Theorem dchr1re 27235

Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr1re.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr1re.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr1re.o	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchr1re.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr1re.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchr1re	⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem dchr1re

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr1re.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr1re.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		dchr1re.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		dchr1re.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1	dchrabl 27226	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 19719	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8		dchr1re.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
9	3, 8	grpidcl 18900	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ (Base‘𝐺))
10	5, 6, 7, 9	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐺))
11	1, 2, 3, 4, 10	dchrf 27214	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℂ)
12	11	ffnd 6664	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 Fn 𝐵)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) = 0) → ( 1 ‘𝑥) = 0)
14		0re 11139	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15	13, 14	eqeltrdi 2845	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) = 0) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
17	5	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝐺))
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 3, 4, 16, 18, 19	dchrn0 27222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (( 1 ‘𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍)))
21	20	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑍))
22	1, 2, 8, 16, 17, 21	dchr1 27229	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → ( 1 ‘𝑥) = 1)
23		1re 11137	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
24	22, 23	eqeltrdi 2845	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ( 1 ‘𝑥) ≠ 0) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
25	15, 24	pm2.61dane 3020	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
26	25	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ)
27		ffnfv 7066	. 2 ⊢ ( 1 :𝐵⟶ℝ ↔ ( 1 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ( 1 ‘𝑥) ∈ ℝ))
28	12, 26, 27	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 1 :𝐵⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  ℂcc 11029  ℝcr 11030  0cc0 11031  1c1 11032  ℕcn 12150  Basecbs 17141  0_gc0g 17364  Grpcgrp 18868  Abelcabl 19715  Unitcui 20296  ℤ/nℤczn 21462  DChrcdchr 27204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-addf 11110  ax-mulf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-0g 17366  df-imas 17434  df-qus 17435  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-subg 19058  df-nsg 19059  df-eqg 19060  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20278  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-lsp 20928  df-sra 21130  df-rgmod 21131  df-lidl 21168  df-rsp 21169  df-2idl 21210  df-cnfld 21315  df-zring 21407  df-zn 21466  df-dchr 27205

This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  27459