Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnff1o 9161
 Description: Simplify the isomorphism of cantnf 9158 to simple bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnff1o.1 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnff1o.2 (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnff1o.3 (𝜑𝐵 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnff1o (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆1-1-onto→(𝐴o 𝐵))

Proof of Theorem cantnff1o
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnff1o.1 . . 3 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2 cantnff1o.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 cantnff1o.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
4 eqid 2798 . . 3 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
51, 2, 3, 4cantnf 9158 . 2 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) Isom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)))
6 isof1o 7065 . 2 ((𝐴 CNF 𝐵) Isom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}, E (𝑆, (𝐴o 𝐵)) → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆1-1-onto→(𝐴o 𝐵))
75, 6syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆1-1-onto→(𝐴o 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {copab 5096   E cep 5433  dom cdm 5523  Oncon0 6166  –1-1-onto→wf1o 6331  ‘cfv 6332   Isom wiso 6333  (class class class)co 7145   ↑o coe 8102   CNF ccnf 9126 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-seqom 8085  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-omul 8108  df-oexp 8109  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-cnf 9127 This theorem is referenced by:  oef1o  9163  cnfcomlem  9164  cnfcom  9165  cnfcom2lem  9166  cnfcom2  9167  cnfcom3lem  9168  cnfcom3  9169
 Copyright terms: Public domain W3C validator