MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odadd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odadd1 19881
Description: The order of a product in an abelian group divides the LCM of the orders of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1 𝑂 = (od‘𝐺)
odadd1.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
odadd1.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odadd1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))

Proof of Theorem odadd1
StepHypRef Expression
1 ablgrp 19818 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2 odadd1.2 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odadd1.3 . . . . . . . . . 10 + = (+g𝐺)
42, 3grpcl 18972 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
51, 4syl3an1 1162 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
6 odadd1.1 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
72, 6odcl 19569 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
98nn0zd 12637 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
102, 6odcl 19569 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
11103ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
1211nn0zd 12637 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
132, 6odcl 19569 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑋 → (𝑂𝐵) ∈ ℕ0)
14133ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐵) ∈ ℕ0)
1514nn0zd 12637 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑂𝐵) ∈ ℤ)
1612, 15gcdcld 16542 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℕ0)
1716nn0zd 12637 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ)
189, 17zmulcld 12726 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ)
1918adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ)
20 dvds0 16306 . . . 4 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ 0)
2119, 20syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ 0)
22 gcdeq0 16551 . . . . . 6 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0 ↔ ((𝑂𝐴) = 0 ∧ (𝑂𝐵) = 0)))
2312, 15, 22syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0 ↔ ((𝑂𝐴) = 0 ∧ (𝑂𝐵) = 0)))
2423biimpa 476 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂𝐴) = 0 ∧ (𝑂𝐵) = 0))
25 oveq12 7440 . . . . 5 (((𝑂𝐴) = 0 ∧ (𝑂𝐵) = 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) = (0 · 0))
26 0cn 11251 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
2726mul01i 11449 . . . . 5 (0 · 0) = 0
2825, 27eqtrdi 2791 . . . 4 (((𝑂𝐴) = 0 ∧ (𝑂𝐵) = 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) = 0)
2924, 28syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) = 0)
3021, 29breqtrrd 5176 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
31 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐺 ∈ Abel)
3217adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ)
3312adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
3415adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∈ ℤ)
35 gcddvds 16537 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵)))
3633, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵)))
3736simpld 494 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴))
3832, 33, 34, 37dvdsmultr1d 16331 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
39 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0)
4033, 34zmulcld 12726 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ)
41 dvdsval2 16290 . . . . . . . . 9 ((((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0 ∧ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
4232, 39, 40, 41syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ↔ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
4338, 42mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ)
44 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐴𝑋)
45 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐵𝑋)
46 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.g𝐺) = (.g𝐺)
472, 46, 3mulgdi 19859 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐴) + ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐵)))
4831, 43, 44, 45, 47syl13anc 1371 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐴) + ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐵)))
4936simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵))
50 dvdsval2 16290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0 ∧ (𝑂𝐵) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵) ↔ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
5132, 39, 34, 50syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐵) ↔ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
5249, 51mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ)
53 dvdsmul1 16312 . . . . . . . . . 10 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
5433, 52, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
5533zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
5634zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∈ ℂ)
5732zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℂ)
5855, 56, 57, 39divassd 12076 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = ((𝑂𝐴) · ((𝑂𝐵) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
5954, 58breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∥ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
6031, 1syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → 𝐺 ∈ Grp)
61 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
622, 6, 46, 61oddvds 19580 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)))
6360, 44, 43, 62syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) ∥ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)))
6459, 63mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺))
65 dvdsval2 16290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
6632, 39, 33, 65syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ))
6737, 66mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ)
68 dvdsmul1 16312 . . . . . . . . . 10 (((𝑂𝐵) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ) → (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂𝐵) · ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
6934, 67, 68syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∥ ((𝑂𝐵) · ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
7055, 56mulcomd 11280 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) = ((𝑂𝐵) · (𝑂𝐴)))
7170oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = (((𝑂𝐵) · (𝑂𝐴)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
7256, 55, 57, 39divassd 12076 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐵) · (𝑂𝐴)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = ((𝑂𝐵) · ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
7371, 72eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = ((𝑂𝐵) · ((𝑂𝐴) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
7469, 73breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂𝐵) ∥ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
752, 6, 46, 61oddvds 19580 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋 ∧ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐵) ∥ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺)))
7660, 45, 43, 75syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐵) ∥ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺)))
7774, 76mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐵) = (0g𝐺))
7864, 77oveq12d 7449 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐴) + ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)𝐵)) = ((0g𝐺) + (0g𝐺)))
792, 61grpidcl 18996 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
802, 3, 61grplid 18998 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋) → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
8160, 79, 80syl2anc2 585 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
8248, 78, 813eqtrd 2779 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺))
835adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
842, 6, 46, 61oddvds 19580 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺)))
8560, 83, 43, 84syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))(.g𝐺)(𝐴 + 𝐵)) = (0g𝐺)))
8682, 85mpbird 257 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
879adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ)
88 dvdsmulcr 16320 . . . . 5 (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∈ ℤ ∧ (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0)) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
8987, 43, 32, 39, 88syl112anc 1373 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → (((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ↔ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ (((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)))))
9086, 89mpbird 257 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))))
9140zcnd 12721 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℂ)
9291, 57, 39divcan1d 12042 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) / ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
9390, 92breqtrd 5174 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) ≠ 0) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
9430, 93pm2.61dane 3027 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153   · cmul 11158   / cdiv 11918  0cn0 12524  cz 12611  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  odcod 19557  Abelcabl 19814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816
This theorem is referenced by:  odadd  19883  torsubg  19887
  Copyright terms: Public domain W3C validator