Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioo 44646
Description: A function on an open interval, with bounded derivative, is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioo.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioo.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvbdfbdioo.altb (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
dvbdfbdioo.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
dvbdfbdioo.dmdv (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
dvbdfbdioo.dvbd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioo (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘₯   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘₯   𝐹,π‘Ž,𝑏,π‘₯   πœ‘,π‘Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑏)

Proof of Theorem dvbdfbdioo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbdfbdioo.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
2 dvbdfbdioo.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11264 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 dvbdfbdioo.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
54rexrd 11264 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
62, 4readdcld 11243 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ ℝ)
76rehalfcld 12459 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ ℝ)
8 dvbdfbdioo.altb . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
9 avglt1 12450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2)))
102, 4, 9syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2)))
118, 10mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2))
12 avglt2 12451 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡))
132, 4, 12syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡))
148, 13mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡)
153, 5, 7, 11, 14eliood 44211 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐡))
161, 15ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ ℝ)
1716recnd 11242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
1817abscld 15383 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) ∈ ℝ)
1918ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) ∈ ℝ)
20 simplr 768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
214ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
222ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2321, 22resubcld 11642 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
2420, 23remulcld 11244 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
2519, 24readdcld 11243 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ)
268ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐴 < 𝐡)
271ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
28 dvbdfbdioo.dmdv . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
2928ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
30 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)))
3130breq1d 5159 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ↔ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž))
3231cbvralvw 3235 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž)
3332biimpi 215 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž)
3433adantl 483 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ž)
35 eqid 2733 . . . 4 ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
3622, 21, 26, 27, 29, 20, 34, 35dvbdfbdioolem2 44645 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
37 2fveq3 6897 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
3837breq1d 5159 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏))
3938cbvralvw 3235 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏)
40 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑏 = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
4140ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑏 = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
4239, 41bitrid 283 . . . 4 (𝑏 = ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
4342rspcev 3613 . . 3 ((((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((absβ€˜(πΉβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2))) + (π‘Ž Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
4425, 36, 43syl2anc 585 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
45 dvbdfbdioo.dvbd . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ π‘Ž)
4644, 45r19.29a 3163 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  (,)cioo 13324  abscabs 15181   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650
  Copyright terms: Public domain W3C validator