Theorem cvmlift2lem3 36039

Description: Lemma for cvmlift2 36050. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h	⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2lem3.1	⊢ 𝐾 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝐹   𝜑,𝑓,𝑧   𝑓,𝐽,𝑧   𝑓,𝐺,𝑧   𝑓,𝐻,𝑧   𝑓,𝑋,𝑧   𝐶,𝑓,𝑧   𝑃,𝑓,𝑧   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐾(𝑧, 𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2lem3.1	. 2 ⊢ 𝐾 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))
3		cvmlift2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5		iitopon 25180	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
8	6, 6, 7	cnmptc 23961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑋) ∈ (II Cn II))
9	6	cnmptid 23960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑧) ∈ (II Cn II))
10		cvmlift2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
12	6, 8, 9, 11	cnmpt12f 23965	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∈ (II Cn 𝐽))
13		cvmlift2.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
14		cvmlift2.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
15		cvmlift2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
16	1, 3, 10, 13, 14, 15	cvmlift2lem2 36038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
17	16	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐶))
18		iiuni 25182	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
19	18, 1	cnf 23544	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
20	17, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
21	20	ffvelcdmda 7076	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐻‘𝑋) ∈ 𝐵)
22		0elunit 13581	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
23		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑋𝐺𝑧) = (𝑋𝐺0))
24		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))
25		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑋𝐺0) ∈ V
26	23, 24, 25	fvmpt 6985	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
27	22, 26	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
28	16	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
29	28	fveq1d 6879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘𝑋) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋))
30		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝐺0) = (𝑋𝐺0))
31		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
32	30, 31, 25	fvmpt 6985	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
33	29, 32	sylan9eq 2816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
34		fvco3 6977	. . . 4 ⊢ ((𝐻:(0[,]1)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻‘𝑋)))
35	20, 34	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹 ∘ 𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻‘𝑋)))
36	27, 33, 35	3eqtr2rd 2803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝐻‘𝑋)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0))
37	1, 2, 4, 12, 21, 36	cvmliftiota 36035	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182  [,]cicc 13460  TopOnctopon 23208   Cn ccn 23522   ×_t ctx 23859  IIcii 25176   CovMap ccvm 35989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-ec 8703  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-cmp 23685  df-conn 23710  df-lly 23765  df-nlly 23766  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-ii 25178  df-cncf 25179  df-htpy 25271  df-phtpy 25272  df-phtpc 25293  df-pconn 35955  df-sconn 35956  df-cvm 35990

This theorem is used by:  cvmlift2lem5  36041  cvmlift2lem6  36042  cvmlift2lem7  36043  cvmlift2lem8  36044