Theorem catcsect 50217

Description: The property "𝐹 is a section of 𝐺 " in a category of small categories (in a universe). (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcsect.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcsect.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
catcsect.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
catcsect.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
catcsect	⊢ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼))

Proof of Theorem catcsect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcsect.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
2		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 → 𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺)
3	1, 2	sectrcl 49841	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 → 𝐶 ∈ Cat)
4		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5	1, 2, 4	sectrcl2 49842	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
6	3, 5	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))))
7		catcsect.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
8		catcsect.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
9		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	7, 8, 9	catcrcl 50214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → 𝑈 ∈ V)
11	7	catccat 18190	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝐶 ∈ Cat)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → 𝐶 ∈ Cat)
13	7, 8, 9, 4	catcrcl2 50215	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
14	12, 13	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))))
15	14	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))))
16		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
17		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
18		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐶 ∈ Cat)
19		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
20		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
21	4, 8, 16, 17, 1, 18, 19, 20	issect 17835	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋))))
22	6, 15, 21	pm5.21nii 381	. 2 ⊢ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)))
23		df-3an 1105	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)))
24	14, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
25	14, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
26	7, 8, 9	elcatchom 50216	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → 𝐹 ∈ (𝑋 Func 𝑌))
27		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
28	7, 8, 27	elcatchom 50216	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → 𝐺 ∈ (𝑌 Func 𝑋))
29	7, 4, 10, 16, 24, 25, 24, 26, 28	catcco 18187	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = (𝐺 ∘func 𝐹))
30		catcsect.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝑋)
31	7, 4, 17, 30, 10, 24	catcid 18189	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → ((Id‘𝐶)‘𝑋) = 𝐼)
32	29, 31	eqeq12d 2782	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) → ((𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋) ↔ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼))
33	32	pm5.32i 585	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝐶)𝑋)𝐹) = ((Id‘𝐶)‘𝑋)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼))
34	22, 23, 33	3bitri 300	1 ⊢ (𝐹(𝑋𝑆𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ 𝐺 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (𝐺 ∘func 𝐹) = 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  Hom chom 17346  compcco 17347  Catccat 17745  Idccid 17746  Sectcsect 17826  id_funccidfu 17937   ∘_func ccofu 17938  CatCatccatc 18180

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-hom 17359  df-cco 17360  df-cat 17749  df-cid 17750  df-sect 17829  df-func 17940  df-idfu 17941  df-cofu 17942  df-catc 18181

This theorem is used by:  catcinv  50218  uobeq2  50220