MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr1re 25838
Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1re.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1re.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1re.o 1 = (0g𝐺)
dchr1re.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr1re.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dchr1re (𝜑1 :𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem dchr1re
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1re.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchr1re.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4 dchr1re.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 dchr1re.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
61dchrabl 25829 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18910 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8 dchr1re.o . . . . . 6 1 = (0g𝐺)
93, 8grpidcl 18130 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ (Base‘𝐺))
105, 6, 7, 94syl 19 . . . 4 (𝜑1 ∈ (Base‘𝐺))
111, 2, 3, 4, 10dchrf 25817 . . 3 (𝜑1 :𝐵⟶ℂ)
1211ffnd 6514 . 2 (𝜑1 Fn 𝐵)
13 simpr 487 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) = 0) → ( 1𝑥) = 0)
14 0re 10642 . . . . 5 0 ∈ ℝ
1513, 14eqeltrdi 2921 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) = 0) → ( 1𝑥) ∈ ℝ)
16 eqid 2821 . . . . . 6 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
175ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
1810adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐺))
19 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
201, 2, 3, 4, 16, 18, 19dchrn0 25825 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 1𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
2120biimpa 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))
221, 2, 8, 16, 17, 21dchr1 25832 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → ( 1𝑥) = 1)
23 1re 10640 . . . . 5 1 ∈ ℝ
2422, 23eqeltrdi 2921 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ( 1𝑥) ≠ 0) → ( 1𝑥) ∈ ℝ)
2515, 24pm2.61dane 3104 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1𝑥) ∈ ℝ)
2625ralrimiva 3182 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 1𝑥) ∈ ℝ)
27 ffnfv 6881 . 2 ( 1 :𝐵⟶ℝ ↔ ( 1 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ( 1𝑥) ∈ ℝ))
2812, 26, 27sylanbrc 585 1 (𝜑1 :𝐵⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wral 3138   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537  cn 11637  Basecbs 16482  0gc0g 16712  Grpcgrp 18102  Abelcabl 18906  Unitcui 19388  ℤ/nczn 20649  DChrcdchr 25807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-ec 8290  df-qs 8294  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-0g 16714  df-imas 16780  df-qus 16781  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-nsg 18276  df-eqg 18277  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-cring 19299  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-subrg 19532  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-sra 19943  df-rgmod 19944  df-lidl 19945  df-rsp 19946  df-2idl 20004  df-cnfld 20545  df-zring 20617  df-zn 20653  df-dchr 25808
This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  26062
  Copyright terms: Public domain W3C validator