Theorem diag2cl 18156

Description: The diagonal functor at a morphism is a natural transformation between constant functors. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag2.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
diag2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
diag2cl.h	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diag2cl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝐹}) ∈ (((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

Proof of Theorem diag2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		diag2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
4		diag2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5		diag2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		diag2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		diag2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		diag2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
9		diag2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag2 18155	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = (𝐵 × {𝐹}))
11		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
12		diag2cl.h	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
13	11, 12	fuchom 17875	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
14		relfunc 17773	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))
15	1, 5, 6, 11	diagcl 18151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)))
16		1st2ndbr 7982	. . . . 5 ⊢ ((Rel (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))) → (1st ‘𝐿)(𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))(2nd ‘𝐿))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿)(𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))(2nd ‘𝐿))
18	2, 4, 13, 17, 7, 8	funcf2 17779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)⟶(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))
19	18, 9	ffvelcdmd 7026	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) ∈ (((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))
20	10, 19	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝐹}) ∈ (((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4577   class class class wbr 5095   × cxp 5619  Rel wrel 5626  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  1^st c1st 7927  2^nd c2nd 7928  Basecbs 17124  Hom chom 17176  Catccat 17574   Func cfunc 17765   Nat cnat 17855   FuncCat cfuc 17856  Δ_funccdiag 18122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-hom 17189  df-cco 17190  df-cat 17578  df-cid 17579  df-func 17769  df-nat 17857  df-fuc 17858  df-xpc 18082  df-1stf 18083  df-curf 18124  df-diag 18126

This theorem is referenced by:  prcofdiag  49522  oppfdiag  49544  islmd  49793  iscmd  49794