Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem3 35311
Description: Lemma for cvmlift2 35322. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2lem3.1 𝐾 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝐹   𝜑,𝑓,𝑧   𝑓,𝐽,𝑧   𝑓,𝐺,𝑧   𝑓,𝐻,𝑧   𝑓,𝑋,𝑧   𝐶,𝑓,𝑧   𝑃,𝑓,𝑧   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐾(𝑧,𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem3
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2lem3.1 . 2 𝐾 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))
3 cvmlift2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
43adantr 480 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 iitopon 24906 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
7 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
86, 6, 7cnmptc 23671 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑋) ∈ (II Cn II))
96cnmptid 23670 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑧) ∈ (II Cn II))
10 cvmlift2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
126, 8, 9, 11cnmpt12f 23675 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∈ (II Cn 𝐽))
13 cvmlift2.p . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐵)
14 cvmlift2.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
15 cvmlift2.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
161, 3, 10, 13, 14, 15cvmlift2lem2 35310 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
1716simp1d 1142 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐶))
18 iiuni 24908 . . . . 5 (0[,]1) = II
1918, 1cnf 23255 . . . 4 (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
2017, 19syl 17 . . 3 (𝜑𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
2120ffvelcdmda 7103 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐻𝑋) ∈ 𝐵)
22 0elunit 13510 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
23 oveq2 7440 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑋𝐺𝑧) = (𝑋𝐺0))
24 eqid 2736 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))
25 ovex 7465 . . . . 5 (𝑋𝐺0) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 7015 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
2722, 26mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
2816simp2d 1143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
2928fveq1d 6907 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋))
30 oveq1 7439 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝐺0) = (𝑋𝐺0))
31 eqid 2736 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
3230, 31, 25fvmpt 7015 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
3329, 32sylan9eq 2796 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
34 fvco3 7007 . . . 4 ((𝐻:(0[,]1)⟶𝐵𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻𝑋)))
3520, 34sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻𝑋)))
3627, 33, 353eqtr2rd 2783 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝐻𝑋)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0))
371, 2, 4, 12, 21, 36cvmliftiota 35307 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   cuni 4906  cmpt 5224  ccom 5688  wf 6556  cfv 6560  crio 7388  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157  [,]cicc 13391  TopOnctopon 22917   Cn ccn 23233   ×t ctx 23569  IIcii 24902   CovMap ccvm 35261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-ec 8748  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-cmp 23396  df-conn 23421  df-lly 23475  df-nlly 23476  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-ii 24904  df-cncf 24905  df-htpy 25003  df-phtpy 25004  df-phtpc 25025  df-pconn 35227  df-sconn 35228  df-cvm 35262
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem5  35313  cvmlift2lem6  35314  cvmlift2lem7  35315  cvmlift2lem8  35316
  Copyright terms: Public domain W3C validator