Theorem catcrcl 49287

Description: Reverse closure for the category of categories (in a universe) (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcrcl.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcrcl.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catcrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))

Assertion

Ref	Expression
catcrcl	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)

Proof of Theorem catcrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcrcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
2		elfvne0 48769	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝐻 ≠ ∅)
3		df-ov 7397	. . 3 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) = (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4	2, 3	eleq2s 2847	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐻 ≠ ∅)
5		catcrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
6		fvprc 6857	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → (CatCat‘𝑈) = ∅)
7	5, 6	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → 𝐶 = ∅)
8		fveq2 6865	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘∅))
9		catcrcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
10		homid 17381	. . . . . 6 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
11	10	str0 17165	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2790	. . . 4 ⊢ (𝐶 = ∅ → 𝐻 = ∅)
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → 𝐻 = ∅)
14	13	necon1ai 2954	. 2 ⊢ (𝐻 ≠ ∅ → 𝑈 ∈ V)
15	1, 4, 14	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927  Vcvv 3455  ∅c0 4304  ⟨cop 4603  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  ndxcnx 17169  Hom chom 17237  CatCatccatc 18066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-ov 7397  df-om 7851  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-ltxr 11231  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-dec 12666  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-hom 17250

This theorem is referenced by:  catcrcl2  49288  elcatchom  49289  catcsect  49290