Theorem 2sqreulem4 27781

Description: Lemma 4 for 2sqreu 27783 et. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sqreulem4.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
2sqreulem4	⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑

Distinct variable groups:   𝑃,𝑏   𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝜓(𝑎, 𝑏)   𝑃(𝑎)

Proof of Theorem 2sqreulem4

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqreulem3 27780	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝑐 ∈ ℕ0)) → (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
2	1	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ∀𝑏 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
3		2sqreulem4.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4	3	rmobii 3374	. . . 4 ⊢ (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃*𝑏 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
5		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏ℕ0
6		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑐ℕ0
7		nfsbc1v 3759	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏[𝑐 / 𝑏]𝜓
8		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃
9	7, 8	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)
10		sbceq1a 3750	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝜓 ↔ [𝑐 / 𝑏]𝜓))
11		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏↑2) = (𝑐↑2))
12	11	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)))
13	12	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃))
14	10, 13	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)))
15	5, 6, 9, 14	rmo4f 3693	. . . 4 ⊢ (∃*𝑏 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
16	4, 15	bitri 278	. . 3 ⊢ (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
17	2, 16	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑)
18	17	rgen 3079	1 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃*wrmo 3365  [wsbc 3739  (class class class)co 7420   + caddc 11203  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by:  2sqreunnlem2  27782  2sqreu  27783  2sqreult  27785  2sqreultb  27786