MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsubglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsubglem 20020
Description: Lemma for rpmsubg 20021 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmgpabl.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
cnmsubglem.1 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
cnmsubglem.2 (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)
cnmsubglem.3 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnmsubglem.4 1 ∈ 𝐴
cnmsubglem.5 (𝑥𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnmsubglem 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem cnmsubglem
StepHypRef Expression
1 cnmsubglem.1 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
2 cnmsubglem.2 . . . 4 (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0)
3 eldifsn 4515 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
41, 2, 3sylanbrc 574 . . 3 (𝑥𝐴𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
54ssriv 3809 . 2 𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 cnmsubglem.4 . . 3 1 ∈ 𝐴
76ne0ii 4132 . 2 𝐴 ≠ ∅
8 cnmsubglem.3 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
98ralrimiva 3161 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
10 cnfldinv 19988 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
111, 2, 10syl2anc 575 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
12 cnmsubglem.5 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
1311, 12eqeltrd 2892 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
149, 13jca 503 . . 3 (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
1514rgen 3117 . 2 𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
16 cnmgpabl.m . . . 4 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
1716cnmgpabl 20018 . . 3 𝑀 ∈ Abel
18 ablgrp 18402 . . 3 (𝑀 ∈ Abel → 𝑀 ∈ Grp)
19 difss 3943 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
20 eqid 2813 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21 cnfldbas 19961 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
2220, 21mgpbas 18700 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
2316, 22ressbas2 16145 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀))
2419, 23ax-mp 5 . . . 4 (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀)
25 cnex 10305 . . . . 5 ℂ ∈ V
26 difexg 5010 . . . . 5 (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
27 cnfldmul 19963 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
2820, 27mgpplusg 18698 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
2916, 28ressplusg 16207 . . . . 5 ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g𝑀))
3025, 26, 29mp2b 10 . . . 4 · = (+g𝑀)
31 cnfld0 19981 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
32 cndrng 19986 . . . . . 6 fld ∈ DivRing
3321, 31, 32drngui 18960 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
34 eqid 2813 . . . . 5 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
3533, 16, 34invrfval 18878 . . . 4 (invr‘ℂfld) = (invg𝑀)
3624, 30, 35issubg2 17814 . . 3 (𝑀 ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
3717, 18, 36mp2b 10 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
385, 7, 15, 37mpbir3an 1434 1 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985  wral 3103  Vcvv 3398  cdif 3773  wss 3776  c0 4123  {csn 4377  cfv 6104  (class class class)co 6877  cc 10222  0cc0 10224  1c1 10225   · cmul 10229   / cdiv 10972  Basecbs 16071  s cress 16072  +gcplusg 16156  Grpcgrp 17630  SubGrpcsubg 17793  Abelcabl 18398  mulGrpcmgp 18694  invrcinvr 18876  fldccnfld 19957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-fz 12553  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17796  df-cmn 18399  df-abl 18400  df-mgp 18695  df-ur 18707  df-ring 18754  df-cring 18755  df-oppr 18828  df-dvdsr 18846  df-unit 18847  df-invr 18877  df-dvr 18888  df-drng 18956  df-cnfld 19958
This theorem is referenced by:  rpmsubg  20021  cnmsgnsubg  20133
  Copyright terms: Public domain W3C validator