Theorem cnaddinv 19921

Description: Value of the group inverse of complex number addition. See also cnfldneg 21457. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddabl.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddinv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem cnaddinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negid 11489	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
2		cnaddabl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
3	2	cnaddabl 19919	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Abel
4		ablgrp 19835	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
7		negcl 11441	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
8		cnex 11165	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
9	2	grpbase 17328	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
11		addex 13000	. . . . 5 ⊢ + ∈ V
12	2	grpplusg 17329	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐺))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
14	2	cnaddid 19920	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = 0
15	14	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
17	10, 13, 15, 16	grpinvid1 19043	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
18	5, 6, 7, 17	mp3an2i 1488	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
19	1, 18	mpbird 259	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  0cc0 11084   + caddc 11087  -cneg 11426  ndxcnx 17239  Basecbs 17255  +_gcplusg 17296  0_gc0g 17478  Grpcgrp 18985  inv_gcminusg 18986  Abelcabl 19831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-addf 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523  df-struct 17193  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-plusg 17309  df-0g 17480  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-cmn 19832  df-abl 19833

This theorem is referenced by: (None)