Theorem diag2cl 18461

Description: The diagonal functor at a morphism is a natural transformation between constant functors. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
diag2.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
diag2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
diag2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
diag2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
diag2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diag2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
diag2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
diag2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
diag2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
diag2cl.h	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
diag2cl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝐹}) ∈ (((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

Proof of Theorem diag2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diag2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		diag2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		diag2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
4		diag2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5		diag2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		diag2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		diag2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8		diag2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
9		diag2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	diag2 18460	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) = (𝐵 × {𝐹}))
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐷 FuncCat 𝐶) = (𝐷 FuncCat 𝐶)
12		diag2cl.h	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐶)
13	11, 12	fuchom 18180	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Hom ‘(𝐷 FuncCat 𝐶))
14		relfunc 18078	. . . . 5 ⊢ Rel (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))
15	1, 5, 6, 11	diagcl 18456	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)))
16		1st2ndbr 8085	. . . . 5 ⊢ ((Rel (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))) → (1st ‘𝐿)(𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))(2nd ‘𝐿))
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿)(𝐶 Func (𝐷 FuncCat 𝐶))(2nd ‘𝐿))
18	2, 4, 13, 17, 7, 8	funcf2 18084	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌):(𝑋𝐻𝑌)⟶(((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))
19	18, 9	ffvelcdmd 7115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐿)𝑌)‘𝐹) ∈ (((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))
20	10, 19	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝐹}) ∈ (((1st ‘𝐿)‘𝑋)𝑁((1st ‘𝐿)‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588   class class class wbr 5106   × cxp 5654  Rel wrel 5661  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  1^st c1st 8031  2^nd c2nd 8032  Basecbs 17428  Hom chom 17480  Catccat 17879   Func cfunc 18070   Nat cnat 18160   FuncCat cfuc 18161  Δ_funccdiag 18427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-struct 17366  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-hom 17493  df-cco 17494  df-cat 17883  df-cid 17884  df-func 18074  df-nat 18162  df-fuc 18163  df-xpc 18387  df-1stf 18388  df-curf 18429  df-diag 18431

This theorem is used by:  prcofdiag  50854  oppfdiag  50876  par2diag  51105  islmd  51173  iscmd  51174