Theorem isringrng 20186

Description: The predicate "is a unital ring" as extension of the predicate "is a non-unital ring". (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isringrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isringrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isringrng	⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Proof of Theorem isringrng

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 20184	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		isringrng.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isringrng.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	2, 3	ringideu 20159	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
5		reurex 3374	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
7	1, 6	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
8		rngabl 20060	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
9		ablgrp 19705	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Grp)
12		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13	12	rngmgp 20061	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
14	13	anim1i 614	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
15	12, 2	mgpbas 20045	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 3	mgpplusg 20043	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
17	15, 16	ismnddef 18669	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
18	14, 17	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
19		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	2, 12, 19, 3	isrng 20059	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
21	20	simp3bi 1144	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
23	2, 12, 19, 3	isring 20142	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
24	11, 18, 22, 23	syl3anbrc 1340	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
25	7, 24	impbii 208	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3368  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  ._rcmulr 17207  Smgrpcsgrp 18651  Mndcmnd 18667  Grpcgrp 18863  Abelcabl 19701  mulGrpcmgp 20039  Rngcrng 20057  Ringcrg 20138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140

This theorem is referenced by:  opprring  20249  rngisomring  20369  pzriprnglem7  21374  pzriprnglem13  21380  zlidlring  47184  uzlidlring  47185