MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odadd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odadd1 19810
Description: The order of a product in an abelian group divides the LCM of the orders of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odadd1.2 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odadd1.3 + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odadd1 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))

Proof of Theorem odadd1
StepHypRef Expression
1 ablgrp 19747 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2 odadd1.2 . . . . . . . . . 10 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 odadd1.3 . . . . . . . . . 10 + = (+gโ€˜๐บ)
42, 3grpcl 18905 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹)
51, 4syl3an1 1160 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹)
6 odadd1.1 . . . . . . . . 9 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
72, 6odcl 19498 . . . . . . . 8 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
98nn0zd 12622 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
102, 6odcl 19498 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
11103ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
1211nn0zd 12622 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
132, 6odcl 19498 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
14133ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
1514nn0zd 12622 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
1612, 15gcdcld 16490 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„•0)
1716nn0zd 12622 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
189, 17zmulcld 12710 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
1918adantr 479 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
20 dvds0 16256 . . . 4 (((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ 0)
2119, 20syl 17 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ 0)
22 gcdeq0 16499 . . . . . 6 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0 โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) = 0)))
2312, 15, 22syl2anc 582 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0 โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) = 0)))
2423biimpa 475 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) = 0))
25 oveq12 7435 . . . . 5 (((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) = (0 ยท 0))
26 0cn 11244 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„‚
2726mul01i 11442 . . . . 5 (0 ยท 0) = 0
2825, 27eqtrdi 2784 . . . 4 (((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0)
2924, 28syl 17 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0)
3021, 29breqtrrd 5180 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
31 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
3217adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
3312adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
3415adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
35 gcddvds 16485 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ต)))
3633, 34, 35syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ต)))
3736simpld 493 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด))
3832, 33, 34, 37dvdsmultr1d 16281 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
39 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0)
4033, 34zmulcld 12710 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
41 dvdsval2 16241 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0 โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ†” (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
4232, 39, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ†” (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
4338, 42mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
44 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
45 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‹)
46 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜๐บ)
472, 46, 3mulgdi 19788 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)(๐ด + ๐ต)) = (((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) + ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต)))
4831, 43, 44, 45, 47syl13anc 1369 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)(๐ด + ๐ต)) = (((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) + ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต)))
4936simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ต))
50 dvdsval2 16241 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ต) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
5132, 39, 34, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ต) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
5249, 51mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
53 dvdsmul1 16262 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
5433, 52, 53syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
5533zcnd 12705 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5634zcnd 12705 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
5732zcnd 12705 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
5855, 56, 57, 39divassd 12063 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
5954, 58breqtrrd 5180 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))))
6031, 1syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
61 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
622, 6, 46, 61oddvds 19509 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) = (0gโ€˜๐บ)))
6360, 44, 43, 62syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) = (0gโ€˜๐บ)))
6459, 63mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) = (0gโ€˜๐บ))
65 dvdsval2 16241 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
6632, 39, 33, 65syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
6737, 66mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
68 dvdsmul1 16262 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
6934, 67, 68syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
7055, 56mulcomd 11273 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) = ((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)))
7170oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = (((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))))
7256, 55, 57, 39divassd 12063 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = ((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
7371, 72eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = ((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
7469, 73breqtrrd 5180 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))))
752, 6, 46, 61oddvds 19509 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ต) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต) = (0gโ€˜๐บ)))
7660, 45, 43, 75syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ต) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต) = (0gโ€˜๐บ)))
7774, 76mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต) = (0gโ€˜๐บ))
7864, 77oveq12d 7444 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) + ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต)) = ((0gโ€˜๐บ) + (0gโ€˜๐บ)))
792, 61grpidcl 18929 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐‘‹)
802, 3, 61grplid 18931 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
8160, 79, 80syl2anc2 583 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
8248, 78, 813eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)(๐ด + ๐ต)) = (0gโ€˜๐บ))
835adantr 479 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹)
842, 6, 46, 61oddvds 19509 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹ โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)(๐ด + ๐ต)) = (0gโ€˜๐บ)))
8560, 83, 43, 84syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)(๐ด + ๐ต)) = (0gโ€˜๐บ)))
8682, 85mpbird 256 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))))
879adantr 479 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
88 dvdsmulcr 16270 . . . . 5 (((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0)) โ†’ (((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
8987, 43, 32, 39, 88syl112anc 1371 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
9086, 89mpbird 256 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))))
9140zcnd 12705 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9291, 57, 39divcan1d 12029 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
9390, 92breqtrd 5178 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
9430, 93pm2.61dane 3026 1 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146   ยท cmul 11151   / cdiv 11909  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596   โˆฅ cdvds 16238   gcd cgcd 16476  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  .gcmg 19030  odcod 19486  Abelcabl 19743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-od 19490  df-cmn 19744  df-abl 19745
This theorem is referenced by:  odadd  19812  torsubg  19816
  Copyright terms: Public domain W3C validator