MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnff1o 9734
Description: Simplify the isomorphism of cantnf 9731 to simple bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnff1o.1 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnff1o.2 (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnff1o.3 (𝜑𝐵 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnff1o (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆1-1-onto→(𝐴o 𝐵))

Proof of Theorem cantnff1o
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnff1o.1 . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnff1o.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnff1o.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 eqid 2735 . . 3 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
51, 2, 3, 4cantnf 9731 . 2 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) Isom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)))
6 isof1o 7343 . 2 ((𝐴 CNF 𝐵) Isom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)) → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆1-1-onto→(𝐴o 𝐵))
75, 6syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆1-1-onto→(𝐴o 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {copab 5210   E cep 5588  dom cdm 5689  Oncon0 6386  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563   Isom wiso 6564  (class class class)co 7431  o coe 8504   CNF ccnf 9699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seqom 8487  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-oexp 8511  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-cnf 9700
This theorem is referenced by:  oef1o  9736  cnfcomlem  9737  cnfcom  9738  cnfcom2lem  9739  cnfcom2  9740  cnfcom3lem  9741  cnfcom3  9742  cantnf2  43315
  Copyright terms: Public domain W3C validator