Theorem cnaddinv 19387

Description: Value of the group inverse of complex number addition. See also cnfldneg 20536. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddabl.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddinv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem cnaddinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negid 11198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
2		cnaddabl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
3	2	cnaddabl 19385	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ Abel
4		ablgrp 19306	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
7		negcl 11151	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
8		cnex 10883	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
9	2	grpbase 16922	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
11		addex 12657	. . . . 5 ⊢ + ∈ V
12	2	grpplusg 16924	. . . . 5 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐺))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
14	2	cnaddid 19386	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = 0
15	14	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
17	10, 13, 15, 16	grpinvid1 18545	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
18	5, 6, 7, 17	mp3an2i 1464	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴 ↔ (𝐴 + -𝐴) = 0))
19	1, 18	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘𝐺)‘𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805  -cneg 11136  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  Abelcabl 19302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-cmn 19303  df-abl 19304

This theorem is referenced by: (None)