Theorem arch 11639

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4889	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 < 𝑛 ↔ 𝐴 < 𝑛))
2	1	rexbidv 3237	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛))
3		nnunb 11638	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)
4		ralnex 3174	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
5	3, 4	mpbir 223	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)
6		rexnal 3176	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
7		nnre 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
8		axlttri 10448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦)))
9	7, 8	sylan2 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦)))
10		equcom 2065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑛 ↔ 𝑛 = 𝑦)
11	10	orbi1i 900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 = 𝑦 ∨ 𝑛 < 𝑦))
12		orcom 859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 𝑦 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
13	11, 12	bitri 267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
14	13	notbii 312	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
15	9, 14	syl6bb 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)))
16	15	biimprd 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → 𝑦 < 𝑛))
17	16	reximdva 3198	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
18	6, 17	syl5bir 235	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
19	18	ralimia 3132	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛)
20	5, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛
21	2, 20	vtoclri 3485	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   class class class wbr 4886  ℝcr 10271   < clt 10411  ℕcn 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375

This theorem is referenced by:  nnrecl  11640  bndndx  11641  btwnz  11831  uzwo3  12090  zmin  12091  rpnnen1lem5  12128  harmonic  14995  alzdvds  15449  ovolicc2lem4  23724  volsup2  23809  ismbf3d  23858  mbfi1fseqlem6  23924  itg2seq  23946  itg2cnlem1  23965  ply1divex  24333  plydivex  24489  lgamucov  25216  lgamcvg2  25233  ubthlem1  28298  lnconi  29464  rearchi  30404  esumcst  30723  hbtlem5  38661  prmunb2  39470  rfcnnnub  40132  stoweidlem14  41162  stoweidlem60  41208  sge0rpcpnf  41566  hoicvr  41693