MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdvlem1 26471
Description: Lemma for pserdv 26473. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
Assertion
Ref Expression
pserdvlem1 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdvlem1
StepHypRef Expression
1 psercn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
2 cnvimass 6100 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3 absf 15376 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
43fdmi 6747 . . . . . . . . . 10 dom abs = ℂ
52, 4sseqtri 4032 . . . . . . . . 9 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
61, 5eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
87sselda 3983 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
98abscld 15475 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
10 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
11 pserf.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
12 pserf.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13 pserf.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
14 psercn.m . . . . . . . 8 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
1510, 11, 12, 13, 1, 14psercnlem1 26469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
1615simp1d 1143 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
1716rpred 13077 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
189, 17readdcld 11290 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ)
19 0red 11264 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℝ)
208absge0d 15483 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
219, 16ltaddrpd 13110 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
2219, 9, 18, 20, 21lelttrd 11419 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
2318, 22elrpd 13074 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ+)
2423rphalfcld 13089 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
2515simp2d 1144 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
26 avglt1 12504 . . . 4 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
279, 17, 26syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
2825, 27mpbid 232 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
2918rehalfcld 12513 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ)
3029rexrd 11311 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
3117rexrd 11311 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
32 iccssxr 13470 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3310, 12, 13radcnvcl 26460 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3432, 33sselid 3981 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3534adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
36 avglt2 12505 . . . . 5 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
379, 17, 36syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
3825, 37mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀)
3915simp3d 1145 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
4030, 31, 35, 38, 39xrlttrd 13201 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
4124, 28, 403jca 1129 1 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  +crp 13034  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26472  pserdv  26473
  Copyright terms: Public domain W3C validator