Theorem isnumbasgrp 43005

Description: A set is numerable iff it and its Hartogs number can be jointly given the structure of a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnumbasgrp	⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))

Proof of Theorem isnumbasgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablgrp 19822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Abel → 𝑥 ∈ Grp)
2	1	ssriv 4006	. . . 4 ⊢ Abel ⊆ Grp
3		imass2 6131	. . . 4 ⊢ (Abel ⊆ Grp → (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Base “ Abel) ⊆ (Base “ Grp)
5		isnumbasabl 43004	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
6	5	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Abel))
7	4, 6	sselid 4000	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))
8		isnumbasgrplem2 43002	. 2 ⊢ ((𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp) → 𝑆 ∈ dom card)
9	7, 8	impbii 209	1 ⊢ (𝑆 ∈ dom card ↔ (𝑆 ∪ (har‘𝑆)) ∈ (Base “ Grp))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2103   ∪ cun 3968   ⊆ wss 3970  dom cdm 5699   “ cima 5702  ‘cfv 6572  harchar 9621  cardccrd 10000  Basecbs 17253  Grpcgrp 18968  Abelcabl 19818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259  ax-mulf 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-seqom 8500  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-omul 8523  df-er 8759  df-ec 8761  df-qs 8765  df-map 8882  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-har 9622  df-wdom 9630  df-dju 9966  df-card 10004  df-acn 10007  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-rp 13054  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14049  df-hash 14376  df-dvds 16297  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17496  df-prds 17502  df-pws 17504  df-imas 17563  df-qus 17564  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mhm 18813  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-mulg 19103  df-subg 19158  df-nsg 19159  df-eqg 19160  df-ghm 19248  df-gim 19294  df-gic 19295  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-rhm 20493  df-subrng 20567  df-subrg 20592  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535  df-dsmm 21770  df-frlm 21785

This theorem is referenced by:  dfacbasgrp  43006