem21  18265  yonedalem3a  18266  yonedalem4c  18269