Theorem isringrng 45327

Description: The predicate "is a unital ring" as extension of the predicate "is a non-unital ring". (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isringrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isringrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isringrng	⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Proof of Theorem isringrng

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 45325	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2		isringrng.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isringrng.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	2, 3	ringideu 19719	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
5		reurex 3352	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))
7	1, 6	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
8		rngabl 45323	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
9		ablgrp 19306	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Grp)
12		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13	12	rngmgp 45324	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
14	13	anim1i 614	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
15	12, 2	mgpbas 19641	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 3	mgpplusg 19639	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
17	15, 16	ismnddef 18302	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
18	14, 17	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
19		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	2, 12, 19, 3	isrng 45322	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
21	20	simp3bi 1145	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧))))
23	2, 12, 19, 3	isring 19702	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦 · 𝑧)))))
24	11, 18, 22, 23	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
25	7, 24	impbii 208	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Smgrpcsgrp 18289  Mndcmnd 18300  Grpcgrp 18492  Abelcabl 19302  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  Rngcrng 45320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-rng0 45321

This theorem is referenced by:  zlidlring  45374  uzlidlring  45375