Theorem isnumbasgrp 40504

Description: A set is numerable iff it and its Hartogs number can be jointly given the structure of a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnumbasgrp	⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))

Proof of Theorem isnumbasgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 19029	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
2	1	ssriv 3881	. . . 4 ⊢ Abel ⊆ Grp
3		imass2 5939	. . . 4 ⊢ (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
5		isnumbasabl 40503	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
6	5	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
7	4, 6	sseldi 3875	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))
8		isnumbasgrplem2 40501	. 2 ⊢ ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp) → 𝑆 ∈ dom card)
9	7, 8	impbii 212	1 ⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3841   ⊆ wss 3843  dom cdm 5525   “ cima 5528  ‘cfv 6339  harchar 9093  cardccrd 9437  Basecbs 16586  Grpcgrp 18219  Abelcabl 19025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-seqom 8113  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-omul 8136  df-er 8320  df-ec 8322  df-qs 8326  df-map 8439  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-har 9094  df-wdom 9102  df-dju 9403  df-card 9441  df-acn 9444  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-hash 13783  df-dvds 15700  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-prds 16824  df-pws 16826  df-imas 16884  df-qus 16885  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-nsg 18395  df-eqg 18396  df-ghm 18474  df-gim 18517  df-gic 18518  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-rnghom 19589  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-lidl 20065  df-rsp 20066  df-2idl 20124  df-cnfld 20218  df-zring 20290  df-zrh 20324  df-zn 20327  df-dsmm 20548  df-frlm 20563

This theorem is referenced by:  dfacbasgrp  40505