MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c0rnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c0rnghm 20552
Description: The constant mapping to zero is a non-unital ring homomorphism from any non-unital ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
c0rhm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0rhm.0 0 = (0g𝑇)
c0rhm.h 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
Assertion
Ref Expression
c0rnghm ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rnghm
StepHypRef Expression
1 ringssrng 20300 . . . . . 6 Ring ⊆ Rng
21a1i 11 . . . . 5 (𝑆 ∈ Rng → Ring ⊆ Rng)
32ssdifssd 4157 . . . 4 (𝑆 ∈ Rng → (Ring ∖ NzRing) ⊆ Rng)
43sseld 3994 . . 3 (𝑆 ∈ Rng → (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Rng))
54imdistani 568 . 2 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
6 rngabl 20173 . . . . 5 (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Abel)
7 ablgrp 19818 . . . . 5 (𝑆 ∈ Abel → 𝑆 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Grp)
9 eldifi 4141 . . . . 5 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
10 ringgrp 20256 . . . . 5 (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
12 c0rhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
13 c0rhm.0 . . . . 5 0 = (0g𝑇)
14 c0rhm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
1512, 13, 14c0ghm 20478 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
168, 11, 15syl2an 596 . . 3 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
18 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (1r𝑇) = (1r𝑇)
1917, 13, 180ring1eq0 20550 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r𝑇) = 0 )
2019eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r𝑇))
2120mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥𝐵0 ) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
2221adantl 481 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥𝐵0 ) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
2314, 22eqtrid 2787 . . . 4 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
24 eqid 2735 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
2524rngmgp 20174 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp)
26 sgrpmgm 18750 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
28 eqid 2735 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
2928ringmgp 20257 . . . . . 6 (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
309, 29syl 17 . . . . 5 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
3124, 12mgpbas 20158 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
3228, 18ringidval 20201 . . . . . 6 (1r𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
33 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇))
3431, 32, 33c0mgm 20476 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
3527, 30, 34syl2an 596 . . . 4 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
3623, 35eqeltrd 2839 . . 3 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
3716, 36jca 511 . 2 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))))
3824, 28isrnghmmul 20459 . 2 (𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))))
395, 37, 38sylanbrc 583 1 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  wss 3963  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Mgmcmgm 18664   MgmHom cmgmhm 18716  Smgrpcsgrp 18744  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243  Abelcabl 19814  mulGrpcmgp 20152  Rngcrng 20170  1rcur 20199  Ringcrg 20251   RngHom crnghm 20451  NzRingcnzr 20529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-mgmhm 18718  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-rnghm 20453  df-nzr 20530
This theorem is referenced by:  zrtermorngc  20660
  Copyright terms: Public domain W3C validator