Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioo 45380
Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioo.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioo.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvbdfbdioo.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
dvbdfbdioo.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
dvbdfbdioo.dmdv (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
dvbdfbdioo.dvbd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioo (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘₯   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘₯   𝐹,π‘Ž,𝑏,π‘₯   πœ‘,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑏)

Proof of Theorem dvbdfbdioo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioo.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
2 dvbdfbdioo.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11292 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 dvbdfbdioo.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
54rexrd 11292 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
62, 4readdcld 11271 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ ℝ)
76rehalfcld 12487 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ ℝ)
8 dvbdfbdioo.altb . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
9 avglt1 12478 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2)))
102, 4, 9syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2)))
118, 10mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2))
12 avglt2 12479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡))
132, 4, 12syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡))
148, 13mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡)
153, 5, 7, 11, 14eliood 44945 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐡))
161, 15ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ ℝ)
1716recnd 11270 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
1817abscld 15413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) ∈ ℝ)
1918ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) ∈ ℝ)
20 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
214ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
222ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2321, 22resubcld 11670 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
2420, 23remulcld 11272 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
2519, 24readdcld 11271 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ)
268ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐴 < 𝐡)
271ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
28 dvbdfbdioo.dmdv . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
2928ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
30 2fveq3 6896 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
3130breq1d 5153 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ↔ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž))
3231cbvralvw 3225 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž)
3332biimpi 215 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž)
3433adantl 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž)
35 eqid 2725 . . . 4 ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
3622, 21, 26, 27, 29, 20, 34, 35dvbdfbdioolem2 45379 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
37 2fveq3 6896 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
3837breq1d 5153 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏))
3938cbvralvw 3225 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
40 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑏 = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
4140ralbidv 3168 . . . . 5 (𝑏 = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
4239, 41bitrid 282 . . . 4 (𝑏 = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
4342rspcev 3602 . . 3 ((((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
4425, 36, 43syl2anc 582 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
45 dvbdfbdioo.dvbd . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
4644, 45r19.29a 3152 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„cr 11135   + caddc 11139   Β· cmul 11141   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  2c2 12295  (,)cioo 13354  abscabs 15211   D cdv 25808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  45382  ioodvbdlimc2lem  45384
  Copyright terms: Public domain W3C validator