Theorem cnaddinv 19805

Description: Value of the group inverse of complex number addition. See also cnfldneg 21355. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddabl.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddinv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem cnaddinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negid 11433	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
2		cnaddabl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
3	2	cnaddabl 19803	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Abel
4		ablgrp 19719	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
7		negcl 11385	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
8		cnex 11112	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
9	2	grpbase 17214	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
11		addex 12907	. . . . 5 ⊢ + ∈ V
12	2	grpplusg 17215	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐺))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
14	2	cnaddid 19804	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = 0
15	14	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
17	10, 13, 15, 16	grpinvid1 18926	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
18	5, 6, 7, 17	mp3an2i 1469	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
19	1, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  {cpr 4583  ⟨cop 4587  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  0cc0 11031   + caddc 11034  -cneg 11370  ndxcnx 17125  Basecbs 17141  +_gcplusg 17182  0_gc0g 17364  Grpcgrp 18868  inv_gcminusg 18869  Abelcabl 19715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-addf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-fz 13429  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-plusg 17195  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-cmn 19716  df-abl 19717

This theorem is referenced by: (None)