Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem3 32545
Description: Lemma for cvmlift2 32556. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2lem3.1 𝐾 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝐹   𝜑,𝑓,𝑧   𝑓,𝐽,𝑧   𝑓,𝐺,𝑧   𝑓,𝐻,𝑧   𝑓,𝑋,𝑧   𝐶,𝑓,𝑧   𝑃,𝑓,𝑧   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐾(𝑧,𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem3
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2lem3.1 . 2 𝐾 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))
3 cvmlift2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
43adantr 483 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 iitopon 23479 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
7 simpr 487 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
86, 6, 7cnmptc 22262 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑋) ∈ (II Cn II))
96cnmptid 22261 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑧) ∈ (II Cn II))
10 cvmlift2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
1110adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
126, 8, 9, 11cnmpt12f 22266 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∈ (II Cn 𝐽))
13 cvmlift2.p . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐵)
14 cvmlift2.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
15 cvmlift2.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
161, 3, 10, 13, 14, 15cvmlift2lem2 32544 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
1716simp1d 1137 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐶))
18 iiuni 23481 . . . . 5 (0[,]1) = II
1918, 1cnf 21846 . . . 4 (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
2017, 19syl 17 . . 3 (𝜑𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
2120ffvelrnda 6844 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐻𝑋) ∈ 𝐵)
22 0elunit 12847 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
23 oveq2 7156 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑋𝐺𝑧) = (𝑋𝐺0))
24 eqid 2819 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))
25 ovex 7181 . . . . 5 (𝑋𝐺0) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 6761 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
2722, 26mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
2816simp2d 1138 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
2928fveq1d 6665 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋))
30 oveq1 7155 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝐺0) = (𝑋𝐺0))
31 eqid 2819 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
3230, 31, 25fvmpt 6761 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
3329, 32sylan9eq 2874 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
34 fvco3 6753 . . . 4 ((𝐻:(0[,]1)⟶𝐵𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻𝑋)))
3520, 34sylan 582 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻𝑋)))
3627, 33, 353eqtr2rd 2861 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝐻𝑋)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0))
371, 2, 4, 12, 21, 36cvmliftiota 32541 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108   cuni 4830  cmpt 5137  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  crio 7105  (class class class)co 7148  0cc0 10529  1c1 10530  [,]cicc 12733  TopOnctopon 21510   Cn ccn 21824   ×t ctx 22160  IIcii 23475   CovMap ccvm 32495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-ec 8283  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-cmp 21987  df-conn 22012  df-lly 22066  df-nlly 22067  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-ii 23477  df-htpy 23566  df-phtpy 23567  df-phtpc 23588  df-pconn 32461  df-sconn 32462  df-cvm 32496
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem5  32547  cvmlift2lem6  32548  cvmlift2lem7  32549  cvmlift2lem8  32550
  Copyright terms: Public domain W3C validator