Theorem 2sqreulem4 26602

Description: Lemma 4 for 2sqreu 26604 et. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sqreulem4.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
2sqreulem4	⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑

Distinct variable groups:   𝑃,𝑏   𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝜓(𝑎,𝑏)   𝑃(𝑎)

Proof of Theorem 2sqreulem4

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqreulem3 26601	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0)) → (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
2	1	ralrimivva 3123	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
3		2sqreulem4.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4	3	rmobii 3331	. . . 4 ⊢ (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃*𝑏 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
5		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
6		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑐ℕ0
7		nfsbc1v 3736	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏[𝑐 / 𝑏]𝜓
8		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃
9	7, 8	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)
10		sbceq1a 3727	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝜓 ↔ [𝑐 / 𝑏]𝜓))
11		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏↑2) = (𝑐↑2))
12	11	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)))
13	12	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃))
14	10, 13	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)))
15	5, 6, 9, 14	rmo4f 3670	. . . 4 ⊢ (∃*𝑏 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
16	4, 15	bitri 274	. . 3 ⊢ (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
17	2, 16	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑)
18	17	rgen 3074	1 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃*wrmo 3067  [wsbc 3716  (class class class)co 7275   + caddc 10874  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  2sqreunnlem2  26603  2sqreu  26604  2sqreult  26606  2sqreultb  26607