MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrhash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrhash 26635
Description: There are exactly Ο•(𝑁) Dirichlet characters modulo 𝑁. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
sumdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dchrhash (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) = (Ο•β€˜π‘))

Proof of Theorem dchrhash
Dummy variables π‘₯ π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (β„€/nβ„€β€˜π‘) = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
31, 2znfi 20982 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin)
4 sumdchr.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 sumdchr.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
64, 5dchrfi 26619 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐷 ∈ Fin)
7 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
84, 1, 5, 2, 7dchrf 26606 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘₯:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
9 simprl 770 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
108, 9ffvelcdmd 7041 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷)) β†’ (π‘₯β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
113, 6, 10fsumcom 15667 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž))
12 eqid 2737 . . . . . . 7 (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
13 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
14 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
154, 5, 1, 12, 2, 13, 14sumdchr2 26634 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
16 velsn 4607 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} ↔ π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
17 ifbi 4513 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} ↔ π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
1816, 17mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = if(π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (β™―β€˜π·), 0))
1915, 18eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
2019sumeq2dv 15595 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 (π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
21 eqid 2737 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
22 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
234, 1, 5, 21, 22, 2dchrsum 26633 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
24 velsn 4607 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ))
25 ifbi 4513 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} ↔ π‘₯ = (0gβ€˜πΊ)) β†’ if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0) = if(π‘₯ = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
2723, 26eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
2827sumeq2dv 15595 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))(π‘₯β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
2911, 20, 283eqtr3d 2785 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
30 nnnn0 12427 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
311zncrng 20967 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing)
32 crngring 19983 . . . . . 6 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ CRing β†’ (β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring)
332, 12ringidcl 19996 . . . . . 6 ((β„€/nβ„€β€˜π‘) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
3534snssd 4774 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} βŠ† (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
36 hashcl 14263 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„•0)
37 nn0cn 12430 . . . . . 6 ((β™―β€˜π·) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
386, 36, 373syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
3938ralrimivw 3148 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) ∈ β„‚)
403olcd 873 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin))
41 sumss2 15618 . . . 4 ((({(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} βŠ† (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) ∈ β„‚) ∧ ((Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
4235, 39, 40, 41syl21anc 837 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))if(π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))}, (β™―β€˜π·), 0))
434dchrabl 26618 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
44 ablgrp 19574 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
455, 21grpidcl 18785 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
4643, 44, 453syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷)
4746snssd 4774 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐷)
48 phicl 16648 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
4948nncnd 12176 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
5049ralrimivw 3148 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
516olcd 873 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝐷 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ 𝐷 ∈ Fin))
52 sumss2 15618 . . . 4 ((({(0gβ€˜πΊ)} βŠ† 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) ∧ (𝐷 βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ 𝐷 ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
5347, 50, 51, 52syl21anc 837 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝐷 if(π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)}, (Ο•β€˜π‘), 0))
5429, 42, 533eqtr4d 2787 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘))
55 eqidd 2738 . . . 4 (π‘Ž = (1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β†’ (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
5655sumsn 15638 . . 3 (((1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∧ (β™―β€˜π·) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
5734, 38, 56syl2anc 585 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘Ž ∈ {(1rβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))} (β™―β€˜π·) = (β™―β€˜π·))
58 eqidd 2738 . . . 4 (π‘₯ = (0gβ€˜πΊ) β†’ (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
5958sumsn 15638 . . 3 (((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐷 ∧ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
6046, 49, 59syl2anc 585 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘₯ ∈ {(0gβ€˜πΊ)} (Ο•β€˜π‘) = (Ο•β€˜π‘))
6154, 57, 603eqtr3d 2785 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π·) = (Ο•β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {csn 4591  β€˜cfv 6501  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  0cc0 11058  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€β‰₯cuz 12770  β™―chash 14237  Ξ£csu 15577  Ο•cphi 16643  Basecbs 17090  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755  Abelcabl 19570  1rcur 19920  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-rpss 7665  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-ga 19077  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-od 19317  df-gex 19318  df-pgp 19319  df-lsm 19425  df-pj1 19426  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-cyg 19662  df-dprd 19781  df-dpj 19782  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ply 25565  df-idp 25566  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-quot 25667  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  sumdchr  26636
  Copyright terms: Public domain W3C validator