Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem3 32850
Description: Lemma for cvmlift2 32861. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2lem3.1 𝐾 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝐹   𝜑,𝑓,𝑧   𝑓,𝐽,𝑧   𝑓,𝐺,𝑧   𝑓,𝐻,𝑧   𝑓,𝑋,𝑧   𝐶,𝑓,𝑧   𝑃,𝑓,𝑧   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐾(𝑧,𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem3
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2lem3.1 . 2 𝐾 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))
3 cvmlift2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
43adantr 484 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 iitopon 23643 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
7 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
86, 6, 7cnmptc 22425 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑋) ∈ (II Cn II))
96cnmptid 22424 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑧) ∈ (II Cn II))
10 cvmlift2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
1110adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
126, 8, 9, 11cnmpt12f 22429 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∈ (II Cn 𝐽))
13 cvmlift2.p . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐵)
14 cvmlift2.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
15 cvmlift2.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
161, 3, 10, 13, 14, 15cvmlift2lem2 32849 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
1716simp1d 1143 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐶))
18 iiuni 23645 . . . . 5 (0[,]1) = II
1918, 1cnf 22009 . . . 4 (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
2017, 19syl 17 . . 3 (𝜑𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
2120ffvelrnda 6873 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐻𝑋) ∈ 𝐵)
22 0elunit 12955 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
23 oveq2 7190 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑋𝐺𝑧) = (𝑋𝐺0))
24 eqid 2739 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))
25 ovex 7215 . . . . 5 (𝑋𝐺0) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 6787 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
2722, 26mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
2816simp2d 1144 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
2928fveq1d 6688 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋))
30 oveq1 7189 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝐺0) = (𝑋𝐺0))
31 eqid 2739 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
3230, 31, 25fvmpt 6787 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
3329, 32sylan9eq 2794 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
34 fvco3 6779 . . . 4 ((𝐻:(0[,]1)⟶𝐵𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻𝑋)))
3520, 34sylan 583 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻𝑋)))
3627, 33, 353eqtr2rd 2781 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝐻𝑋)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0))
371, 2, 4, 12, 21, 36cvmliftiota 32846 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114   cuni 4806  cmpt 5120  ccom 5539  wf 6345  cfv 6349  crio 7138  (class class class)co 7182  0cc0 10627  1c1 10628  [,]cicc 12836  TopOnctopon 21673   Cn ccn 21987   ×t ctx 22323  IIcii 23639   CovMap ccvm 32800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705  ax-addf 10706  ax-mulf 10707
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-supp 7869  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-er 8332  df-ec 8334  df-map 8451  df-ixp 8520  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fsupp 8919  df-fi 8960  df-sup 8991  df-inf 8992  df-oi 9059  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-xneg 12602  df-xadd 12603  df-xmul 12604  df-ioo 12837  df-ico 12839  df-icc 12840  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-fl 13265  df-seq 13473  df-exp 13534  df-hash 13795  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-clim 14947  df-sum 15148  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-starv 16695  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-ip 16698  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-unif 16703  df-hom 16704  df-cco 16705  df-rest 16811  df-topn 16812  df-0g 16830  df-gsum 16831  df-topgen 16832  df-pt 16833  df-prds 16836  df-xrs 16890  df-qtop 16895  df-imas 16896  df-xps 16898  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-submnd 18085  df-mulg 18355  df-cntz 18577  df-cmn 19038  df-psmet 20221  df-xmet 20222  df-met 20223  df-bl 20224  df-mopn 20225  df-cnfld 20230  df-top 21657  df-topon 21674  df-topsp 21696  df-bases 21709  df-cld 21782  df-ntr 21783  df-cls 21784  df-nei 21861  df-cn 21990  df-cnp 21991  df-cmp 22150  df-conn 22175  df-lly 22229  df-nlly 22230  df-tx 22325  df-hmeo 22518  df-xms 23085  df-ms 23086  df-tms 23087  df-ii 23641  df-htpy 23734  df-phtpy 23735  df-phtpc 23756  df-pconn 32766  df-sconn 32767  df-cvm 32801
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem5  32852  cvmlift2lem6  32853  cvmlift2lem7  32854  cvmlift2lem8  32855
  Copyright terms: Public domain W3C validator