MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrhash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrhash 27330
Description: There are exactly ϕ(𝑁) Dirichlet characters modulo 𝑁. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sumdchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrhash (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem dchrhash
Dummy variables 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
31, 2znfi 21596 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)
4 sumdchr.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 sumdchr.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
64, 5dchrfi 27314 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
7 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑥𝐷)) → 𝑥𝐷)
84, 1, 5, 2, 7dchrf 27301 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑥𝐷)) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
9 simprl 771 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑥𝐷)) → 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
108, 9ffvelcdmd 7105 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ 𝑥𝐷)) → (𝑥𝑎) ∈ ℂ)
113, 6, 10fsumcom 15808 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))Σ𝑥𝐷 (𝑥𝑎) = Σ𝑥𝐷 Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑥𝑎))
12 eqid 2735 . . . . . . 7 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
13 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
14 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
154, 5, 1, 12, 2, 13, 14sumdchr2 27329 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝑎) = if(𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (♯‘𝐷), 0))
16 velsn 4647 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} ↔ 𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
17 ifbi 4553 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} ↔ 𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0) = if(𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (♯‘𝐷), 0))
1816, 17mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0) = if(𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (♯‘𝐷), 0))
1915, 18eqtr4d 2778 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → Σ𝑥𝐷 (𝑥𝑎) = if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0))
2019sumeq2dv 15735 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))Σ𝑥𝐷 (𝑥𝑎) = Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0))
21 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
22 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
234, 1, 5, 21, 22, 2dchrsum 27328 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑥𝑎) = if(𝑥 = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
24 velsn 4647 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺))
25 ifbi 4553 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {(0g𝐺)} ↔ 𝑥 = (0g𝐺)) → if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑥 = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐷) → if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑥 = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
2723, 26eqtr4d 2778 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐷) → Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑥𝑎) = if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0))
2827sumeq2dv 15735 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥𝐷 Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑥𝑎) = Σ𝑥𝐷 if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0))
2911, 20, 283eqtr3d 2783 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0) = Σ𝑥𝐷 if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0))
30 nnnn0 12531 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
311zncrng 21581 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
32 crngring 20263 . . . . . 6 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
332, 12ringidcl 20280 . . . . . 6 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
3430, 31, 32, 334syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
3534snssd 4814 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
36 hashcl 14392 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
37 nn0cn 12534 . . . . . 6 ((♯‘𝐷) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐷) ∈ ℂ)
386, 36, 373syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐷) ∈ ℂ)
3938ralrimivw 3148 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) ∈ ℂ)
403olcd 874 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin))
41 sumss2 15759 . . . 4 ((({(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} ⊆ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ ∀𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) ∈ ℂ) ∧ ((Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)) → Σ𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) = Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0))
4235, 39, 40, 41syl21anc 838 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) = Σ𝑎 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))if(𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))}, (♯‘𝐷), 0))
434dchrabl 27313 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
44 ablgrp 19818 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
455, 21grpidcl 18996 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
4643, 44, 453syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0g𝐺) ∈ 𝐷)
4746snssd 4814 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {(0g𝐺)} ⊆ 𝐷)
48 phicl 16803 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
4948nncnd 12280 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
5049ralrimivw 3148 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
516olcd 874 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐷 ∈ Fin))
52 sumss2 15759 . . . 4 ((({(0g𝐺)} ⊆ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ (𝐷 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐷 ∈ Fin)) → Σ𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) = Σ𝑥𝐷 if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0))
5347, 50, 51, 52syl21anc 838 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) = Σ𝑥𝐷 if(𝑥 ∈ {(0g𝐺)}, (ϕ‘𝑁), 0))
5429, 42, 533eqtr4d 2785 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) = Σ𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁))
55 eqidd 2736 . . . 4 (𝑎 = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → (♯‘𝐷) = (♯‘𝐷))
5655sumsn 15779 . . 3 (((1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) = (♯‘𝐷))
5734, 38, 56syl2anc 584 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑎 ∈ {(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))} (♯‘𝐷) = (♯‘𝐷))
58 eqidd 2736 . . . 4 (𝑥 = (0g𝐺) → (ϕ‘𝑁) = (ϕ‘𝑁))
5958sumsn 15779 . . 3 (((0g𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) = (ϕ‘𝑁))
6046, 49, 59syl2anc 584 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ {(0g𝐺)} (ϕ‘𝑁) = (ϕ‘𝑁))
6154, 57, 603eqtr3d 2783 1 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐷) = (ϕ‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631  cfv 6563  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  cuz 12876  chash 14366  Σcsu 15719  ϕcphi 16798  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  Abelcabl 19814  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  ℤ/nczn 21531  DChrcdchr 27291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-rpss 7742  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-qus 17556  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-ga 19321  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-od 19561  df-gex 19562  df-pgp 19563  df-lsm 19669  df-pj1 19670  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-cyg 19911  df-dprd 20030  df-dpj 20031  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917  df-ply 26242  df-idp 26243  df-coe 26244  df-dgr 26245  df-quot 26348  df-log 26613  df-cxp 26614  df-dchr 27292
This theorem is referenced by:  sumdchr  27331
  Copyright terms: Public domain W3C validator