Theorem cdivcncf 22933

Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cdivcncf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
cdivcncf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cdivcncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2806	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 22799	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
4		difss 3936	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
5		resttopon 21179	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
6	3, 4, 5	sylancl 576	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
7		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	6, 3, 7	cnmptc 21679	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
9	6	cnmptid 21678	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0}))))
10		eqid 2806	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0}))
11	1, 10	divcn 22884	. . . 4 ⊢ / ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0}))) Cn (TopOpen‘ℂfld))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → / ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0}))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
13	6, 8, 9, 12	cnmpt12f 21683	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14		cdivcncf.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))
15		ssid 3820	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
16	2	toponrestid 20939	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
17	1, 10, 16	cncfcn 22925	. . 3 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
18	4, 15, 17	mp2an 675	. 2 ⊢ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
19	13, 14, 18	3eltr4g 2902	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1637   ∈ wcel 2156   ∖ cdif 3766   ⊆ wss 3769  {csn 4370   ↦ cmpt 4923  ‘cfv 6101  (class class class)co 6874  ℂcc 10219  0cc0 10221   / cdiv 10969   ↾_t crest 16286  TopOpenctopn 16287  ℂ_fldccnfld 19954  TopOnctopon 20928   Cn ccn 21242   ×_t ctx 21577  –cn→ccncf 22892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-mulf 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-mulg 17746  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894

This theorem is referenced by:  divcncf  23428  dvrec  23932  dirkercncflem4  40802  fourierdlem40  40843  fourierdlem78  40880