Theorem prdsabld 19782

Description: The product of a family of Abelian groups is an Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscmnd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsgabld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Abel)

Assertion

Ref	Expression
prdsabld	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Abel)

Proof of Theorem prdsabld

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdscmnd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdscmnd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdscmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsgabld.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Abel)
5		ablgrp 19705	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Abel → 𝑎 ∈ Grp)
6	5	ssriv 3934	. . . 4 ⊢ Abel ⊆ Grp
7		fss 6675	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Abel ∧ Abel ⊆ Grp) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
8	4, 6, 7	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9	1, 2, 3, 8	prdsgrpd 18971	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
10		ablcmn 19707	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Abel → 𝑎 ∈ CMnd)
11	10	ssriv 3934	. . . 4 ⊢ Abel ⊆ CMnd
12		fss 6675	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Abel ∧ Abel ⊆ CMnd) → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
13	4, 11, 12	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
14	1, 2, 3, 13	prdscmnd 19781	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)
15		isabl 19704	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Abel ↔ (𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ CMnd))
16	9, 14, 15	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ⟶wf 6485  (class class class)co 7355  X_scprds 17356  Grpcgrp 18854  CMndccmn 19700  Abelcabl 19701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-prds 17358  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-cmn 19702  df-abl 19703

This theorem is referenced by:  pwsabl  19784  prdsrngd  20102