Theorem c0rnghm 20444

Description: The constant mapping to zero is a non-unital ring homomorphism from any non-unital ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
c0rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0rhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
c0rhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )

Assertion

Ref	Expression
c0rnghm	⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringssrng 20195	. . . . . 6 ⊢ Ring ⊆ Rng
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → Ring ⊆ Rng)
3	2	ssdifssd 4110	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (Ring ∖ NzRing) ⊆ Rng)
4	3	sseld 3945	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Rng))
5	4	imdistani 568	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
6		rngabl 20064	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Abel)
7		ablgrp 19715	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Abel → 𝑆 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Grp)
9		eldifi 4094	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
10		ringgrp 20147	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
12		c0rhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		c0rhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
14		c0rhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
15	12, 13, 14	c0ghm 20370	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
16	8, 11, 15	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
18		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
19	17, 13, 18	0ring1eq0 20442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑇) = 0 )
20	19	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r‘𝑇))
21	20	mpteq2dv 5201	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
23	14, 22	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
24		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
25	24	rngmgp 20065	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp)
26		sgrpmgm 18651	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
28		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
29	28	ringmgp 20148	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
30	9, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
31	24, 12	mgpbas 20054	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
32	28, 18	ringidval 20092	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
33		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇))
34	31, 32, 33	c0mgm 20368	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
35	27, 30, 34	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
36	23, 35	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
37	16, 36	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))))
38	24, 28	isrnghmmul 20351	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))))
39	5, 37, 38	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Mgmcmgm 18565   MgmHom cmgmhm 18617  Smgrpcsgrp 18645  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18865   GrpHom cghm 19144  Abelcabl 19711  mulGrpcmgp 20049  Rngcrng 20061  1_rcur 20090  Ringcrg 20142   RngHom crnghm 20343  NzRingcnzr 20421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-mgmhm 18619  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-ghm 19145  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-rnghm 20345  df-nzr 20422

This theorem is referenced by:  zrtermorngc  20552