Theorem pserdvlem1 26471

Description: Lemma for pserdv 26473. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
pserf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
pserf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s	⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m	⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))

Assertion

Ref	Expression
pserdvlem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdvlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psercn.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (◡abs “ (0[,)𝑅))
2		cnvimass 6100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3		absf 15376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
4	3	fdmi 6747	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom abs = ℂ
5	2, 4	sseqtri 4032	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
6	1, 5	eqsstri 4030	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
8	7	sselda 3983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
9	8	abscld 15475	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
10		pserf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
11		pserf.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺‘𝑦)‘𝑗))
12		pserf.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13		pserf.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
14		psercn.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
15	10, 11, 12, 13, 1, 14	psercnlem1 26469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑅))
16	15	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
18	9, 17	readdcld 11290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ)
19		0red 11264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℝ)
20	8	absge0d 15483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
21	9, 16	ltaddrpd 13110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
22	19, 9, 18, 20, 21	lelttrd 11419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 0 < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
23	18, 22	elrpd 13074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ+)
24	23	rphalfcld 13089	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
25	15	simp2d 1144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
26		avglt1 12504	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
27	9, 17, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
28	25, 27	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
29	18	rehalfcld 12513	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ)
30	29	rexrd 11311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
31	17	rexrd 11311	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
32		iccssxr 13470	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
33	10, 12, 13	radcnvcl 26460	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
34	32, 33	sselid 3981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
36		avglt2 12505	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
37	9, 17, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
38	25, 37	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀)
39	15	simp3d 1145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
40	30, 31, 35, 38, 39	xrlttrd 13201	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
41	24, 28, 40	3jca 1129	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   ⊆ wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   / cdiv 11920  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  seqcseq 14042  ↑cexp 14102  abscabs 15273   ⇝ cli 15520  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26472  pserdv  26473