Theorem c0rnghm 20787

Description: The constant mapping to zero is a non-unital ring homomorphism from any non-unital ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
c0rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0rhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
c0rhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )

Assertion

Ref	Expression
c0rnghm	⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringssrng 20515	. . . . . 6 ⊢ Ring ⊆ Rng
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → Ring ⊆ Rng)
3	2	ssdifssd 4094	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (Ring ∖ NzRing) ⊆ Rng)
4	3	sseld 3930	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Rng))
5	4	imdistani 579	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
6		rngabl 20377	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Abel)
7		ablgrp 19999	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Abel → 𝑆 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Grp)
9		eldifi 4078	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
10		ringgrp 20464	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
12		c0rhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		c0rhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
14		c0rhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
15	12, 13, 14	c0ghm 20691	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
16	8, 11, 15	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
18		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
19	17, 13, 18	0ring1eq0 20785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑇) = 0 )
20	19	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r‘𝑇))
21	20	mpteq2dv 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
22	21	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
23	14, 22	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
24		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
25	24	rngmgp 20378	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp)
26		sgrpmgm 18913	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
28		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
29	28	ringmgp 20465	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
30	9, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
31	24, 12	mgpbas 20365	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
32	28, 18	ringidval 20409	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
33		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇))
34	31, 32, 33	c0mgm 20689	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
35	27, 30, 34	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
36	23, 35	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
37	16, 36	jca 521	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))))
38	24, 28	isrnghmmul 20672	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))))
39	5, 37, 38	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  Mgmcmgm 18814   MgmHom cmgmhm 18879  Smgrpcsgrp 18907  Mndcmnd 18923  Grpcgrp 19144   GrpHom cghm 19427  Abelcabl 19995  mulGrpcmgp 20360  Rngcrng 20374  1_rcur 20407  Ringcrg 20459   RngHom crnghm 20664  NzRingcnzr 20762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-mgmhm 18881  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-ghm 19428  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-rnghm 20666  df-nzr 20763

This theorem is used by:  zrtermorngc  20895