Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ๐บ โ Abel) |
2 | | ablgrp 19574 |
. . . . 5
โข (๐บ โ Abel โ ๐บ โ Grp) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . 4
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ๐บ โ Grp) |
4 | | simpl2 1193 |
. . . 4
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ๐ด โ ๐) |
5 | | simpl3 1194 |
. . . 4
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ๐ต โ ๐) |
6 | | odadd1.2 |
. . . . 5
โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
7 | | odadd1.3 |
. . . . 5
โข + =
(+gโ๐บ) |
8 | 6, 7 | grpcl 18763 |
. . . 4
โข ((๐บ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ (๐ด + ๐ต) โ ๐) |
9 | 3, 4, 5, 8 | syl3anc 1372 |
. . 3
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ (๐ด + ๐ต) โ ๐) |
10 | | odadd1.1 |
. . . 4
โข ๐ = (odโ๐บ) |
11 | 6, 10 | odcl 19325 |
. . 3
โข ((๐ด + ๐ต) โ ๐ โ (๐โ(๐ด + ๐ต)) โ
โ0) |
12 | 9, 11 | syl 17 |
. 2
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ (๐โ(๐ด + ๐ต)) โ
โ0) |
13 | 6, 10 | odcl 19325 |
. . . 4
โข (๐ด โ ๐ โ (๐โ๐ด) โ
โ0) |
14 | 4, 13 | syl 17 |
. . 3
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ (๐โ๐ด) โ
โ0) |
15 | 6, 10 | odcl 19325 |
. . . 4
โข (๐ต โ ๐ โ (๐โ๐ต) โ
โ0) |
16 | 5, 15 | syl 17 |
. . 3
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ (๐โ๐ต) โ
โ0) |
17 | 14, 16 | nn0mulcld 12485 |
. 2
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต)) โ
โ0) |
18 | | simpr 486 |
. . . . 5
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) |
19 | 18 | oveq2d 7378 |
. . . 4
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ((๐โ(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต))) = ((๐โ(๐ด + ๐ต)) ยท 1)) |
20 | 12 | nn0cnd 12482 |
. . . . 5
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ (๐โ(๐ด + ๐ต)) โ โ) |
21 | 20 | mulid1d 11179 |
. . . 4
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ((๐โ(๐ด + ๐ต)) ยท 1) = (๐โ(๐ด + ๐ต))) |
22 | 19, 21 | eqtrd 2777 |
. . 3
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ((๐โ(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต))) = (๐โ(๐ด + ๐ต))) |
23 | 10, 6, 7 | odadd1 19633 |
. . . 4
โข ((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ ((๐โ(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต))) โฅ ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต))) |
24 | 23 | adantr 482 |
. . 3
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ((๐โ(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต))) โฅ ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต))) |
25 | 22, 24 | eqbrtrrd 5134 |
. 2
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ (๐โ(๐ด + ๐ต)) โฅ ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต))) |
26 | 10, 6, 7 | odadd2 19634 |
. . . 4
โข ((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต)) โฅ ((๐โ(๐ด + ๐ต)) ยท (((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต))โ2))) |
27 | 26 | adantr 482 |
. . 3
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต)) โฅ ((๐โ(๐ด + ๐ต)) ยท (((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต))โ2))) |
28 | 18 | oveq1d 7377 |
. . . . . 6
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ (((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต))โ2) = (1โ2)) |
29 | | sq1 14106 |
. . . . . 6
โข
(1โ2) = 1 |
30 | 28, 29 | eqtrdi 2793 |
. . . . 5
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ (((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต))โ2) = 1) |
31 | 30 | oveq2d 7378 |
. . . 4
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ((๐โ(๐ด + ๐ต)) ยท (((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต))โ2)) = ((๐โ(๐ด + ๐ต)) ยท 1)) |
32 | 31, 21 | eqtrd 2777 |
. . 3
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ((๐โ(๐ด + ๐ต)) ยท (((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต))โ2)) = (๐โ(๐ด + ๐ต))) |
33 | 27, 32 | breqtrd 5136 |
. 2
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต)) โฅ (๐โ(๐ด + ๐ต))) |
34 | | dvdseq 16203 |
. 2
โข ((((๐โ(๐ด + ๐ต)) โ โ0 โง ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต)) โ โ0) โง ((๐โ(๐ด + ๐ต)) โฅ ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต)) โง ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต)) โฅ (๐โ(๐ด + ๐ต)))) โ (๐โ(๐ด + ๐ต)) = ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต))) |
35 | 12, 17, 25, 33, 34 | syl22anc 838 |
1
โข (((๐บ โ Abel โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โง ((๐โ๐ด) gcd (๐โ๐ต)) = 1) โ (๐โ(๐ด + ๐ต)) = ((๐โ๐ด) ยท (๐โ๐ต))) |