Theorem c0rnghm 20466

Description: The constant mapping to zero is a non-unital ring homomorphism from any non-unital ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
c0rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0rhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
c0rhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )

Assertion

Ref	Expression
c0rnghm	⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rnghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringssrng 20219	. . . . . 6 ⊢ Ring ⊆ Rng
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → Ring ⊆ Rng)
3	2	ssdifssd 4097	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (Ring ∖ NzRing) ⊆ Rng)
4	3	sseld 3930	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Rng))
5	4	imdistani 568	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng))
6		rngabl 20088	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Abel)
7		ablgrp 19712	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Abel → 𝑆 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → 𝑆 ∈ Grp)
9		eldifi 4081	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
10		ringgrp 20171	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
12		c0rhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		c0rhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
14		c0rhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
15	12, 13, 14	c0ghm 20395	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
16	8, 11, 15	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
18		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
19	17, 13, 18	0ring1eq0 20464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑇) = 0 )
20	19	eqcomd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r‘𝑇))
21	20	mpteq2dv 5190	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
23	14, 22	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
24		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
25	24	rngmgp 20089	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp)
26		sgrpmgm 18647	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑆) ∈ Smgrp → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm)
28		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
29	28	ringmgp 20172	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
30	9, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
31	24, 12	mgpbas 20078	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
32	28, 18	ringidval 20116	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
33		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇))
34	31, 32, 33	c0mgm 20393	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
35	27, 30, 34	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
36	23, 35	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))
37	16, 36	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇))))
38	24, 28	isrnghmmul 20376	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ Rng) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑇)))))
39	5, 37, 38	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RngHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  0_gc0g 17357  Mgmcmgm 18561   MgmHom cmgmhm 18613  Smgrpcsgrp 18641  Mndcmnd 18657  Grpcgrp 18861   GrpHom cghm 19139  Abelcabl 19708  mulGrpcmgp 20073  Rngcrng 20085  1_rcur 20114  Ringcrg 20166   RngHom crnghm 20368  NzRingcnzr 20443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-mgmhm 18615  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-ghm 19140  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-rnghm 20370  df-nzr 20444

This theorem is referenced by:  zrtermorngc  20574