MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrhash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrhash 25564
Description: There are exactly ϕ(𝑁) Dirichlet characters modulo 𝑁. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sumdchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrhash (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem dchrhash
Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
31, 2znfi 20423 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)
4 sumdchr.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 sumdchr.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
64, 5dchrfi 25548 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
7 simprr 761 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑥𝐷)) → 𝑥𝐷)
84, 1, 5, 2, 7dchrf 25535 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑥𝐷)) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9 simprl 759 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑥𝐷)) → 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
108, 9ffvelrnd 6675 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑥𝐷)) → (𝑥𝑎) ∈ ℂ)
113, 6, 10fsumcom 14988 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))Σ𝑥𝐷 (𝑥𝑎) = Σ𝑥𝐷 Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑥𝑎))
12 eqid 2771 . . . . . . 7 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
13 simpl 475 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
14 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
154, 5, 1, 12, 2, 13, 14sumdchr2 25563 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝑎) = if(𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (♯‘𝐷), 0))
16 velsn 4451 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} ↔ 𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
17 ifbi 4365 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} ↔ 𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0) = if(𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (♯‘𝐷), 0))
1816, 17mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0) = if(𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (♯‘𝐷), 0))
1915, 18eqtr4d 2810 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝑎) = if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0))
2019sumeq2dv 14918 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))Σ𝑥𝐷 (𝑥𝑎) = Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0))
21 eqid 2771 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
22 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
234, 1, 5, 21, 22, 2dchrsum 25562 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑥𝑎) = if(𝑥 = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
24 velsn 4451 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
25 ifbi 4365 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺)) → if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑥 = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐷) → if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑥 = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
2723, 26eqtr4d 2810 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑥𝑎) = if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0))
2827sumeq2dv 14918 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥𝐷 Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑥𝑎) = Σ𝑥𝐷 if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0))
2911, 20, 283eqtr3d 2815 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0) = Σ𝑥𝐷 if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0))
30 nnnn0 11713 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
311zncrng 20408 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
32 crngring 19043 . . . . . 6 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
332, 12ringidcl 19053 . . . . . 6 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
3534snssd 4612 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
36 hashcl 13530 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
37 nn0cn 11716 . . . . . 6 ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐷) ∈ ℂ)
386, 36, 373syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐷) ∈ ℂ)
3938ralrimivw 3126 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) ∈ ℂ)
403olcd 861 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin))
41 sumss2 14941 . . . 4 ((({(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ ∀𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) ∈ ℂ) ∧ ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)) → Σ𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) = Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0))
4235, 39, 40, 41syl21anc 826 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) = Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0))
434dchrabl 25547 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
44 ablgrp 18683 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
455, 21grpidcl 17931 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
4643, 44, 453syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
4746snssd 4612 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐷)
48 phicl 15960 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
4948nncnd 11455 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
5049ralrimivw 3126 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
516olcd 861 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐷 ∈ Fin))
52 sumss2 14941 . . . 4 ((({(0g𝐺)} ⊆ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐷 ∈ Fin)) → Σ𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) = Σ𝑥𝐷 if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0))
5347, 50, 51, 52syl21anc 826 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) = Σ𝑥𝐷 if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0))
5429, 42, 533eqtr4d 2817 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) = Σ𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁))
55 eqidd 2772 . . . 4 (𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → (♯‘𝐷) = (♯‘𝐷))
5655sumsn 14959 . . 3 (((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) = (♯‘𝐷))
5734, 38, 56syl2anc 576 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) = (♯‘𝐷))
58 eqidd 2772 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → (ϕ‘𝑁) = (ϕ‘𝑁))
5958sumsn 14959 . . 3 (((0g𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) = (ϕ‘𝑁))
6046, 49, 59syl2anc 576 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) = (ϕ‘𝑁))
6154, 57, 603eqtr3d 2815 1 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 834   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3081  wss 3822  ifcif 4344  {csn 4435  cfv 6185  Fincfn 8304  cc 10331  0cc0 10333  cn 11437  0cn0 11705  cuz 12056  chash 13503  Σcsu 14901  ϕcphi 15955  Basecbs 16337  0gc0g 16567  Grpcgrp 17903  Abelcabl 18679  1rcur 18986  Ringcrg 19032  CRingccrg 19033  ℤ/nczn 20367  DChrcdchr 25525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-disj 4894  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-rpss 7265  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-tpos 7693  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-omul 7908  df-er 8087  df-ec 8089  df-qs 8093  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-dju 9122  df-card 9160  df-acn 9163  df-cda 9386  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ioo 12556  df-ioc 12557  df-ico 12558  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-fac 13447  df-bc 13476  df-hash 13504  df-word 13671  df-concat 13732  df-s1 13757  df-shft 14285  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-limsup 14687  df-clim 14704  df-rlim 14705  df-sum 14902  df-ef 15279  df-sin 15281  df-cos 15282  df-pi 15284  df-dvds 15466  df-gcd 15702  df-prm 15870  df-phi 15957  df-pc 16028  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-pt 16572  df-prds 16575  df-xrs 16629  df-qtop 16634  df-imas 16635  df-qus 16636  df-xps 16637  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-mulg 18024  df-subg 18072  df-nsg 18073  df-eqg 18074  df-ghm 18139  df-gim 18182  df-ga 18203  df-cntz 18230  df-oppg 18257  df-od 18430  df-gex 18431  df-pgp 18432  df-lsm 18534  df-pj1 18535  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-cyg 18765  df-dprd 18879  df-dpj 18880  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-cring 19035  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-rnghom 19202  df-subrg 19268  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-sra 19678  df-rgmod 19679  df-lidl 19680  df-rsp 19681  df-2idl 19738  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-cnfld 20263  df-zring 20335  df-zrh 20368  df-zn 20371  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-cls 21348  df-nei 21425  df-lp 21463  df-perf 21464  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-haus 21642  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-fil 22173  df-fm 22265  df-flim 22266  df-flf 22267  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-cncf 23204  df-0p 23989  df-limc 24182  df-dv 24183  df-ply 24496  df-idp 24497  df-coe 24498  df-dgr 24499  df-quot 24598  df-log 24856  df-cxp 24857  df-dchr 25526
This theorem is referenced by:  sumdchr  25565
  Copyright terms: Public domain W3C validator