Theorem cnmsubglem 20642

Description: Lemma for rpmsubg 20643 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmgpabl.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
cnmsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnmsubglem.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 0)
cnmsubglem.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnmsubglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnmsubglem.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnmsubglem	⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem cnmsubglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmsubglem.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnmsubglem.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 0)
3		eldifsn 4725	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
5	4	ssriv 3929	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		cnmsubglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
7	6	ne0ii 4276	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
8		cnmsubglem.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
9	8	ralrimiva 3109	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
10		cnfldinv 20610	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
11	1, 2, 10	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
12		cnmsubglem.5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
13	11, 12	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
14	9, 13	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
15	14	rgen 3075	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
16		cnmgpabl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
17	16	cnmgpabl 20640	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ Abel
18		ablgrp 19372	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → 𝑀 ∈ Grp)
19		difss 4070	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
20		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21		cnfldbas 20582	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
22	20, 21	mgpbas 19707	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
23	16, 22	ressbas2 16930	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀))
24	19, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀)
25		cnex 10936	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
26		difexg 5254	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
27		cnfldmul 20584	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
28	20, 27	mgpplusg 19705	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	16, 28	ressplusg 16981	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g‘𝑀))
30	25, 26, 29	mp2b 10	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
31		cnfld0 20603	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
32		cndrng 20608	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
33	21, 31, 32	drngui 19978	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
34		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
35	33, 16, 34	invrfval 19896	. . . 4 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘𝑀)
36	24, 30, 35	issubg2 18751	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
37	17, 18, 36	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
38	5, 7, 15, 37	mpbir3an 1339	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ∀wral 3065  Vcvv 3430   ∖ cdif 3888   ⊆ wss 3891  ∅c0 4261  {csn 4566  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   · cmul 10860   / cdiv 11615  Basecbs 16893   ↾_s cress 16922  +_gcplusg 16943  Grpcgrp 18558  SubGrpcsubg 18730  Abelcabl 19368  mulGrpcmgp 19701  inv_rcinvr 19894  ℂ_fldccnfld 20578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-addf 10934  ax-mulf 10935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-subg 18733  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-invr 19895  df-dvr 19906  df-drng 19974  df-cnfld 20579

This theorem is referenced by:  rpmsubg  20643  cnmsgnsubg  20763