Theorem catcrcl 50623

Description: Reverse closure for the category of categories (in a universe) (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcrcl.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcrcl.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catcrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))

Assertion

Ref	Expression
catcrcl	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)

Proof of Theorem catcrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcrcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
2		elfvne0 50053	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝐻 ≠ ∅)
3		df-ov 7423	. . 3 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) = (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4	2, 3	eleq2s 2878	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐻 ≠ ∅)
5		catcrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
6		fvprc 6877	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → (CatCat‘𝑈) = ∅)
7	5, 6	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → 𝐶 = ∅)
8		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘∅))
9		catcrcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
10		homid 17588	. . . . . 6 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
11	10	str0 17372	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2820	. . . 4 ⊢ (𝐶 = ∅ → 𝐻 = ∅)
13	7, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → 𝐻 = ∅)
14	13	necon1ai 2982	. 2 ⊢ (𝐻 ≠ ∅ → 𝑈 ∈ V)
15	1, 4, 14	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ⟨cop 4834  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ndxcnx 17376  Hom chom 17444  CatCatccatc 18278

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-dec 12818  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-hom 17457

This theorem is used by:  catcrcl2  50624  elcatchom  50625  catcsect  50626