Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isringrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isringrng 46253
Description: The predicate "is a unital ring" as extension of the predicate "is a non-unital ring". (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isringrng.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
isringrng.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
isringrng (๐‘… โˆˆ Ring โ†” (๐‘… โˆˆ Rng โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ

Proof of Theorem isringrng
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringrng 46251 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
2 isringrng.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 isringrng.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
42, 3ringideu 19992 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
5 reurex 3360 . . . 4 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
64, 5syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
71, 6jca 513 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘… โˆˆ Rng โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
8 rngabl 46249 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Abel)
9 ablgrp 19574 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Abel โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
108, 9syl 17 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
1110adantr 482 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
12 eqid 2737 . . . . . 6 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
1312rngmgp 46250 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Smgrp)
1413anim1i 616 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Smgrp โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
1512, 2mgpbas 19909 . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
1612, 3mgpplusg 19907 . . . . 5 ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
1715, 16ismnddef 18565 . . . 4 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โ†” ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Smgrp โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
1814, 17sylibr 233 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
19 eqid 2737 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
202, 12, 19, 3isrng 46248 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Rng โ†” (๐‘… โˆˆ Abel โˆง (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Smgrp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))))
2120simp3bi 1148 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
2221adantr 482 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท ๐‘ง))))
232, 12, 19, 3isring 19975 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†” (๐‘… โˆˆ Grp โˆง (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฅ ยท ๐‘ง)) โˆง ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))))
2411, 18, 22, 23syl3anbrc 1344 . 2 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
257, 24impbii 208 1 (๐‘… โˆˆ Ring โ†” (๐‘… โˆˆ Rng โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074  โˆƒ!wreu 3354  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  Smgrpcsgrp 18552  Mndcmnd 18563  Grpcgrp 18755  Abelcabl 19570  mulGrpcmgp 19903  Ringcrg 19971  Rngcrng 46246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-rng 46247
This theorem is referenced by:  zlidlring  46300  uzlidlring  46301
  Copyright terms: Public domain W3C validator