Theorem c0rnghm 45359

Description: The constant mapping to zero is a nonunital ring homomorphism from any nonunital ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
c0mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0mhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
c0mhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )

Assertion

Ref	Expression
c0rnghm	⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringssrng 45326	. . . . . 6 ⊢ Ring ⊆ Rng
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → Ring ⊆ Rng)
3	2	ssdifssd 4073	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (Ring ∖ NzRing) ⊆ Rng)
4	3	sseld 3916	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Rng))
5	4	imdistani 568	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
6		rngabl 45323	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Abel)
7		ablgrp 19306	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Abel → 𝑆 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Grp)
9		eldifi 4057	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
10		ringgrp 19703	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
12		c0mhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		c0mhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
14		c0mhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
15	12, 13, 14	c0ghm 45357	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
16	8, 11, 15	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
18		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
19	17, 13, 18	0ring1eq0 45318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑇) = 0 )
20	19	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r‘𝑇))
21	20	mpteq2dv 5172	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
23	14, 22	syl5eq 2791	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
24		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
25	24	rngmgp 45324	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp)
26		sgrpmgm 18295	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
28		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
29	28	ringmgp 19704	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
30	9, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
31	24, 12	mgpbas 19641	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
32	28, 18	ringidval 19654	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
33		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇))
34	31, 32, 33	c0mgm 45355	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
35	27, 30, 34	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
36	23, 35	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
37	16, 36	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))))
38	24, 28	isrnghmmul 45339	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))))
39	5, 37, 38	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Mgmcmgm 18239  Smgrpcsgrp 18289  Mndcmnd 18300  Grpcgrp 18492   GrpHom cghm 18746  Abelcabl 19302  mulGrpcmgp 19635  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  NzRingcnzr 20441   MgmHom cmgmhm 45219  Rngcrng 45320   RngHomo crngh 45331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-ghm 18747  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-nzr 20442  df-mgmhm 45221  df-rng0 45321  df-rnghomo 45333

This theorem is referenced by:  zrtermorngc  45447