Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem3 31796
Description: Lemma for cvmlift2 31807. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2lem3.1 𝐾 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑓,𝐹   𝜑,𝑓,𝑧   𝑓,𝐽,𝑧   𝑓,𝐺,𝑧   𝑓,𝐻,𝑧   𝑓,𝑋,𝑧   𝐶,𝑓,𝑧   𝑃,𝑓,𝑧   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐾(𝑧,𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem3
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2lem3.1 . 2 𝐾 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑋)))
3 cvmlift2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
43adantr 473 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 iitopon 23007 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
7 simpr 478 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
86, 6, 7cnmptc 21791 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑋) ∈ (II Cn II))
96cnmptid 21790 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑧) ∈ (II Cn II))
10 cvmlift2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
1110adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
126, 8, 9, 11cnmpt12f 21795 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∈ (II Cn 𝐽))
13 cvmlift2.p . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐵)
14 cvmlift2.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
15 cvmlift2.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
161, 3, 10, 13, 14, 15cvmlift2lem2 31795 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
1716simp1d 1173 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐶))
18 iiuni 23009 . . . . 5 (0[,]1) = II
1918, 1cnf 21376 . . . 4 (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) → 𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
2017, 19syl 17 . . 3 (𝜑𝐻:(0[,]1)⟶𝐵)
2120ffvelrnda 6583 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐻𝑋) ∈ 𝐵)
22 0elunit 12538 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
23 oveq2 6884 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑋𝐺𝑧) = (𝑋𝐺0))
24 eqid 2797 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))
25 ovex 6908 . . . . 5 (𝑋𝐺0) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 6505 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
2722, 26mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0) = (𝑋𝐺0))
2816simp2d 1174 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
2928fveq1d 6411 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋))
30 oveq1 6883 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝐺0) = (𝑋𝐺0))
31 eqid 2797 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
3230, 31, 25fvmpt 6505 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
3329, 32sylan9eq 2851 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝑋𝐺0))
34 fvco3 6498 . . . 4 ((𝐻:(0[,]1)⟶𝐵𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻𝑋)))
3520, 34sylan 576 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐻)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐻𝑋)))
3627, 33, 353eqtr2rd 2838 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝐻𝑋)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧))‘0))
371, 2, 4, 12, 21, 36cvmliftiota 31792 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐾) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝐾‘0) = (𝐻𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   cuni 4626  cmpt 4920  ccom 5314  wf 6095  cfv 6099  crio 6836  (class class class)co 6876  0cc0 10222  1c1 10223  [,]cicc 12423  TopOnctopon 21040   Cn ccn 21354   ×t ctx 21689  IIcii 23003   CovMap ccvm 31746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-ec 7982  df-map 8095  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-fi 8557  df-sup 8588  df-inf 8589  df-oi 8655  df-card 9049  df-cda 9276  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-ioo 12424  df-ico 12426  df-icc 12427  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-fl 12844  df-seq 13052  df-exp 13111  df-hash 13367  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-clim 14557  df-sum 14755  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-rest 16395  df-topn 16396  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-topgen 16416  df-pt 16417  df-prds 16420  df-xrs 16474  df-qtop 16479  df-imas 16480  df-xps 16482  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-mulg 17854  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-cnfld 20066  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-cld 21149  df-ntr 21150  df-cls 21151  df-nei 21228  df-cn 21357  df-cnp 21358  df-cmp 21516  df-conn 21541  df-lly 21595  df-nlly 21596  df-tx 21691  df-hmeo 21884  df-xms 22450  df-ms 22451  df-tms 22452  df-ii 23005  df-htpy 23094  df-phtpy 23095  df-phtpc 23116  df-pconn 31712  df-sconn 31713  df-cvm 31747
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem5  31798  cvmlift2lem6  31799  cvmlift2lem7  31800  cvmlift2lem8  31801
  Copyright terms: Public domain W3C validator