Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioo 40884
Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvbdfbdioo.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
dvbdfbdioo.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
dvbdfbdioo.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioo.dvbd (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎)
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioo (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥   𝐹,𝑎,𝑏,𝑥   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑏)

Proof of Theorem dvbdfbdioo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioo.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2 dvbdfbdioo.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 10379 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 dvbdfbdioo.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54rexrd 10379 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
62, 4readdcld 10359 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
76rehalfcld 11566 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
8 dvbdfbdioo.altb . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 𝐵)
9 avglt1 11557 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
102, 4, 9syl2anc 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
118, 10mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
12 avglt2 11558 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
132, 4, 12syl2anc 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
148, 13mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
153, 5, 7, 11, 14eliood 40463 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
161, 15ffvelrnd 6587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
1716recnd 10358 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
1817abscld 14515 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
1918ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
20 simplr 786 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
214ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
222ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → 𝐴 ∈ ℝ)
2321, 22resubcld 10751 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
2420, 23remulcld 10360 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → (𝑎 · (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
2519, 24readdcld 10359 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
268ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → 𝐴 < 𝐵)
271ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
28 dvbdfbdioo.dmdv . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
2928ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
30 2fveq3 6417 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)))
3130breq1d 4854 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑎))
3231cbvralv 3355 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑎)
3332biimpi 208 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑎)
3433adantl 474 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑎)
35 eqid 2800 . . . 4 ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴)))
3622, 21, 26, 27, 29, 20, 34, 35dvbdfbdioolem2 40883 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))))
37 2fveq3 6417 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹𝑦)))
3837breq1d 4854 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑏))
3938cbvralv 3355 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑏)
40 breq2 4848 . . . . . 6 (𝑏 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) → ((abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴)))))
4140ralbidv 3168 . . . . 5 (𝑏 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴)))))
4239, 41syl5bb 275 . . . 4 (𝑏 = ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) → (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴)))))
4342rspcev 3498 . . 3 ((((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴))) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ ((abs‘(𝐹‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) + (𝑎 · (𝐵𝐴)))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
4425, 36, 43syl2anc 580 . 2 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
45 dvbdfbdioo.dvbd . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑎)
4644, 45r19.29a 3260 1 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3090  wrex 3091   class class class wbr 4844  dom cdm 5313  wf 6098  cfv 6102  (class class class)co 6879  cr 10224   + caddc 10228   · cmul 10230   < clt 10364  cle 10365  cmin 10557   / cdiv 10977  2c2 11367  (,)cioo 12423  abscabs 14314   D cdv 23967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303  ax-addf 10304  ax-mulf 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-fi 8560  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-cda 9279  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-xneg 12192  df-xadd 12193  df-xmul 12194  df-ioo 12427  df-ico 12429  df-icc 12430  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-seq 13055  df-exp 13114  df-hash 13370  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-ip 16284  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-hom 16290  df-cco 16291  df-rest 16397  df-topn 16398  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-topgen 16418  df-pt 16419  df-prds 16422  df-xrs 16476  df-qtop 16481  df-imas 16482  df-xps 16484  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-mulg 17856  df-cntz 18061  df-cmn 18509  df-psmet 20059  df-xmet 20060  df-met 20061  df-bl 20062  df-mopn 20063  df-fbas 20064  df-fg 20065  df-cnfld 20068  df-top 21026  df-topon 21043  df-topsp 21065  df-bases 21078  df-cld 21151  df-ntr 21152  df-cls 21153  df-nei 21230  df-lp 21268  df-perf 21269  df-cn 21359  df-cnp 21360  df-haus 21447  df-cmp 21518  df-tx 21693  df-hmeo 21886  df-fil 21977  df-fm 22069  df-flim 22070  df-flf 22071  df-xms 22452  df-ms 22453  df-tms 22454  df-cncf 23008  df-limc 23970  df-dv 23971
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  40886  ioodvbdlimc2lem  40888
  Copyright terms: Public domain W3C validator