Theorem catcrcl 50156

Description: Reverse closure for the category of categories (in a universe) (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcrcl.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcrcl.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catcrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))

Assertion

Ref	Expression
catcrcl	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)

Proof of Theorem catcrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcrcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
2		elfvne0 49610	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → 𝐻 ≠ ∅)
3		df-ov 7415	. . 3 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) = (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4	2, 3	eleq2s 2881	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐻 ≠ ∅)
5		catcrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
6		fvprc 6875	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → (CatCat‘𝑈) = ∅)
7	5, 6	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → 𝐶 = ∅)
8		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘∅))
9		catcrcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
10		homid 17466	. . . . . 6 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
11	10	str0 17250	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
12	8, 9, 11	3eqtr4g 2823	. . . 4 ⊢ (𝐶 = ∅ → 𝐻 = ∅)
13	7, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (¬ 𝑈 ∈ V → 𝐻 = ∅)
14	13	necon1ai 2985	. 2 ⊢ (𝐻 ≠ ∅ → 𝑈 ∈ V)
15	1, 4, 14	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  ∅c0 4287  ⟨cop 4596  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ndxcnx 17254  Hom chom 17322  CatCatccatc 18156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-dec 12713  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-hom 17335

This theorem is referenced by:  catcrcl2  50157  elcatchom  50158  catcsect  50159