Theorem cnmsubglem 21292

Description: Lemma for rpmsubg 21293 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmgpabl.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
cnmsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnmsubglem.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 0)
cnmsubglem.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnmsubglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnmsubglem.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnmsubglem	⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem cnmsubglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmsubglem.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnmsubglem.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 0)
3		eldifsn 4782	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
5	4	ssriv 3978	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		cnmsubglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
7	6	ne0ii 4329	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
8		cnmsubglem.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
9	8	ralrimiva 3138	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
10		cnfldinv 21260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
11	1, 2, 10	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
12		cnmsubglem.5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
13	11, 12	eqeltrd 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
14	9, 13	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
15	14	rgen 3055	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
16		cnmgpabl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
17	16	cnmgpabl 21290	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ Abel
18		ablgrp 19695	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → 𝑀 ∈ Grp)
19		difss 4123	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
20		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21		cnfldbas 21232	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
22	20, 21	mgpbas 20035	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
23	16, 22	ressbas2 17181	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀))
24	19, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀)
25		cnex 11187	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
26		difexg 5317	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
27		cnfldmul 21234	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
28	20, 27	mgpplusg 20033	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	16, 28	ressplusg 17234	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g‘𝑀))
30	25, 26, 29	mp2b 10	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
31		cnfld0 21253	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
32		cndrng 21258	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
33	21, 31, 32	drngui 20583	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
34		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
35	33, 16, 34	invrfval 20281	. . . 4 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘𝑀)
36	24, 30, 35	issubg2 19058	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
37	17, 18, 36	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
38	5, 7, 15, 37	mpbir3an 1338	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  Vcvv 3466   ∖ cdif 3937   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  {csn 4620  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   / cdiv 11868  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  +_gcplusg 17196  Grpcgrp 18853  SubGrpcsubg 19037  Abelcabl 19691  mulGrpcmgp 20029  inv_rcinvr 20279  ℂ_fldccnfld 21228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20579  df-cnfld 21229

This theorem is referenced by:  rpmsubg  21293  cnmsgnsubg  21438