Theorem cnmsubglem 20741

Description: Lemma for rpmsubg 20742 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmgpabl.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
cnmsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnmsubglem.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 0)
cnmsubglem.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnmsubglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnmsubglem.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnmsubglem	⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem cnmsubglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmsubglem.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnmsubglem.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 0)
3		eldifsn 4731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
5	4	ssriv 3934	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		cnmsubglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
7	6	ne0ii 4281	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
8		cnmsubglem.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
9	8	ralrimiva 3139	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
10		cnfldinv 20709	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
11	1, 2, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
12		cnmsubglem.5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
13	11, 12	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
14	9, 13	jca 512	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
15	14	rgen 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
16		cnmgpabl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
17	16	cnmgpabl 20739	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ Abel
18		ablgrp 19463	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → 𝑀 ∈ Grp)
19		difss 4076	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
20		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21		cnfldbas 20681	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
22	20, 21	mgpbas 19798	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
23	16, 22	ressbas2 17023	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀))
24	19, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀)
25		cnex 11031	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
26		difexg 5265	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
27		cnfldmul 20683	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
28	20, 27	mgpplusg 19796	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	16, 28	ressplusg 17074	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g‘𝑀))
30	25, 26, 29	mp2b 10	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
31		cnfld0 20702	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
32		cndrng 20707	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
33	21, 31, 32	drngui 20073	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
34		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
35	33, 16, 34	invrfval 19987	. . . 4 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘𝑀)
36	24, 30, 35	issubg2 18843	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
37	17, 18, 36	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
38	5, 7, 15, 37	mpbir3an 1340	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3440   ∖ cdif 3893   ⊆ wss 3896  ∅c0 4266  {csn 4570  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  ℂcc 10948  0cc0 10950  1c1 10951   · cmul 10955   / cdiv 11711  Basecbs 16986   ↾_s cress 17015  +_gcplusg 17036  Grpcgrp 18650  SubGrpcsubg 18822  Abelcabl 19459  mulGrpcmgp 19792  inv_rcinvr 19985  ℂ_fldccnfld 20677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-addf 11029  ax-mulf 11030

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-tpos 8090  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-fz 13319  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-0g 17226  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-subg 18825  df-cmn 19460  df-abl 19461  df-mgp 19793  df-ur 19810  df-ring 19857  df-cring 19858  df-oppr 19934  df-dvdsr 19955  df-unit 19956  df-invr 19986  df-dvr 19997  df-drng 20069  df-cnfld 20678

This theorem is referenced by:  rpmsubg  20742  cnmsgnsubg  20862