MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreulem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreulem4 26957
Description: Lemma 4 for 2sqreu 26959 et. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
2sqreulem4.1 (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Assertion
Ref Expression
2sqreulem4 𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑
Distinct variable groups:   𝑃,𝑏   𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝜓(𝑎,𝑏)   𝑃(𝑎)

Proof of Theorem 2sqreulem4
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqreulem3 26956 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0)) → (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
21ralrimivva 3201 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ0 → ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
3 2sqreulem4.1 . . . . 5 (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
43rmobii 3385 . . . 4 (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃*𝑏 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
5 nfcv 2904 . . . . 5 𝑏0
6 nfcv 2904 . . . . 5 𝑐0
7 nfsbc1v 3798 . . . . . 6 𝑏[𝑐 / 𝑏]𝜓
8 nfv 1918 . . . . . 6 𝑏((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃
97, 8nfan 1903 . . . . 5 𝑏([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)
10 sbceq1a 3789 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝜓[𝑐 / 𝑏]𝜓))
11 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏↑2) = (𝑐↑2))
1211oveq2d 7425 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)))
1312eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃))
1410, 13anbi12d 632 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → ((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)))
155, 6, 9, 14rmo4f 3732 . . . 4 (∃*𝑏 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
164, 15bitri 275 . . 3 (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
172, 16sylibr 233 . 2 (𝑎 ∈ ℕ0 → ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑)
1817rgen 3064 1 𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  ∃*wrmo 3376  [wsbc 3778  (class class class)co 7409   + caddc 11113  2c2 12267  0cn0 12472  cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  2sqreunnlem2  26958  2sqreu  26959  2sqreult  26961  2sqreultb  26962
  Copyright terms: Public domain W3C validator