MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrhash Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrhash 27159
Description: There are exactly Ο•(𝑁) Dirichlet characters modulo 𝑁. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
sumdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dchrhash (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) = (Ο•β€˜π‘))
Proof of Theorem dchrhash
Dummy variables π‘₯ π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . 6 (β„€/nβ„€β€˜π‘) = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
31, 2znfi 21454 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin)
4 sumdchr.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 sumdchr.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
64, 5dchrfi 27143 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐷 ∈ Fin)
7 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
84, 1, 5, 2, 7dchrf 27130 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
9 simprl 768 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
108, 9ffvelcdmd 7081 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
113, 6, 10fsumcom 15727 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž))
12 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
13 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
14 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
154, 5, 1, 12, 2, 13, 14sumdchr2 27158 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
16 velsn 4639 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} ↔ π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
17 ifbi 4545 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} ↔ π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
1816, 17mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
1915, 18eqtr4d 2769 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
2019sumeq2dv 15655 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
21 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
22 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
234, 1, 5, 21, 22, 2dchrsum 27157 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
24 velsn 4639 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
25 ifbi 4545 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ)) β†’ if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
2723, 26eqtr4d 2769 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
2827sumeq2dv 15655 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
2911, 20, 283eqtr3d 2774 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
30 nnnn0 12483 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
311zncrng 21439 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing)
32 crngring 20150 . . . . . 6 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring)
332, 12ringidcl 20165 . . . . . 6 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
3534snssd 4807 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} βŠ† (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
36 hashcl 14321 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„•0)
37 nn0cn 12486 . . . . . 6 ((β™―β€˜π·) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
386, 36, 373syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
3938ralrimivw 3144 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
403olcd 871 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin))
41 sumss2 15678 . . . 4 ((({(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} βŠ† (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) ∈ β„‚) ∧ ((Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
4235, 39, 40, 41syl21anc 835 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
434dchrabl 27142 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
44 ablgrp 19705 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
455, 21grpidcl 18895 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
4643, 44, 453syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
4746snssd 4807 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐷)
48 phicl 16711 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
4948nncnd 12232 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
5049ralrimivw 3144 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
516olcd 871 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝐷 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ 𝐷 ∈ Fin))
52 sumss2 15678 . . . 4 ((({(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) ∧ (𝐷 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ 𝐷 ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
5347, 50, 51, 52syl21anc 835 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
5429, 42, 533eqtr4d 2776 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘))
55 eqidd 2727 . . . 4 (π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β†’ (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
5655sumsn 15698 . . 3 (((1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
5734, 38, 56syl2anc 583 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
58 eqidd 2727 . . . 4 (π‘₯ = (0gβ€˜πΊ) β†’ (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
5958sumsn 15698 . . 3 (((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷 ∧ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
6046, 49, 59syl2anc 583 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
6154, 57, 603eqtr3d 2774 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) = (Ο•β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623  β€˜cfv 6537  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  β™―chash 14295  Ξ£csu 15638  Ο•cphi 16706  Basecbs 17153  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  Abelcabl 19701  1rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  β„€/nβ„€czn 21389  DChrcdchr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-rpss 7710  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16708  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-ga 19206  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-od 19448  df-gex 19449  df-pgp 19450  df-lsm 19556  df-pj1 19557  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-cyg 19798  df-dprd 19917  df-dpj 19918  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751  df-ply 26077  df-idp 26078  df-coe 26079  df-dgr 26080  df-quot 26181  df-log 26445  df-cxp 26446  df-dchr 27121
This theorem is referenced by:  sumdchr  27160
  Copyright terms: Public domain W3C validator