Theorem arch 12521

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5151	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 < 𝑛 ↔ 𝐴 < 𝑛))
2	1	rexbidv 3177	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛))
3		nnunb 12520	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)
4		ralnex 3070	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
5	3, 4	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)
6		rexnal 3098	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
7		nnre 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
8		axlttri 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦)))
9	7, 8	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦)))
10		equcom 2015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑛 ↔ 𝑛 = 𝑦)
11	10	orbi1i 913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 = 𝑦 ∨ 𝑛 < 𝑦))
12		orcom 870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 𝑦 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
13	11, 12	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
14	13	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
15	9, 14	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)))
16	15	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → 𝑦 < 𝑛))
17	16	reximdva 3166	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
18	6, 17	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
19	18	ralimia 3078	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛)
20	5, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛
21	2, 20	vtoclri 3590	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ℝcr 11152   < clt 11293  ℕcn 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265

This theorem is referenced by:  nnrecl  12522  bndndx  12523  btwnz  12719  uzwo3  12983  zmin  12984  rpnnen1lem5  13021  harmonic  15892  alzdvds  16354  ovolicc2lem4  25569  volsup2  25654  ismbf3d  25703  mbfi1fseqlem6  25770  itg2seq  25792  itg2cnlem1  25811  ply1divex  26191  plydivex  26354  lgamucov  27096  lgamcvg2  27113  ubthlem1  30899  lnconi  32062  rearchi  33354  esumcst  34044  hbtlem5  43117  prmunb2  44307  rfcnnnub  44974  archd  45105  stoweidlem14  45970  stoweidlem60  46016  sge0rpcpnf  46377  hoicvr  46504  fsupdm  46798