Theorem 2sqreulem3 27795

Description: Lemma 3 for 2sqreu 27798 etc. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2sqreulem3	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0)) → (((𝜑 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) ∧ (𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃)) → 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem 2sqreulem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
2	1	eqcoms 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃 → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
3	2	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
4		eqcom 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)))
5		2sqreulem2 27794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) → 𝐵 = 𝐶))
6	4, 5	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → 𝐵 = 𝐶))
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → 𝐵 = 𝐶))
8	3, 7	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃 → 𝐵 = 𝐶))
9	8	adantld 496	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) → ((𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃) → 𝐵 = 𝐶))
10	9	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃 → ((𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃) → 𝐵 = 𝐶)))
11	10	adantld 496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝜑 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) → ((𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃) → 𝐵 = 𝐶)))
12	11	impd 416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝜑 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) ∧ (𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃)) → 𝐵 = 𝐶))
13	12	3expb 1138	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0)) → (((𝜑 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) ∧ (𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃)) → 𝐵 = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7430   + caddc 11216  2c2 12410  ℕ₀cn0 12619  ↑cexp 14217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-seq 14158  df-exp 14218

This theorem is used by:  2sqreulem4  27796