MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrhash Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrhash 26763
Description: There are exactly Ο•(𝑁) Dirichlet characters modulo 𝑁. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
sumdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dchrhash (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) = (Ο•β€˜π‘))
Proof of Theorem dchrhash
Dummy variables π‘₯ π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . 6 (β„€/nβ„€β€˜π‘) = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
31, 2znfi 21106 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin)
4 sumdchr.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 sumdchr.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
64, 5dchrfi 26747 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐷 ∈ Fin)
7 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
84, 1, 5, 2, 7dchrf 26734 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
9 simprl 769 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
108, 9ffvelcdmd 7084 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
113, 6, 10fsumcom 15717 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž))
12 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
13 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
14 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
154, 5, 1, 12, 2, 13, 14sumdchr2 26762 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
16 velsn 4643 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} ↔ π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
17 ifbi 4549 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} ↔ π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
1816, 17mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
1915, 18eqtr4d 2775 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
2019sumeq2dv 15645 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
21 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
22 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
234, 1, 5, 21, 22, 2dchrsum 26761 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
24 velsn 4643 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
25 ifbi 4549 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ)) β†’ if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
2723, 26eqtr4d 2775 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
2827sumeq2dv 15645 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
2911, 20, 283eqtr3d 2780 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
30 nnnn0 12475 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
311zncrng 21091 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing)
32 crngring 20061 . . . . . 6 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring)
332, 12ringidcl 20076 . . . . . 6 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
3534snssd 4811 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} βŠ† (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
36 hashcl 14312 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„•0)
37 nn0cn 12478 . . . . . 6 ((β™―β€˜π·) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
386, 36, 373syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
3938ralrimivw 3150 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
403olcd 872 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin))
41 sumss2 15668 . . . 4 ((({(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} βŠ† (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) ∈ β„‚) ∧ ((Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
4235, 39, 40, 41syl21anc 836 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
434dchrabl 26746 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
44 ablgrp 19647 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
455, 21grpidcl 18846 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
4643, 44, 453syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
4746snssd 4811 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐷)
48 phicl 16698 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
4948nncnd 12224 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
5049ralrimivw 3150 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
516olcd 872 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝐷 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ 𝐷 ∈ Fin))
52 sumss2 15668 . . . 4 ((({(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) ∧ (𝐷 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ 𝐷 ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
5347, 50, 51, 52syl21anc 836 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
5429, 42, 533eqtr4d 2782 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘))
55 eqidd 2733 . . . 4 (π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β†’ (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
5655sumsn 15688 . . 3 (((1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
5734, 38, 56syl2anc 584 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
58 eqidd 2733 . . . 4 (π‘₯ = (0gβ€˜πΊ) β†’ (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
5958sumsn 15688 . . 3 (((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷 ∧ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
6046, 49, 59syl2anc 584 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
6154, 57, 603eqtr3d 2780 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) = (Ο•β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627  β€˜cfv 6540  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  0cc0 11106  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€β‰₯cuz 12818  β™―chash 14286  Ξ£csu 15628  Ο•cphi 16693  Basecbs 17140  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  Abelcabl 19643  1rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  β„€/nβ„€czn 21043  DChrcdchr 26724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-rpss 7709  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-phi 16695  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-ga 19148  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-od 19390  df-gex 19391  df-pgp 19392  df-lsm 19498  df-pj1 19499  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-cyg 19740  df-dprd 19859  df-dpj 19860  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-0p 25178  df-limc 25374  df-dv 25375  df-ply 25693  df-idp 25694  df-coe 25695  df-dgr 25696  df-quot 25795  df-log 26056  df-cxp 26057  df-dchr 26725
This theorem is referenced by:  sumdchr  26764
  Copyright terms: Public domain W3C validator