MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arch 11491
Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
arch (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4789 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 < 𝑛𝐴 < 𝑛))
21rexbidv 3200 . 2 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛))
3 nnunb 11490 . . . 4 ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦)
4 ralnex 3141 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
53, 4mpbir 221 . . 3 𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦)
6 rexnal 3143 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
7 nnre 11229 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
8 axlttri 10311 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦)))
97, 8sylan2 580 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦)))
10 equcom 2103 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑛𝑛 = 𝑦)
1110orbi1i 899 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 = 𝑦𝑛 < 𝑦))
12 orcom 859 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑦𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
1311, 12bitri 264 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
1413notbii 309 . . . . . . . 8 (¬ (𝑦 = 𝑛𝑛 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦))
159, 14syl6bb 276 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦)))
1615biimprd 238 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → 𝑦 < 𝑛))
1716reximdva 3165 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
186, 17syl5bir 233 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
1918ralimia 3099 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦𝑛 = 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛)
205, 19ax-mp 5 . 2 𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛
212, 20vtoclri 3434 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4786  cr 10137   < clt 10276  cn 11222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223
This theorem is referenced by:  nnrecl  11492  bndndx  11493  btwnz  11681  uzwo3  11986  zmin  11987  rpnnen1lem5  12021  rpnnen1lem5OLD  12027  harmonic  14798  alzdvds  15251  ovolicc2lem4  23508  volsup2  23593  ismbf3d  23641  mbfi1fseqlem6  23707  itg2seq  23729  itg2cnlem1  23748  ply1divex  24116  plydivex  24272  lgamucov  24985  lgamcvg2  25002  ubthlem1  28066  lnconi  29232  rearchi  30182  esumcst  30465  hbtlem5  38224  prmunb2  39036  rfcnnnub  39717  stoweidlem14  40748  stoweidlem60  40794  sge0rpcpnf  41155  hoicvr  41282
  Copyright terms: Public domain W3C validator