Theorem catcrcl 49636

Description: Reverse closure for the category of categories (in a universe) (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcrcl.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcrcl.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catcrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))

Assertion

Ref	Expression
catcrcl	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)

Proof of Theorem catcrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcrcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
2		elfvne0 49090	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝐻 ≠ ∅)
3		df-ov 7361	. . 3 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) = (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4	2, 3	eleq2s 2854	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐻 ≠ ∅)
5		catcrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
6		fvprc 6826	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → (CatCat‘𝑈) = ∅)
7	5, 6	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → 𝐶 = ∅)
8		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘∅))
9		catcrcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
10		homid 17332	. . . . . 6 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
11	10	str0 17116	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2796	. . . 4 ⊢ (𝐶 = ∅ → 𝐻 = ∅)
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → 𝐻 = ∅)
14	13	necon1ai 2959	. 2 ⊢ (𝐻 ≠ ∅ → 𝑈 ∈ V)
15	1, 4, 14	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440  ∅c0 4285  ⟨cop 4586  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ndxcnx 17120  Hom chom 17188  CatCatccatc 18022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-dec 12608  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-hom 17201

This theorem is referenced by:  catcrcl2  49637  elcatchom  49638  catcsect  49639