Theorem dchr1re 26316

Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr1re.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1re.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1re.o	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchr1re.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr1re.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchr1re	⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem dchr1re

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1re.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr1re.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		dchr1re.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchr1re.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1	dchrabl 26307	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 19306	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8		dchr1re.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
9	3, 8	grpidcl 18522	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ (Base‘𝐺))
10	5, 6, 7, 9	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐺))
11	1, 2, 3, 4, 10	dchrf 26295	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℂ)
12	11	ffnd 6585	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 Fn 𝐵)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) = 0) → ( 1 ‘𝑥) = 0)
14		0re 10908	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	13, 14	eqeltrdi 2847	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) = 0) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
17	5	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐺))
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 16, 18, 19	dchrn0 26303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
21	20	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))
22	1, 2, 8, 16, 17, 21	dchr1 26310	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → ( 1 ‘𝑥) = 1)
23		1re 10906	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
24	22, 23	eqeltrdi 2847	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
25	15, 24	pm2.61dane 3031	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
27		ffnfv 6974	. 2 ⊢ ( 1 :𝐵⟶ℝ ↔ ( 1 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ))
28	12, 26, 27	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ℕcn 11903  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  Abelcabl 19302  Unitcui 19796  ℤ/nℤczn 20616  DChrcdchr 26285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-imas 17136  df-qus 17137  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-nsg 18668  df-eqg 18669  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351  df-rsp 20352  df-2idl 20416  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zn 20620  df-dchr 26286

This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  26540