Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  c0rnghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c0rnghm 44112
Description: The constant mapping to zero is a nonunital ring homomorphism from any nonunital ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
c0mhm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0mhm.0 0 = (0g𝑇)
c0mhm.h 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
Assertion
Ref Expression
c0rnghm ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rnghm
StepHypRef Expression
1 ringssrng 44079 . . . . . 6 Ring ⊆ Rng
21a1i 11 . . . . 5 (𝑆 ∈ Rng → Ring ⊆ Rng)
32ssdifssd 4116 . . . 4 (𝑆 ∈ Rng → (Ring ∖ NzRing) ⊆ Rng)
43sseld 3963 . . 3 (𝑆 ∈ Rng → (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Rng))
54imdistani 569 . 2 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
6 rngabl 44076 . . . . 5 (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Abel)
7 ablgrp 18840 . . . . 5 (𝑆 ∈ Abel → 𝑆 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Grp)
9 eldifi 4100 . . . . 5 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
10 ringgrp 19231 . . . . 5 (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
12 c0mhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
13 c0mhm.0 . . . . 5 0 = (0g𝑇)
14 c0mhm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
1512, 13, 14c0ghm 44110 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
168, 11, 15syl2an 595 . . 3 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
18 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (1r𝑇) = (1r𝑇)
1917, 13, 180ring1eq0 44071 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r𝑇) = 0 )
2019eqcomd 2824 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r𝑇))
2120mpteq2dv 5153 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥𝐵0 ) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
2221adantl 482 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥𝐵0 ) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
2314, 22syl5eq 2865 . . . 4 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
24 eqid 2818 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
2524rngmgp 44077 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp)
26 sgrpmgm 17894 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
2725, 26syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
28 eqid 2818 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
2928ringmgp 19232 . . . . . 6 (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
309, 29syl 17 . . . . 5 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
3124, 12mgpbas 19174 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
3228, 18ringidval 19182 . . . . . 6 (1r𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
33 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇))
3431, 32, 33c0mgm 44108 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
3527, 30, 34syl2an 595 . . . 4 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
3623, 35eqeltrd 2910 . . 3 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
3716, 36jca 512 . 2 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))))
3824, 28isrnghmmul 44092 . 2 (𝐻 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))))
395, 37, 38sylanbrc 583 1 ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  wss 3933  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  0gc0g 16701  Mgmcmgm 17838  Smgrpcsgrp 17888  Mndcmnd 17899  Grpcgrp 18041   GrpHom cghm 18293  Abelcabl 18836  mulGrpcmgp 19168  1rcur 19180  Ringcrg 19226  NzRingcnzr 19958   MgmHom cmgmhm 43921  Rngcrng 44073   RngHomo crngh 44084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-ghm 18294  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-nzr 19959  df-mgmhm 43923  df-rng0 44074  df-rnghomo 44086
This theorem is referenced by:  zrtermorngc  44200
  Copyright terms: Public domain W3C validator