MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdivcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdivcncf 24927
Description: Division with a constant numerator is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cdivcncf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))
Assertion
Ref Expression
cdivcncf (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cdivcncf
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 24785 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
4 difss 4129 . . . 4 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
5 resttopon 23151 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
63, 4, 5sylancl 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
7 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
86, 3, 7cnmptc 23652 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
96cnmptid 23651 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0}))))
10 eqid 2726 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0}))
111, 10divcn 24872 . . . 4 / ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0}))) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1211a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → / ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0}))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
136, 8, 9, 12cnmpt12f 23656 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
14 cdivcncf.1 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))
15 ssid 4002 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
162toponrestid 22909 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
171, 10, 16cncfcn 24916 . . 3 (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
184, 15, 17mp2an 690 . 2 ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1913, 14, 183eltr4g 2843 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3944  wss 3947  {csn 4624  cmpt 5227  cfv 6544  (class class class)co 7414  cc 11145  0cc0 11147   / cdiv 11910  t crest 17428  TopOpenctopn 17429  fldccnfld 21337  TopOnctopon 22898   Cn ccn 23214   ×t ctx 23550  cnccncf 24882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-seq 14014  df-exp 14074  df-hash 14341  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-hom 17283  df-cco 17284  df-rest 17430  df-topn 17431  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-topgen 17451  df-pt 17452  df-prds 17455  df-xrs 17510  df-qtop 17515  df-imas 17516  df-xps 17518  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-acs 17595  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19774  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-cnfld 21338  df-top 22882  df-topon 22899  df-topsp 22921  df-bases 22935  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-xms 24312  df-ms 24313  df-tms 24314  df-cncf 24884
This theorem is referenced by:  divcncf  25462  dvrec  25973  dirkercncflem4  45761  fourierdlem40  45802  fourierdlem78  45839
  Copyright terms: Public domain W3C validator