MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnaddinv 18991
Description: Value of the group inverse of complex number addition. See also cnfldneg 20124. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnaddabl.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
Assertion
Ref Expression
cnaddinv (𝐴 ∈ ℂ → ((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem cnaddinv
StepHypRef Expression
1 negid 10931 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
2 cnaddabl.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
32cnaddabl 18989 . . . 4 𝐺 ∈ Abel
4 ablgrp 18911 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
53, 4ax-mp 5 . . 3 𝐺 ∈ Grp
6 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
7 negcl 10884 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
8 cnex 10616 . . . . 5 ℂ ∈ V
92grpbase 16610 . . . . 5 (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ℂ = (Base‘𝐺)
11 addex 12384 . . . . 5 + ∈ V
122grpplusg 16611 . . . . 5 ( + ∈ V → + = (+g𝐺))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 + = (+g𝐺)
142cnaddid 18990 . . . . 5 (0g𝐺) = 0
1514eqcomi 2833 . . . 4 0 = (0g𝐺)
16 eqid 2824 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
1710, 13, 15, 16grpinvid1 18154 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
185, 6, 7, 17mp3an2i 1463 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
191, 18mpbird 260 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  {cpr 4552  cop 4556  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  0cc0 10535   + caddc 10538  -cneg 10869  ndxcnx 16480  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  0gc0g 16713  Grpcgrp 18103  invgcminusg 18104  Abelcabl 18907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-addf 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-cmn 18908  df-abl 18909
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator