Theorem expcn 24380

Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent 𝑁, is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
expcn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁

Proof of Theorem expcn

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7414	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑0))
2	1	mpteq2dv 5250	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)))
3	2	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
4		oveq2 7414	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑘))
5	4	mpteq2dv 5250	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)))
6	5	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7		oveq2 7414	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
8	7	mpteq2dv 5250	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
9	8	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
10		oveq2 7414	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑁))
11	10	mpteq2dv 5250	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)))
12	11	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
13		exp0 14028	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
14	13	mpteq2ia 5251	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
15		expcn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
16	15	cnfldtopon 24291	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
18		1cnd 11206	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
19	17, 17, 18	cnmptc 23158	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
20	19	mptru 1549	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
21	14, 20	eqeltri 2830	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
22		oveq1 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = (𝑛↑(𝑘 + 1)))
23	22	cbvmptv 5261	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑(𝑘 + 1)))
24		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
25		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26		expp1 14031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
27	24, 25, 26	syl2anr 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
28	27	mpteq2dva 5248	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘) · 𝑛)))
29	23, 28	eqtrid 2785	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘) · 𝑛)))
30	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
31		oveq1 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑𝑘) = (𝑛↑𝑘))
32	31	cbvmptv 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑𝑘))
33		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
34	32, 33	eqeltrrid 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
35	30	cnmptid 23157	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ 𝑛) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
36	15	mulcn 24375	. . . . . 6 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
38	30, 34, 35, 37	cnmpt12f 23162	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘) · 𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	29, 38	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40	39	ex 414	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
41	3, 6, 9, 12, 21, 40	nn0ind 12654	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  ℕ₀cn0 12469  ↑cexp 14024  TopOpenctopn 17364  ℂ_fldccnfld 20937  TopOnctopon 22404   Cn ccn 22720   ×_t ctx 23056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820

This theorem is referenced by:  sqcn  24382  expcncf  24434  plycn  25767  psercn2  25927  atansopn  26427  pntlem3  27102  climexp  44308