Theorem isnumbasgrp 43110

Description: A set is numerable iff it and its Hartogs number can be jointly given the structure of a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnumbasgrp	⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))

Proof of Theorem isnumbasgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 19824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
2	1	ssriv 4000	. . . 4 ⊢ Abel ⊆ Grp
3		imass2 6125	. . . 4 ⊢ (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
5		isnumbasabl 43109	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
6	5	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
7	4, 6	sselid 3994	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))
8		isnumbasgrplem2 43107	. 2 ⊢ ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp) → 𝑆 ∈ dom card)
9	7, 8	impbii 209	1 ⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3962   ⊆ wss 3964  dom cdm 5690   “ cima 5693  ‘cfv 6566  harchar 9600  cardccrd 9979  Basecbs 17251  Grpcgrp 18970  Abelcabl 19820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-inf2 9685  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237  ax-addf 11238  ax-mulf 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-se 5643  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-supp 8191  df-tpos 8256  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-seqom 8493  df-1o 8511  df-2o 8512  df-oadd 8515  df-omul 8516  df-er 8750  df-ec 8752  df-qs 8756  df-map 8873  df-ixp 8943  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-fsupp 9406  df-sup 9486  df-inf 9487  df-oi 9554  df-har 9601  df-wdom 9609  df-dju 9945  df-card 9983  df-acn 9986  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11925  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-4 12335  df-5 12336  df-6 12337  df-7 12338  df-8 12339  df-9 12340  df-n0 12531  df-z 12618  df-dec 12738  df-uz 12883  df-rp 13039  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-fl 13835  df-mod 13913  df-seq 14046  df-hash 14373  df-dvds 16294  df-struct 17187  df-sets 17204  df-slot 17222  df-ndx 17234  df-base 17252  df-ress 17281  df-plusg 17317  df-mulr 17318  df-starv 17319  df-sca 17320  df-vsca 17321  df-ip 17322  df-tset 17323  df-ple 17324  df-ds 17326  df-unif 17327  df-hom 17328  df-cco 17329  df-0g 17494  df-prds 17500  df-pws 17502  df-imas 17561  df-qus 17562  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-mhm 18815  df-grp 18973  df-minusg 18974  df-sbg 18975  df-mulg 19105  df-subg 19160  df-nsg 19161  df-eqg 19162  df-ghm 19250  df-gim 19296  df-gic 19297  df-cmn 19821  df-abl 19822  df-mgp 20159  df-rng 20177  df-ur 20206  df-ring 20259  df-cring 20260  df-oppr 20357  df-dvdsr 20380  df-rhm 20495  df-subrng 20569  df-subrg 20593  df-lmod 20883  df-lss 20954  df-lsp 20994  df-sra 21196  df-rgmod 21197  df-lidl 21242  df-rsp 21243  df-2idl 21284  df-cnfld 21389  df-zring 21482  df-zrh 21538  df-zn 21541  df-dsmm 21776  df-frlm 21791

This theorem is referenced by:  dfacbasgrp  43111