Theorem cnmsubglem 21399

Description: Lemma for rpmsubg 21400 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmgpabl.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
cnmsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnmsubglem.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 0)
cnmsubglem.3	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnmsubglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnmsubglem.5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnmsubglem	⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem cnmsubglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmsubglem.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnmsubglem.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 0)
3		eldifsn 4721	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
4	1, 2, 3	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
5	4	ssriv 3921	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		cnmsubglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
7	6	ne0ii 4274	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
8		cnmsubglem.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
9	8	ralrimiva 3127	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
10		cnfldinv 21372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
11	1, 2, 10	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
12		cnmsubglem.5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
13	11, 12	eqeltrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
14	9, 13	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
15	14	rgen 3051	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
16		cnmgpabl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
17	16	cnmgpabl 21397	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ Abel
18		ablgrp 19749	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Abel → 𝑀 ∈ Grp)
19		difss 4068	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
20		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
21		cnfldbas 21345	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
22	20, 21	mgpbas 20115	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
23	16, 22	ressbas2 17197	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ → (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀))
24	19, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Base‘𝑀)
25		cnex 11108	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
26		difexg 5259	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
27		cnfldmul 21349	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
28	20, 27	mgpplusg 20114	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	16, 28	ressplusg 17243	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ V → · = (+g‘𝑀))
30	25, 26, 29	mp2b 10	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑀)
31		cnfld0 21365	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
32		cndrng 21370	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
33	21, 31, 32	drngui 20701	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
34		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
35	33, 16, 34	invrfval 20358	. . . 4 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘𝑀)
36	24, 30, 35	issubg2 19106	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
37	17, 18, 36	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
38	5, 7, 15, 37	mpbir3an 1343	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  Vcvv 3427   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885  ∅c0 4263  {csn 4557  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032   / cdiv 11796  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  +_gcplusg 17209  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19085  Abelcabl 19745  mulGrpcmgp 20110  inv_rcinvr 20356  ℂ_fldccnfld 21341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19088  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-drng 20697  df-cnfld 21342

This theorem is referenced by:  rpmsubg  21400  cnmsgnsubg  21546