Theorem dchr1re 27403

Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr1re.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1re.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1re.o	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchr1re.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr1re.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchr1re	⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem dchr1re

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1re.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr1re.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		dchr1re.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchr1re.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1	dchrabl 27394	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 19854	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8		dchr1re.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
9	3, 8	grpidcl 19031	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ (Base‘𝐺))
10	5, 6, 7, 9	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐺))
11	1, 2, 3, 4, 10	dchrf 27382	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℂ)
12	11	ffnd 6706	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 Fn 𝐵)
13		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) = 0) → ( 1 ‘𝑥) = 0)
14		0re 11209	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	13, 14	eqeltrdi 2869	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) = 0) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
17	5	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	10	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐺))
19		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 16, 18, 19	dchrn0 27390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
21	20	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))
22	1, 2, 8, 16, 17, 21	dchr1 27397	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → ( 1 ‘𝑥) = 1)
23		1re 11207	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
24	22, 23	eqeltrdi 2869	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
25	15, 24	pm2.61dane 3043	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
27		ffnfv 7114	. 2 ⊢ ( 1 :𝐵⟶ℝ ↔ ( 1 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ))
28	12, 26, 27	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100  ℕcn 12232  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  Grpcgrp 18999  Abelcabl 19850  Unitcui 20436  ℤ/nℤczn 21631  DChrcdchr 27372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-imas 17561  df-qus 17562  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-nsg 19189  df-eqg 19190  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312  df-2idl 21368  df-cnfld 21502  df-zring 21576  df-zn 21635  df-dchr 27373

This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  27627