Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreulem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreulem3 26081
 Description: Lemma 3 for 2sqreu 26084 etc. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2sqreulem3 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0)) → (((𝜑 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) ∧ (𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃)) → 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem 2sqreulem3
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2810 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
21eqcoms 2806 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃 → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
32adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
4 eqcom 2805 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)))
5 2sqreulem2 26080 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) → 𝐵 = 𝐶))
64, 5syl5bi 245 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → 𝐵 = 𝐶))
76adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) → 𝐵 = 𝐶))
83, 7sylbid 243 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) → (((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃𝐵 = 𝐶))
98adantld 494 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) → ((𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃) → 𝐵 = 𝐶))
109ex 416 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃 → ((𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃) → 𝐵 = 𝐶)))
1110adantld 494 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝜑 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) → ((𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃) → 𝐵 = 𝐶)))
1211impd 414 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0) → (((𝜑 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) ∧ (𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃)) → 𝐵 = 𝐶))
13123expb 1117 1 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0)) → (((𝜑 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 𝑃) ∧ (𝜓 ∧ ((𝐴↑2) + (𝐶↑2)) = 𝑃)) → 𝐵 = 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7145   + caddc 10547  2c2 11698  ℕ0cn0 11903  ↑cexp 13445 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-seq 13385  df-exp 13446 This theorem is referenced by:  2sqreulem4  26082
 Copyright terms: Public domain W3C validator