Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diag2cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diag2cl 17562
 Description: The diagonal functor at a morphism is a natural transformation between constant functors. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
diag2.l 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag2.a 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag2.b 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag2.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
diag2.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
diag2.d (𝜑𝐷 ∈ Cat)
diag2.x (𝜑𝑋𝐴)
diag2.y (𝜑𝑌𝐴)
diag2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
diag2cl.h 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
Assertion
Ref Expression
diag2cl (𝜑 → (𝐵 × {𝐹}) ∈ (((1st𝐿)‘𝑋)𝑁((1st𝐿)‘𝑌)))

Proof of Theorem diag2cl
StepHypRef Expression
1 diag2.l . . 3 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2 diag2.a . . 3 𝐴 = (Base‘𝐶)
3 diag2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐷)
4 diag2.h . . 3 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5 diag2.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
6 diag2.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
7 diag2.x . . 3 (𝜑𝑋𝐴)
8 diag2.y . . 3 (𝜑𝑌𝐴)
9 diag2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9diag2 17561 . 2 (𝜑 → ((𝑋(2nd𝐿)𝑌)‘𝐹) = (𝐵 × {𝐹}))
11 eqid 2758 . . . . 5 (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
12 diag2cl.h . . . . 5 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
1311, 12fuchom 17290 . . . 4 𝑁 = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
14 relfunc 17191 . . . . 5 Rel (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))
151, 5, 6, 11diagcl 17557 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)))
16 1st2ndbr 7745 . . . . 5 ((Rel (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))) → (1st𝐿)(𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))(2nd𝐿))
1714, 15, 16sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → (1st𝐿)(𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))(2nd𝐿))
182, 4, 13, 17, 7, 8funcf2 17197 . . 3 (𝜑 → (𝑋(2nd𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)⟶(((1st𝐿)‘𝑋)𝑁((1st𝐿)‘𝑌)))
1918, 9ffvelrnd 6843 . 2 (𝜑 → ((𝑋(2nd𝐿)𝑌)‘𝐹) ∈ (((1st𝐿)‘𝑋)𝑁((1st𝐿)‘𝑌)))
2010, 19eqeltrrd 2853 1 (𝜑 → (𝐵 × {𝐹}) ∈ (((1st𝐿)‘𝑋)𝑁((1st𝐿)‘𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4522   class class class wbr 5032   × cxp 5522  Rel wrel 5529  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  1st c1st 7691  2nd c2nd 7692  Basecbs 16541  Hom chom 16634  Catccat 16993   Func cfunc 17183   Nat cnat 17270   FuncCat cfuc 17271  Δfunccdiag 17528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-hom 16647  df-cco 16648  df-cat 16997  df-cid 16998  df-func 17187  df-nat 17272  df-fuc 17273  df-xpc 17488  df-1stf 17489  df-curf 17530  df-diag 17532 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator