MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odadd 19805
Description: The order of a product is the product of the orders, if the factors have coprime order. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odadd1.2 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odadd1.3 + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odadd (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))

Proof of Theorem odadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
2 ablgrp 19740 . . . . 5 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
4 simpl2 1190 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
5 simpl3 1191 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‹)
6 odadd1.2 . . . . 5 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
7 odadd1.3 . . . . 5 + = (+gโ€˜๐บ)
86, 7grpcl 18898 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹)
93, 4, 5, 8syl3anc 1369 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹)
10 odadd1.1 . . . 4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
116, 10odcl 19491 . . 3 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
129, 11syl 17 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
136, 10odcl 19491 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
144, 13syl 17 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
156, 10odcl 19491 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
165, 15syl 17 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
1714, 16nn0mulcld 12568 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„•0)
18 simpr 484 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1)
1918oveq2d 7436 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท 1))
2012nn0cnd 12565 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2120mulridd 11262 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท 1) = (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)))
2219, 21eqtrd 2768 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)))
2310, 6, 7odadd1 19803 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
2423adantr 480 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
2522, 24eqbrtrrd 5172 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
2610, 6, 7odadd2 19804 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))โ†‘2)))
2726adantr 480 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))โ†‘2)))
2818oveq1d 7435 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))โ†‘2) = (1โ†‘2))
29 sq1 14191 . . . . . 6 (1โ†‘2) = 1
3028, 29eqtrdi 2784 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))โ†‘2) = 1)
3130oveq2d 7436 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))โ†‘2)) = ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท 1))
3231, 21eqtrd 2768 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))โ†‘2)) = (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)))
3327, 32breqtrd 5174 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)))
34 dvdseq 16291 . 2 ((((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)))) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
3512, 17, 25, 33, 34syl22anc 838 1 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 1) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11140   ยท cmul 11144  2c2 12298  โ„•0cn0 12503  โ†‘cexp 14059   โˆฅ cdvds 16231   gcd cgcd 16469  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  Grpcgrp 18890  odcod 19479  Abelcabl 19736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-od 19483  df-cmn 19737  df-abl 19738
This theorem is referenced by:  gexexlem  19807
  Copyright terms: Public domain W3C validator