Theorem arch 12230

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5077	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 < 𝑛 ↔ 𝐴 < 𝑛))
2	1	rexbidv 3226	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛))
3		nnunb 12229	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)
4		ralnex 3167	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
5	3, 4	mpbir 230	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)
6		rexnal 3169	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
7		nnre 11980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
8		axlttri 11046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦)))
9	7, 8	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦)))
10		equcom 2021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑛 ↔ 𝑛 = 𝑦)
11	10	orbi1i 911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 = 𝑦 ∨ 𝑛 < 𝑦))
12		orcom 867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 𝑦 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
13	11, 12	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
14	13	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
15	9, 14	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)))
16	15	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → 𝑦 < 𝑛))
17	16	reximdva 3203	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
18	6, 17	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
19	18	ralimia 3085	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛)
20	5, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛
21	2, 20	vtoclri 3525	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ℝcr 10870   < clt 11009  ℕcn 11973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974

This theorem is referenced by:  nnrecl  12231  bndndx  12232  btwnz  12423  uzwo3  12683  zmin  12684  rpnnen1lem5  12721  harmonic  15571  alzdvds  16029  ovolicc2lem4  24684  volsup2  24769  ismbf3d  24818  mbfi1fseqlem6  24885  itg2seq  24907  itg2cnlem1  24926  ply1divex  25301  plydivex  25457  lgamucov  26187  lgamcvg2  26204  ubthlem1  29232  lnconi  30395  rearchi  31546  esumcst  32031  hbtlem5  40953  prmunb2  41929  rfcnnnub  42579  stoweidlem14  43555  stoweidlem60  43601  sge0rpcpnf  43959  hoicvr  44086