Theorem arch 12518

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5114	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 < 𝑛 ↔ 𝐴 < 𝑛))
2	1	rexbidv 3191	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛))
3		nnunb 12517	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)
4		ralnex 3093	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
5	3, 4	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)
6		rexnal 3119	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
7		nnre 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
8		axlttri 11298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦)))
9	7, 8	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦)))
10		equcom 2051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑛 ↔ 𝑛 = 𝑦)
11	10	orbi1i 927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 = 𝑦 ∨ 𝑛 < 𝑦))
12		orcom 884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 𝑦 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
13	11, 12	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
14	13	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
15	9, 14	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)))
16	15	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → 𝑦 < 𝑛))
17	16	reximdva 3180	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
18	6, 17	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
19	18	ralimia 3101	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛)
20	5, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛
21	2, 20	vtoclri 3551	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ℝcr 11116   < clt 11260  ℕcn 12250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251

This theorem is used by:  nnrecl  12519  bndndx  12520  btwnz  12717  uzwo3  12985  zmin  12986  rpnnen1lem5  13023  harmonic  15938  alzdvds  16402  ovolicc2lem4  25732  volsup2  25817  ismbf3d  25866  mbfi1fseqlem6  25932  itg2seq  25954  itg2cnlem1  25973  ply1divex  26347  plydivex  26511  lgamucov  27255  lgamcvg2  27272  ubthlem1  31295  lnconi  32458  rearchi  33732  esumcst  34519  hbtlem5  43915  prmunb2  45081  rfcnnnub  45816  archd  45940  stoweidlem14  46788  stoweidlem60  46834  sge0rpcpnf  47195  fsupdm  47616