MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrhash Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrhash 27220
Description: There are exactly Ο•(𝑁) Dirichlet characters modulo 𝑁. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
sumdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dchrhash (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) = (Ο•β€˜π‘))
Proof of Theorem dchrhash
Dummy variables π‘₯ π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . 6 (β„€/nβ„€β€˜π‘) = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
31, 2znfi 21495 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin)
4 sumdchr.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 sumdchr.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
64, 5dchrfi 27204 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐷 ∈ Fin)
7 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
84, 1, 5, 2, 7dchrf 27191 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
9 simprl 769 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
108, 9ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
113, 6, 10fsumcom 15751 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž))
12 eqid 2725 . . . . . . 7 (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
13 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
14 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
154, 5, 1, 12, 2, 13, 14sumdchr2 27219 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
16 velsn 4638 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} ↔ π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
17 ifbi 4544 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} ↔ π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
1816, 17mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
1915, 18eqtr4d 2768 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
2019sumeq2dv 15679 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
21 eqid 2725 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
22 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
234, 1, 5, 21, 22, 2dchrsum 27218 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
24 velsn 4638 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
25 ifbi 4544 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ)) β†’ if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
2723, 26eqtr4d 2768 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
2827sumeq2dv 15679 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
2911, 20, 283eqtr3d 2773 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
30 nnnn0 12507 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
311zncrng 21480 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing)
32 crngring 20187 . . . . . 6 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring)
332, 12ringidcl 20204 . . . . . 6 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
3534snssd 4806 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} βŠ† (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
36 hashcl 14345 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„•0)
37 nn0cn 12510 . . . . . 6 ((β™―β€˜π·) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
386, 36, 373syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
3938ralrimivw 3140 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
403olcd 872 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin))
41 sumss2 15702 . . . 4 ((({(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} βŠ† (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) ∈ β„‚) ∧ ((Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
4235, 39, 40, 41syl21anc 836 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
434dchrabl 27203 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
44 ablgrp 19742 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
455, 21grpidcl 18924 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
4643, 44, 453syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
4746snssd 4806 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐷)
48 phicl 16735 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
4948nncnd 12256 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
5049ralrimivw 3140 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
516olcd 872 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝐷 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ 𝐷 ∈ Fin))
52 sumss2 15702 . . . 4 ((({(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) ∧ (𝐷 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ 𝐷 ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
5347, 50, 51, 52syl21anc 836 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
5429, 42, 533eqtr4d 2775 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘))
55 eqidd 2726 . . . 4 (π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β†’ (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
5655sumsn 15722 . . 3 (((1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
5734, 38, 56syl2anc 582 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
58 eqidd 2726 . . . 4 (π‘₯ = (0gβ€˜πΊ) β†’ (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
5958sumsn 15722 . . 3 (((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷 ∧ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
6046, 49, 59syl2anc 582 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
6154, 57, 603eqtr3d 2773 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) = (Ο•β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3939  ifcif 4522  {csn 4622  β€˜cfv 6541  Fincfn 8960  β„‚cc 11134  0cc0 11136  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  β„€β‰₯cuz 12850  β™―chash 14319  Ξ£csu 15662  Ο•cphi 16730  Basecbs 17177  0gc0g 17418  Grpcgrp 18892  Abelcabl 19738  1rcur 20123  Ringcrg 20175  CRingccrg 20176  β„€/nβ„€czn 21430  DChrcdchr 27181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-rpss 7724  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-word 14495  df-concat 14551  df-s1 14576  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-prm 16640  df-phi 16732  df-pc 16803  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-qus 17488  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-nsg 19081  df-eqg 19082  df-ghm 19170  df-gim 19215  df-ga 19243  df-cntz 19270  df-oppg 19299  df-od 19485  df-gex 19486  df-pgp 19487  df-lsm 19593  df-pj1 19594  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-cyg 19835  df-dprd 19954  df-dpj 19955  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106  df-rsp 21107  df-2idl 21146  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-zring 21375  df-zrh 21431  df-zn 21434  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-0p 25615  df-limc 25811  df-dv 25812  df-ply 26138  df-idp 26139  df-coe 26140  df-dgr 26141  df-quot 26242  df-log 26506  df-cxp 26507  df-dchr 27182
This theorem is referenced by:  sumdchr  27221
  Copyright terms: Public domain W3C validator