Theorem prdsabld 18655

Description: The product of a family of Abelian groups is an Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscmnd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgabld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Abel)

Assertion

Ref	Expression
prdsabld	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Abel)

Proof of Theorem prdsabld

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdscmnd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdscmnd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdscmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsgabld.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Abel)
5		ablgrp 18588	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Abel → 𝑎 ∈ Grp)
6	5	ssriv 3825	. . . 4 ⊢ Abel ⊆ Grp
7		fss 6306	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Abel ∧ Abel ⊆ Grp) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
8	4, 6, 7	sylancl 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9	1, 2, 3, 8	prdsgrpd 17916	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
10		ablcmn 18589	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Abel → 𝑎 ∈ CMnd)
11	10	ssriv 3825	. . . 4 ⊢ Abel ⊆ CMnd
12		fss 6306	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Abel ∧ Abel ⊆ CMnd) → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
13	4, 11, 12	sylancl 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
14	1, 2, 3, 13	prdscmnd 18654	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)
15		isabl 18587	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Abel ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ CMnd))
16	9, 14, 15	sylanbrc 578	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  ⟶wf 6133  (class class class)co 6924  X_scprds 16496  Grpcgrp 17813  CMndccmn 18583  Abelcabl 18584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-fz 12648  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-hom 16366  df-cco 16367  df-0g 16492  df-prds 16498  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-cmn 18585  df-abl 18586

This theorem is referenced by:  pwsabl  18657