Theorem bndndx 12635

Description: A bounded real sequence 𝐴(𝑘) is less than or equal to at least one of its indices. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bndndx	⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem bndndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arch 12633	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑘)
2		nnre 12372	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3		lelttr 11430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑘) → 𝐴 < 𝑘))
4		ltle 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘))
5	4	3adant2 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘))
6	3, 5	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑘) → 𝐴 ≤ 𝑘))
7	6	exp5o 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘)))))
8	7	com3l 90	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑥 → (𝑥 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘)))))
9	8	imp4b 427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝑘 → 𝐴 ≤ 𝑘)))
10	9	com23 87	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘)))
11	2, 10	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 < 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘)))
12	11	reximdva 3179	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘)))
13	1, 12	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘))
14		r19.35 3124	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑘) ↔ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘))
15	13, 14	sylib 221	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘))
16	15	rexlimiv 3160	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ≤ 𝑘)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ℝcr 11229   < clt 11373   ≤ cle 11374  ℕcn 12365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366

This theorem is used by: (None)