Theorem arch 12496

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem arch

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5112	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 < 𝑛 ↔ 𝐴 < 𝑛))
2	1	rexbidv 3189	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛))
3		nnunb 12495	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)
4		ralnex 3091	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
5	3, 4	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)
6		rexnal 3117	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
7		nnre 12235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
8		axlttri 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦)))
9	7, 8	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦)))
10		equcom 2048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑛 ↔ 𝑛 = 𝑦)
11	10	orbi1i 926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 = 𝑦 ∨ 𝑛 < 𝑦))
12		orcom 883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 𝑦 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
13	11, 12	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
14	13	notbii 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑦 = 𝑛 ∨ 𝑛 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦))
15	9, 14	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑛 ↔ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦)))
16	15	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → 𝑦 < 𝑛))
17	16	reximdva 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
18	6, 17	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛))
19	18	ralimia 3099	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑦 ∨ 𝑛 = 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛)
20	5, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑛
21	2, 20	vtoclri 3549	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ℝcr 11094   < clt 11238  ℕcn 12228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229

This theorem is referenced by:  nnrecl  12497  bndndx  12498  btwnz  12694  uzwo3  12962  zmin  12963  rpnnen1lem5  13000  harmonic  15909  alzdvds  16373  ovolicc2lem4  25679  volsup2  25764  ismbf3d  25813  mbfi1fseqlem6  25879  itg2seq  25901  itg2cnlem1  25920  ply1divex  26294  plydivex  26458  lgamucov  27202  lgamcvg2  27219  ubthlem1  31222  lnconi  32385  rearchi  33666  esumcst  34453  hbtlem5  43855  prmunb2  45021  rfcnnnub  45756  archd  45880  stoweidlem14  46728  stoweidlem60  46774  sge0rpcpnf  47135  fsupdm  47556