Theorem dchr1re 26756

Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr1re.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1re.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1re.o	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchr1re.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr1re.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchr1re	⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem dchr1re

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1re.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr1re.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		dchr1re.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchr1re.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1	dchrabl 26747	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 19648	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8		dchr1re.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
9	3, 8	grpidcl 18847	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ (Base‘𝐺))
10	5, 6, 7, 9	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐺))
11	1, 2, 3, 4, 10	dchrf 26735	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℂ)
12	11	ffnd 6716	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 Fn 𝐵)
13		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) = 0) → ( 1 ‘𝑥) = 0)
14		0re 11213	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	13, 14	eqeltrdi 2842	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) = 0) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
16		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
17	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	10	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐺))
19		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 16, 18, 19	dchrn0 26743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
21	20	biimpa 478	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))
22	1, 2, 8, 16, 17, 21	dchr1 26750	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → ( 1 ‘𝑥) = 1)
23		1re 11211	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
24	22, 23	eqeltrdi 2842	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
25	15, 24	pm2.61dane 3030	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
27		ffnfv 7115	. 2 ⊢ ( 1 :𝐵⟶ℝ ↔ ( 1 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ))
28	12, 26, 27	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  ℕcn 12209  Basecbs 17141  0_gc0g 17382  Grpcgrp 18816  Abelcabl 19644  Unitcui 20162  ℤ/nℤczn 21044  DChrcdchr 26725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-0g 17384  df-imas 17451  df-qus 17452  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-nsg 18999  df-eqg 19000  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-lidl 20780  df-rsp 20781  df-2idl 20850  df-cnfld 20938  df-zring 21011  df-zn 21048  df-dchr 26726

This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  26980