Theorem diag2cl 17562

Description: The diagonal functor at a morphism is a natural transformation between constant functors. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag2.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
diag2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
diag2cl.h	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diag2cl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝐹}) ∈ (((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

Proof of Theorem diag2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		diag2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
4		diag2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5		diag2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		diag2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		diag2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		diag2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
9		diag2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag2 17561	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = (𝐵 × {𝐹}))
11		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
12		diag2cl.h	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
13	11, 12	fuchom 17290	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
14		relfunc 17191	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))
15	1, 5, 6, 11	diagcl 17557	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)))
16		1st2ndbr 7745	. . . . 5 ⊢ ((Rel (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))) → (1st ‘𝐿)(𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))(2nd ‘𝐿))
17	14, 15, 16	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿)(𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))(2nd ‘𝐿))
18	2, 4, 13, 17, 7, 8	funcf2 17197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)⟶(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))
19	18, 9	ffvelrnd 6843	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) ∈ (((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))
20	10, 19	eqeltrrd 2853	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝐹}) ∈ (((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4522   class class class wbr 5032   × cxp 5522  Rel wrel 5529  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  1^st c1st 7691  2^nd c2nd 7692  Basecbs 16541  Hom chom 16634  Catccat 16993   Func cfunc 17183   Nat cnat 17270   FuncCat cfuc 17271  Δ_funccdiag 17528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-hom 16647  df-cco 16648  df-cat 16997  df-cid 16998  df-func 17187  df-nat 17272  df-fuc 17273  df-xpc 17488  df-1stf 17489  df-curf 17530  df-diag 17532

This theorem is referenced by: (None)