Theorem cantnff1o 9704

Description: Simplify the isomorphism of cantnf 9701 to simple bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnff1o.1	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnff1o.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnff1o.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
cantnff1o	⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆–1-1-onto→(𝐴 ↑o 𝐵))

Proof of Theorem cantnff1o

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnff1o.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnff1o.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnff1o.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
5	1, 2, 3, 4	cantnf 9701	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) Isom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}, E (𝑆, (𝐴 ↑o 𝐵)))
6		isof1o 7335	. 2 ⊢ ((𝐴 CNF 𝐵) Isom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}, E (𝑆, (𝐴 ↑o 𝐵)) → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆–1-1-onto→(𝐴 ↑o 𝐵))
7	5, 6	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆–1-1-onto→(𝐴 ↑o 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {copab 5166   E cep 5550  dom cdm 5651  Oncon0 6365  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7424   ↑_o coe 8483   CNF ccnf 9669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-seqom 8466  df-1o 8484  df-2o 8485  df-oadd 8488  df-omul 8489  df-oexp 8490  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-oi 9511  df-cnf 9670

This theorem is used by:  oef1o  9706  cnfcomlem  9707  cnfcom  9708  cnfcom2lem  9709  cnfcom2  9710  cnfcom3lem  9711  cnfcom3  9712  cantnf2  44464