Theorem catcrcl 50024

Description: Reverse closure for the category of categories (in a universe) (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcrcl.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcrcl.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catcrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))

Assertion

Ref	Expression
catcrcl	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)

Proof of Theorem catcrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcrcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
2		elfvne0 49478	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝐻 ≠ ∅)
3		df-ov 7403	. . 3 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) = (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4	2, 3	eleq2s 2883	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐻 ≠ ∅)
5		catcrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
6		fvprc 6863	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → (CatCat‘𝑈) = ∅)
7	5, 6	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → 𝐶 = ∅)
8		fveq2 6871	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘∅))
9		catcrcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
10		homid 17455	. . . . . 6 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
11	10	str0 17239	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2825	. . . 4 ⊢ (𝐶 = ∅ → 𝐻 = ∅)
13	7, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → 𝐻 = ∅)
14	13	necon1ai 2987	. 2 ⊢ (𝐻 ≠ ∅ → 𝑈 ∈ V)
15	1, 4, 14	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  ∅c0 4288  ⟨cop 4591  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ndxcnx 17243  Hom chom 17311  CatCatccatc 18145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-dec 12703  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-hom 17324

This theorem is referenced by:  catcrcl2  50025  elcatchom  50026  catcsect  50027