MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odadd 18606
Description: The order of a product is the product of the orders, if the factors have coprime order. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1 𝑂 = (od‘𝐺)
odadd1.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
odadd1.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odadd (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))

Proof of Theorem odadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 1248 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → 𝐺 ∈ Abel)
2 ablgrp 18551 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → 𝐺 ∈ Grp)
4 simpl2 1250 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → 𝐴𝑋)
5 simpl3 1252 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → 𝐵𝑋)
6 odadd1.2 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
7 odadd1.3 . . . . 5 + = (+g𝐺)
86, 7grpcl 17784 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
93, 4, 5, 8syl3anc 1496 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
10 odadd1.1 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
116, 10odcl 18306 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
129, 11syl 17 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
136, 10odcl 18306 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
144, 13syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
156, 10odcl 18306 . . . 4 (𝐵𝑋 → (𝑂𝐵) ∈ ℕ0)
165, 15syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂𝐵) ∈ ℕ0)
1714, 16nn0mulcld 11683 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℕ0)
18 simpr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1)
1918oveq2d 6921 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 1))
2012nn0cnd 11680 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
2120mulid1d 10374 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 1) = (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
2219, 21eqtrd 2861 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
2310, 6, 7odadd1 18604 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
2423adantr 474 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
2522, 24eqbrtrrd 4897 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
2610, 6, 7odadd2 18605 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
2726adantr 474 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
2818oveq1d 6920 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) = (1↑2))
29 sq1 13252 . . . . . 6 (1↑2) = 1
3028, 29syl6eq 2877 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) = 1)
3130oveq2d 6921 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 1))
3231, 21eqtrd 2861 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
3327, 32breqtrd 4899 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
34 dvdseq 15413 . 2 ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℕ0) ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∧ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
3512, 17, 25, 33, 34syl22anc 874 1 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  1c1 10253   · cmul 10257  2c2 11406  0cn0 11618  cexp 13154  cdvds 15357   gcd cgcd 15589  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  Grpcgrp 17776  odcod 18295  Abelcabl 18547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-dvds 15358  df-gcd 15590  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-od 18299  df-cmn 18548  df-abl 18549
This theorem is referenced by:  gexexlem  18608
  Copyright terms: Public domain W3C validator