Theorem dchr1re 27214

Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr1re.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1re.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1re.o	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchr1re.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr1re.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchr1re	⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem dchr1re

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1re.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr1re.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		dchr1re.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchr1re.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1	dchrabl 27205	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 19745	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8		dchr1re.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
9	3, 8	grpidcl 18927	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ (Base‘𝐺))
10	5, 6, 7, 9	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐺))
11	1, 2, 3, 4, 10	dchrf 27193	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℂ)
12	11	ffnd 6726	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 Fn 𝐵)
13		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) = 0) → ( 1 ‘𝑥) = 0)
14		0re 11252	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	13, 14	eqeltrdi 2836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) = 0) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
16		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
17	5	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	10	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐺))
19		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 16, 18, 19	dchrn0 27201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
21	20	biimpa 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))
22	1, 2, 8, 16, 17, 21	dchr1 27208	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → ( 1 ‘𝑥) = 1)
23		1re 11250	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
24	22, 23	eqeltrdi 2836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
25	15, 24	pm2.61dane 3025	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	ralrimiva 3142	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
27		ffnfv 7132	. 2 ⊢ ( 1 :𝐵⟶ℝ ↔ ( 1 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ))
28	12, 26, 27	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ∀wral 3057   Fn wfn 6546  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  ℂcc 11142  ℝcr 11143  0cc0 11144  1c1 11145  ℕcn 12248  Basecbs 17185  0_gc0g 17426  Grpcgrp 18895  Abelcabl 19741  Unitcui 20299  ℤ/nℤczn 21433  DChrcdchr 27183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-addf 11223  ax-mulf 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-ec 8731  df-qs 8735  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-0g 17428  df-imas 17495  df-qus 17496  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-nsg 19084  df-eqg 19085  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-lidl 21109  df-rsp 21110  df-2idl 21149  df-cnfld 21285  df-zring 21378  df-zn 21437  df-dchr 27184

This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  27438