Theorem prdsabld 19992

Description: The product of a family of Abelian groups is an Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscmnd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgabld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Abel)

Assertion

Ref	Expression
prdsabld	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Abel)

Proof of Theorem prdsabld

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdscmnd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdscmnd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdscmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsgabld.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Abel)
5		ablgrp 19915	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Abel → 𝑎 ∈ Grp)
6	5	ssriv 3935	. . . 4 ⊢ Abel ⊆ Grp
7		fss 6720	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Abel ∧ Abel ⊆ Grp) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
8	4, 6, 7	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9	1, 2, 3, 8	prdsgrpd 19176	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
10		ablcmn 19917	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Abel → 𝑎 ∈ CMnd)
11	10	ssriv 3935	. . . 4 ⊢ Abel ⊆ CMnd
12		fss 6720	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Abel ∧ Abel ⊆ CMnd) → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
13	4, 11, 12	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
14	1, 2, 3, 13	prdscmnd 19991	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)
15		isabl 19914	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Abel ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ CMnd))
16	9, 14, 15	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ⟶wf 6529  (class class class)co 7414  X_scprds 17533  Grpcgrp 19060  CMndccmn 19910  Abelcabl 19911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-prds 17535  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-cmn 19912  df-abl 19913

This theorem is used by:  pwsabl  19994  prdsrngd  20314