MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odadd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odadd1 19766
Description: The order of a product in an abelian group divides the LCM of the orders of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odadd1.2 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odadd1.3 + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odadd1 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))

Proof of Theorem odadd1
StepHypRef Expression
1 ablgrp 19703 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2 odadd1.2 . . . . . . . . . 10 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 odadd1.3 . . . . . . . . . 10 + = (+gโ€˜๐บ)
42, 3grpcl 18869 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹)
51, 4syl3an1 1160 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹)
6 odadd1.1 . . . . . . . . 9 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
72, 6odcl 19454 . . . . . . . 8 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
98nn0zd 12585 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
102, 6odcl 19454 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
11103ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
1211nn0zd 12585 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
132, 6odcl 19454 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
14133ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
1514nn0zd 12585 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
1612, 15gcdcld 16454 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„•0)
1716nn0zd 12585 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
189, 17zmulcld 12673 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
1918adantr 480 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
20 dvds0 16220 . . . 4 (((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ 0)
2119, 20syl 17 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ 0)
22 gcdeq0 16463 . . . . . 6 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0 โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) = 0)))
2312, 15, 22syl2anc 583 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0 โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) = 0)))
2423biimpa 476 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) = 0))
25 oveq12 7413 . . . . 5 (((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) = (0 ยท 0))
26 0cn 11207 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„‚
2726mul01i 11405 . . . . 5 (0 ยท 0) = 0
2825, 27eqtrdi 2782 . . . 4 (((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0)
2924, 28syl 17 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0)
3021, 29breqtrrd 5169 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
31 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
3217adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
3312adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
3415adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
35 gcddvds 16449 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ต)))
3633, 34, 35syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ต)))
3736simpld 494 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด))
3832, 33, 34, 37dvdsmultr1d 16245 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
39 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0)
4033, 34zmulcld 12673 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค)
41 dvdsval2 16205 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0 โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ†” (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
4232, 39, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ†” (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
4338, 42mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
44 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
45 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‹)
46 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜๐บ)
472, 46, 3mulgdi 19744 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹)) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)(๐ด + ๐ต)) = (((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) + ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต)))
4831, 43, 44, 45, 47syl13anc 1369 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)(๐ด + ๐ต)) = (((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) + ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต)))
4936simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ต))
50 dvdsval2 16205 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ต) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
5132, 39, 34, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ต) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
5249, 51mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
53 dvdsmul1 16226 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
5433, 52, 53syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
5533zcnd 12668 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5634zcnd 12668 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
5732zcnd 12668 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
5855, 56, 57, 39divassd 12026 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ต) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
5954, 58breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))))
6031, 1syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
61 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
622, 6, 46, 61oddvds 19465 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) = (0gโ€˜๐บ)))
6360, 44, 43, 62syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) = (0gโ€˜๐บ)))
6459, 63mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) = (0gโ€˜๐บ))
65 dvdsval2 16205 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0 โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
6632, 39, 33, 65syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค))
6737, 66mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค)
68 dvdsmul1 16226 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‚โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
6934, 67, 68syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
7055, 56mulcomd 11236 . . . . . . . . . . 11 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) = ((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)))
7170oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = (((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))))
7256, 55, 57, 39divassd 12026 . . . . . . . . . 10 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท (๐‘‚โ€˜๐ด)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = ((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
7371, 72eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = ((๐‘‚โ€˜๐ต) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
7469, 73breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ต) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))))
752, 6, 46, 61oddvds 19465 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ต) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต) = (0gโ€˜๐บ)))
7660, 45, 43, 75syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ต) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต) = (0gโ€˜๐บ)))
7774, 76mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต) = (0gโ€˜๐บ))
7864, 77oveq12d 7422 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) + ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)๐ต)) = ((0gโ€˜๐บ) + (0gโ€˜๐บ)))
792, 61grpidcl 18893 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐‘‹)
802, 3, 61grplid 18895 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
8160, 79, 80syl2anc2 584 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
8248, 78, 813eqtrd 2770 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)(๐ด + ๐ต)) = (0gโ€˜๐บ))
835adantr 480 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹)
842, 6, 46, 61oddvds 19465 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ ๐‘‹ โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)(๐ด + ๐ต)) = (0gโ€˜๐บ)))
8560, 83, 43, 84syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))(.gโ€˜๐บ)(๐ด + ๐ต)) = (0gโ€˜๐บ)))
8682, 85mpbird 257 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))))
879adantr 480 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
88 dvdsmulcr 16234 . . . . 5 (((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0)) โ†’ (((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
8987, 43, 32, 39, 88syl112anc 1371 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ (((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โ†” (๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)))))
9086, 89mpbird 257 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))))
9140zcnd 12668 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9291, 57, 39divcan1d 11992 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)) / ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
9390, 92breqtrd 5167 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
9430, 93pm2.61dane 3023 1 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜(๐ด + ๐ต)) ยท ((๐‘‚โ€˜๐ด) gcd (๐‘‚โ€˜๐ต))) โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) ยท (๐‘‚โ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109   ยท cmul 11114   / cdiv 11872  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559   โˆฅ cdvds 16202   gcd cgcd 16440  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  .gcmg 18993  odcod 19442  Abelcabl 19699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-od 19446  df-cmn 19700  df-abl 19701
This theorem is referenced by:  odadd  19768  torsubg  19772
  Copyright terms: Public domain W3C validator