Theorem cantnff1o 9625

Description: Simplify the isomorphism of cantnf 9622 to simple bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnff1o.1	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnff1o.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnff1o.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
cantnff1o	⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆–1-1-onto→(𝐴 ↑o 𝐵))

Proof of Theorem cantnff1o

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnff1o.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnff1o.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnff1o.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
5	1, 2, 3, 4	cantnf 9622	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) Isom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}, E (𝑆, (𝐴 ↑o 𝐵)))
6		isof1o 7280	. 2 ⊢ ((𝐴 CNF 𝐵) Isom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥‘𝑧) ∈ (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}, E (𝑆, (𝐴 ↑o 𝐵)) → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆–1-1-onto→(𝐴 ↑o 𝐵))
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆–1-1-onto→(𝐴 ↑o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {copab 5164   E cep 5530  dom cdm 5631  Oncon0 6320  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499   Isom wiso 6500  (class class class)co 7369   ↑_o coe 8410   CNF ccnf 9590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-seqom 8393  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-oexp 8417  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-oi 9439  df-cnf 9591

This theorem is referenced by:  oef1o  9627  cnfcomlem  9628  cnfcom  9629  cnfcom2lem  9630  cnfcom2  9631  cnfcom3lem  9632  cnfcom3  9633  cantnf2  43287