MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr1re 26766
Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1re.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchr1re.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchr1re.o 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchr1re.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchr1re.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
dchr1re (πœ‘ β†’ 1 :π΅βŸΆβ„)

Proof of Theorem dchr1re
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1re.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchr1re.z . . . 4 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
4 dchr1re.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
5 dchr1re.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
61dchrabl 26757 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 19653 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
8 dchr1re.o . . . . . 6 1 = (0gβ€˜πΊ)
93, 8grpidcl 18850 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
105, 6, 7, 94syl 19 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
111, 2, 3, 4, 10dchrf 26745 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 :π΅βŸΆβ„‚)
1211ffnd 6719 . 2 (πœ‘ β†’ 1 Fn 𝐡)
13 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ ( 1 β€˜π‘₯) = 0) β†’ ( 1 β€˜π‘₯) = 0)
14 0re 11216 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1513, 14eqeltrdi 2842 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ ( 1 β€˜π‘₯) = 0) β†’ ( 1 β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
16 eqid 2733 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘) = (Unitβ€˜π‘)
175ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ ( 1 β€˜π‘₯) β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1810adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
19 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
201, 2, 3, 4, 16, 18, 19dchrn0 26753 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (( 1 β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘)))
2120biimpa 478 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ ( 1 β€˜π‘₯) β‰  0) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘))
221, 2, 8, 16, 17, 21dchr1 26760 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ ( 1 β€˜π‘₯) β‰  0) β†’ ( 1 β€˜π‘₯) = 1)
23 1re 11214 . . . . 5 1 ∈ ℝ
2422, 23eqeltrdi 2842 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ ( 1 β€˜π‘₯) β‰  0) β†’ ( 1 β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2515, 24pm2.61dane 3030 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( 1 β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2625ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
27 ffnfv 7118 . 2 ( 1 :π΅βŸΆβ„ ↔ ( 1 Fn 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ( 1 β€˜π‘₯) ∈ ℝ))
2812, 26, 27sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 1 :π΅βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  β„•cn 12212  Basecbs 17144  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  Abelcabl 19649  Unitcui 20169  β„€/nβ„€czn 21052  DChrcdchr 26735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zn 21056  df-dchr 26736
This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  26990
  Copyright terms: Public domain W3C validator