MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnaddinv 19647
Description: Value of the group inverse of complex number addition. See also cnfldneg 20821. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnaddabl.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
Assertion
Ref Expression
cnaddinv (𝐴 ∈ ℂ → ((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem cnaddinv
StepHypRef Expression
1 negid 11447 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
2 cnaddabl.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
32cnaddabl 19645 . . . 4 𝐺 ∈ Abel
4 ablgrp 19565 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
53, 4ax-mp 5 . . 3 𝐺 ∈ Grp
6 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
7 negcl 11400 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
8 cnex 11131 . . . . 5 ℂ ∈ V
92grpbase 17166 . . . . 5 (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 ℂ = (Base‘𝐺)
11 addex 12912 . . . . 5 + ∈ V
122grpplusg 17168 . . . . 5 ( + ∈ V → + = (+g𝐺))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 + = (+g𝐺)
142cnaddid 19646 . . . . 5 (0g𝐺) = 0
1514eqcomi 2745 . . . 4 0 = (0g𝐺)
16 eqid 2736 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
1710, 13, 15, 16grpinvid1 18800 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
185, 6, 7, 17mp3an2i 1466 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
191, 18mpbird 256 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg𝐺)‘𝐴) = -𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  {cpr 4588  cop 4592  cfv 6496  (class class class)co 7356  cc 11048  0cc0 11050   + caddc 11053  -cneg 11385  ndxcnx 17064  Basecbs 17082  +gcplusg 17132  0gc0g 17320  Grpcgrp 18747  invgcminusg 18748  Abelcabl 19561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-addf 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-struct 17018  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-plusg 17145  df-0g 17322  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-cmn 19562  df-abl 19563
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator