Theorem c0rnghm 20698

Description: The constant mapping to zero is a non-unital ring homomorphism from any non-unital ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
c0rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0rhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
c0rhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )

Assertion

Ref	Expression
c0rnghm	⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringssrng 20428	. . . . . 6 ⊢ Ring ⊆ Rng
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → Ring ⊆ Rng)
3	2	ssdifssd 4094	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (Ring ∖ NzRing) ⊆ Rng)
4	3	sseld 3930	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Rng))
5	4	imdistani 579	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
6		rngabl 20291	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Abel)
7		ablgrp 19913	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Abel → 𝑆 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Grp)
9		eldifi 4078	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
10		ringgrp 20378	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
12		c0rhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		c0rhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
14		c0rhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
15	12, 13, 14	c0ghm 20603	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
16	8, 11, 15	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
18		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
19	17, 13, 18	0ring1eq0 20696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑇) = 0 )
20	19	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r‘𝑇))
21	20	mpteq2dv 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
22	21	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
23	14, 22	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
24		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
25	24	rngmgp 20292	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp)
26		sgrpmgm 18827	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
28		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
29	28	ringmgp 20379	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
30	9, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
31	24, 12	mgpbas 20279	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
32	28, 18	ringidval 20323	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
33		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇))
34	31, 32, 33	c0mgm 20601	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
35	27, 30, 34	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
36	23, 35	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
37	16, 36	jca 521	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))))
38	24, 28	isrnghmmul 20584	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))))
39	5, 37, 38	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  0_gc0g 17525  Mgmcmgm 18729   MgmHom cmgmhm 18793  Smgrpcsgrp 18821  Mndcmnd 18837  Grpcgrp 19058   GrpHom cghm 19341  Abelcabl 19909  mulGrpcmgp 20274  Rngcrng 20288  1_rcur 20321  Ringcrg 20373   RngHom crnghm 20576  NzRingcnzr 20673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9907  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-hash 14396  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-mgmhm 18795  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-ghm 19342  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-rnghm 20578  df-nzr 20674

This theorem is used by:  zrtermorngc  20806