MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreulem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreulem4 26818
Description: Lemma 4 for 2sqreu 26820 et. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
2sqreulem4.1 (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Assertion
Ref Expression
2sqreulem4 𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑
Distinct variable groups:   𝑃,𝑏   𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝜓(𝑎,𝑏)   𝑃(𝑎)

Proof of Theorem 2sqreulem4
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqreulem3 26817 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0)) → (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
21ralrimivva 3198 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ0 → ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
3 2sqreulem4.1 . . . . 5 (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
43rmobii 3364 . . . 4 (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃*𝑏 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
5 nfcv 2908 . . . . 5 𝑏0
6 nfcv 2908 . . . . 5 𝑐0
7 nfsbc1v 3764 . . . . . 6 𝑏[𝑐 / 𝑏]𝜓
8 nfv 1918 . . . . . 6 𝑏((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃
97, 8nfan 1903 . . . . 5 𝑏([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)
10 sbceq1a 3755 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝜓[𝑐 / 𝑏]𝜓))
11 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏↑2) = (𝑐↑2))
1211oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)))
1312eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃))
1410, 13anbi12d 632 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → ((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)))
155, 6, 9, 14rmo4f 3698 . . . 4 (∃*𝑏 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
164, 15bitri 275 . . 3 (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
172, 16sylibr 233 . 2 (𝑎 ∈ ℕ0 → ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑)
1817rgen 3067 1 𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  ∃*wrmo 3355  [wsbc 3744  (class class class)co 7362   + caddc 11061  2c2 12215  0cn0 12420  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  2sqreunnlem2  26819  2sqreu  26820  2sqreult  26822  2sqreultb  26823
  Copyright terms: Public domain W3C validator