Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioo 45223
Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioo.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioo.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvbdfbdioo.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
dvbdfbdioo.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
dvbdfbdioo.dmdv (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
dvbdfbdioo.dvbd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioo (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘₯   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘₯   𝐹,π‘Ž,𝑏,π‘₯   πœ‘,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑏)

Proof of Theorem dvbdfbdioo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioo.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
2 dvbdfbdioo.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11268 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 dvbdfbdioo.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
54rexrd 11268 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
62, 4readdcld 11247 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ ℝ)
76rehalfcld 12463 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ ℝ)
8 dvbdfbdioo.altb . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
9 avglt1 12454 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2)))
102, 4, 9syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2)))
118, 10mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2))
12 avglt2 12455 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡))
132, 4, 12syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡))
148, 13mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡)
153, 5, 7, 11, 14eliood 44788 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐡))
161, 15ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ ℝ)
1716recnd 11246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
1817abscld 15389 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) ∈ ℝ)
1918ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) ∈ ℝ)
20 simplr 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
214ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
222ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2321, 22resubcld 11646 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
2420, 23remulcld 11248 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
2519, 24readdcld 11247 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ)
268ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐴 < 𝐡)
271ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
28 dvbdfbdioo.dmdv . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
2928ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
30 2fveq3 6890 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
3130breq1d 5151 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ↔ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž))
3231cbvralvw 3228 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž)
3332biimpi 215 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž)
3433adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž)
35 eqid 2726 . . . 4 ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
3622, 21, 26, 27, 29, 20, 34, 35dvbdfbdioolem2 45222 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
37 2fveq3 6890 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
3837breq1d 5151 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏))
3938cbvralvw 3228 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
40 breq2 5145 . . . . . 6 (𝑏 = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
4140ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑏 = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
4239, 41bitrid 283 . . . 4 (𝑏 = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
4342rspcev 3606 . . 3 ((((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
4425, 36, 43syl2anc 583 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
45 dvbdfbdioo.dvbd . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
4644, 45r19.29a 3156 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  (,)cioo 13330  abscabs 15187   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  45225  ioodvbdlimc2lem  45227
  Copyright terms: Public domain W3C validator