Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqreulem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqreulem4 26045
 Description: Lemma 4 for 2sqreu 26047 et. (Contributed by AV, 25-Jun-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
2sqreulem4.1 (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
Assertion
Ref Expression
2sqreulem4 𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑
Distinct variable groups:   𝑃,𝑏   𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝜓(𝑎,𝑏)   𝑃(𝑎)

Proof of Theorem 2sqreulem4
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqreulem3 26044 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0)) → (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
21ralrimivva 3156 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ0 → ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
3 2sqreulem4.1 . . . . 5 (𝜑 ↔ (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
43rmobii 3349 . . . 4 (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃*𝑏 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
5 nfcv 2955 . . . . 5 𝑏0
6 nfcv 2955 . . . . 5 𝑐0
7 nfsbc1v 3740 . . . . . 6 𝑏[𝑐 / 𝑏]𝜓
8 nfv 1915 . . . . . 6 𝑏((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃
97, 8nfan 1900 . . . . 5 𝑏([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)
10 sbceq1a 3731 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝜓[𝑐 / 𝑏]𝜓))
11 oveq1 7142 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏↑2) = (𝑐↑2))
1211oveq2d 7151 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)))
1312eqeq1d 2800 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃))
1410, 13anbi12d 633 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → ((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)))
155, 6, 9, 14rmo4f 3674 . . . 4 (∃*𝑏 ∈ ℕ0 (𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
164, 15bitri 278 . . 3 (∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∀𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0 (((𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ([𝑐 / 𝑏]𝜓 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑐↑2)) = 𝑃)) → 𝑏 = 𝑐))
172, 16sylibr 237 . 2 (𝑎 ∈ ℕ0 → ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑)
1817rgen 3116 1 𝑎 ∈ ℕ0 ∃*𝑏 ∈ ℕ0 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃*wrmo 3109  [wsbc 3720  (class class class)co 7135   + caddc 10531  2c2 11682  ℕ0cn0 11887  ↑cexp 13427 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-seq 13367  df-exp 13428 This theorem is referenced by:  2sqreunnlem2  26046  2sqreu  26047  2sqreult  26049  2sqreultb  26050
 Copyright terms: Public domain W3C validator