Theorem cnaddinv 19913

Description: Value of the group inverse of complex number addition. See also cnfldneg 21431. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddabl.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddinv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem cnaddinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negid 11583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
2		cnaddabl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
3	2	cnaddabl 19911	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Abel
4		ablgrp 19827	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
7		negcl 11536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
8		cnex 11265	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
9	2	grpbase 17345	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
11		addex 13054	. . . . 5 ⊢ + ∈ V
12	2	grpplusg 17347	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐺))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
14	2	cnaddid 19912	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = 0
15	14	eqcomi 2749	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
17	10, 13, 15, 16	grpinvid1 19031	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
18	5, 6, 7, 17	mp3an2i 1466	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
19	1, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {cpr 4650  ⟨cop 4654  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   + caddc 11187  -cneg 11521  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  Abelcabl 19823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825

This theorem is referenced by: (None)