Theorem expcnOLD 24702

Description: Obsolete version of expcn 24700 as of 6-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcnOLD.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
expcnOLD	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁

Proof of Theorem expcnOLD

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7409	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑0))
2	1	mpteq2dv 5240	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)))
3	2	eleq1d 2810	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
4		oveq2 7409	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑘))
5	4	mpteq2dv 5240	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)))
6	5	eleq1d 2810	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7		oveq2 7409	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
8	7	mpteq2dv 5240	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
9	8	eleq1d 2810	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
10		oveq2 7409	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑁))
11	10	mpteq2dv 5240	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)))
12	11	eleq1d 2810	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
13		exp0 14027	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
14	13	mpteq2ia 5241	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
15		expcnOLD.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
16	15	cnfldtopon 24609	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
18		1cnd 11205	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
19	17, 17, 18	cnmptc 23476	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
20	19	mptru 1540	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
21	14, 20	eqeltri 2821	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
22		oveq1 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = (𝑛↑(𝑘 + 1)))
23	22	cbvmptv 5251	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑(𝑘 + 1)))
24		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
25		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26		expp1 14030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
27	24, 25, 26	syl2anr 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
28	27	mpteq2dva 5238	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘) · 𝑛)))
29	23, 28	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘) · 𝑛)))
30	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
31		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑𝑘) = (𝑛↑𝑘))
32	31	cbvmptv 5251	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑𝑘))
33		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
34	32, 33	eqeltrrid 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
35	30	cnmptid 23475	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ 𝑛) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
36	15	mulcn 24693	. . . . . 6 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
38	30, 34, 35, 37	cnmpt12f 23480	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘) · 𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	29, 38	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
40	39	ex 412	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
41	3, 6, 9, 12, 21, 40	nn0ind 12653	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5221  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11103  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  ℕ₀cn0 12468  ↑cexp 14023  TopOpenctopn 17363  ℂ_fldccnfld 21223  TopOnctopon 22722   Cn ccn 23038   ×_t ctx 23374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-mulf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-mulg 18983  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-psmet 21215  df-xmet 21216  df-met 21217  df-bl 21218  df-mopn 21219  df-cnfld 21224  df-top 22706  df-topon 22723  df-topsp 22745  df-bases 22759  df-cn 23041  df-cnp 23042  df-tx 23376  df-hmeo 23569  df-xms 24136  df-ms 24137  df-tms 24138

This theorem is referenced by: (None)