MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnff1o 9640
Description: Simplify the isomorphism of cantnf 9637 to simple bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnff1o.1 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnff1o.2 (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnff1o.3 (𝜑𝐵 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnff1o (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆1-1-onto→(𝐴o 𝐵))

Proof of Theorem cantnff1o
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnff1o.1 . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnff1o.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnff1o.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 eqid 2733 . . 3 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
51, 2, 3, 4cantnf 9637 . 2 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) Isom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)))
6 isof1o 7272 . 2 ((𝐴 CNF 𝐵) Isom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)) → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆1-1-onto→(𝐴o 𝐵))
75, 6syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆1-1-onto→(𝐴o 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  {copab 5171   E cep 5540  dom cdm 5637  Oncon0 6321  1-1-ontowf1o 6499  cfv 6500   Isom wiso 6501  (class class class)co 7361  o coe 8415   CNF ccnf 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seqom 8398  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-cnf 9606
This theorem is referenced by:  oef1o  9642  cnfcomlem  9643  cnfcom  9644  cnfcom2lem  9645  cnfcom2  9646  cnfcom3lem  9647  cnfcom3  9648  cantnf2  41707
  Copyright terms: Public domain W3C validator