Theorem cnmsubglem 21389

Description: Lemma for rpmsubg 21390 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmgpabl.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
cnmsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnmsubglem.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 0)
cnmsubglem.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnmsubglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnmsubglem.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnmsubglem	⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem cnmsubglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmsubglem.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnmsubglem.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 0)
3		eldifsn 4743	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4	1, 2, 3	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
5	4	ssriv 3938	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		cnmsubglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
7	6	ne0ii 4297	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
8		cnmsubglem.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
9	8	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
10		cnfldinv 21361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
11	1, 2, 10	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
12		cnmsubglem.5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
13	11, 12	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
14	9, 13	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
15	14	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
16		cnmgpabl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
17	16	cnmgpabl 21387	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ Abel
18		ablgrp 19718	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → 𝑀 ∈ Grp)
19		difss 4089	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21		cnfldbas 21317	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
22	20, 21	mgpbas 20084	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
23	16, 22	ressbas2 17169	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀))
24	19, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀)
25		cnex 11111	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
26		difexg 5275	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
27		cnfldmul 21321	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
28	20, 27	mgpplusg 20083	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	16, 28	ressplusg 17215	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g‘𝑀))
30	25, 26, 29	mp2b 10	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
31		cnfld0 21351	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
32		cndrng 21357	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
33	21, 31, 32	drngui 20672	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
34		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
35	33, 16, 34	invrfval 20329	. . . 4 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘𝑀)
36	24, 30, 35	issubg2 19075	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
37	17, 18, 36	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
38	5, 7, 15, 37	mpbir3an 1343	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  {csn 4581  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   / cdiv 11798  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  +_gcplusg 17181  Grpcgrp 18867  SubGrpcsubg 19054  Abelcabl 19714  mulGrpcmgp 20079  inv_rcinvr 20327  ℂ_fldccnfld 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-subg 19057  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-drng 20668  df-cnfld 21314

This theorem is referenced by:  rpmsubg  21390  cnmsgnsubg  21536