Theorem isringrng 20402

Description: The predicate "is a unital ring" as extension of the predicate "is a non-unital ring". (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isringrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isringrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isringrng	⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Proof of Theorem isringrng

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 20400	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		isringrng.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isringrng.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	2, 3	ringideu 20367	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
5		reurex 3376	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
7	1, 6	jca 521	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
8		rngabl 20264	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
9		ablgrp 19886	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Grp)
12		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13	12	rngmgp 20265	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
14	13	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
15	12, 2	mgpbas 20252	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 3	mgpplusg 20251	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
17	15, 16	ismnddef 18823	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
18	14, 17	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
19		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	2, 12, 19, 3	isrng 20263	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
21	20	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
23	2, 12, 19, 3	isring 20350	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
24	11, 18, 22, 23	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
25	7, 24	impbii 212	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  ∃!wreu 3370  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  Smgrpcsgrp 18805  Mndcmnd 18821  Grpcgrp 19031  Abelcabl 19882  mulGrpcmgp 20247  Rngcrng 20261  Ringcrg 20346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348

This theorem is used by:  opprring  20462  rngisomring  20582  pzriprnglem7  21674  pzriprnglem13  21680  zlidlring  49040  uzlidlring  49041