Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isringrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isringrng 45417
Description: The predicate "is a unital ring" as extension of the predicate "is a non-unital ring". (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isringrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isringrng.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
isringrng (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Proof of Theorem isringrng
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringrng 45415 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2 isringrng.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 isringrng.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
42, 3ringideu 19814 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
5 reurex 3360 . . . 4 (∃!𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
64, 5syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
71, 6jca 512 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
8 rngabl 45413 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
9 ablgrp 19401 . . . . 5 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
1110adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Grp)
12 eqid 2738 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1312rngmgp 45414 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
1413anim1i 615 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
1512, 2mgpbas 19736 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1612, 3mgpplusg 19734 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
1715, 16ismnddef 18397 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
1814, 17sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
19 eqid 2738 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
202, 12, 19, 3isrng 45412 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
2120simp3bi 1146 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
2221adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
232, 12, 19, 3isring 19797 . . 3 (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
2411, 18, 22, 23syl3anbrc 1342 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
257, 24impbii 208 1 (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065  ∃!wreu 3066  cfv 6426  (class class class)co 7267  Basecbs 16922  +gcplusg 16972  .rcmulr 16973  Smgrpcsgrp 18384  Mndcmnd 18395  Grpcgrp 18587  Abelcabl 19397  mulGrpcmgp 19730  Ringcrg 19793  Rngcrng 45410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-plusg 16985  df-0g 17162  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-rng0 45411
This theorem is referenced by:  zlidlring  45464  uzlidlring  45465
  Copyright terms: Public domain W3C validator