MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icchmeoOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icchmeoOLD 24788
Description: Obsolete version of icchmeo 24787 as of 9-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
icchmeoOLD.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
icchmeoOLD.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 𝐡) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
icchmeoOLD ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem icchmeoOLD
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icchmeoOLD.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 𝐡) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴)))
2 iitopon 24721 . . . . . 6 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
4 icchmeoOLD.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54dfii3 24725 . . . . . . . . 9 II = (𝐽 β†Ύt (0[,]1))
65oveq2i 7412 . . . . . . . 8 (II Cn II) = (II Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1)))
74cnfldtop 24622 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ Top
8 cnrest2r 23113 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ (II Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1))) βŠ† (II Cn 𝐽))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (II Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1))) βŠ† (II Cn 𝐽)
106, 9eqsstri 4008 . . . . . . 7 (II Cn II) βŠ† (II Cn 𝐽)
113cnmptid 23487 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn II))
1210, 11sselid 3972 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ (II Cn 𝐽))
134cnfldtopon 24621 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
15 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1615recnd 11239 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
173, 14, 16cnmptc 23488 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 𝐡) ∈ (II Cn 𝐽))
184mulcn 24705 . . . . . . 7 Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
203, 12, 17, 19cnmpt12f 23492 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝐡)) ∈ (II Cn 𝐽))
21 1cnd 11206 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 1 ∈ β„‚)
223, 14, 21cnmptc 23488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ (II Cn 𝐽))
234subcn 24704 . . . . . . . 8 βˆ’ ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ βˆ’ ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
253, 22, 12, 24cnmpt12f 23492 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (1 βˆ’ π‘₯)) ∈ (II Cn 𝐽))
26 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2726recnd 11239 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
283, 14, 27cnmptc 23488 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴) ∈ (II Cn 𝐽))
293, 25, 28, 19cnmpt12f 23492 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴)) ∈ (II Cn 𝐽))
304addcn 24703 . . . . . 6 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
323, 20, 29, 31cnmpt12f 23492 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ ((π‘₯ Β· 𝐡) + ((1 βˆ’ π‘₯) Β· 𝐴))) ∈ (II Cn 𝐽))
331, 32eqeltrid 2829 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
341iccf1o 13470 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡) ∧ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
3534simpld 494 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡))
36 f1of 6823 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢(𝐴[,]𝐡))
37 frn 6714 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)⟢(𝐴[,]𝐡) β†’ ran 𝐹 βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3835, 36, 373syl 18 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ran 𝐹 βŠ† (𝐴[,]𝐡))
39 iccssre 13403 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
40393adant3 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
41 ax-resscn 11163 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
4240, 41sstrdi 3986 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
43 cnrest2 23112 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran 𝐹 βŠ† (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))))
4413, 38, 42, 43mp3an2i 1462 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))))
4533, 44mpbid 231 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
4634simprd 495 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
47 resttopon 22987 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
4813, 42, 47sylancr 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴[,]𝐡)))
49 cnrest2r 23113 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
507, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) βŠ† ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽)
5148cnmptid 23487 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
5250, 51sselid 3972 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
5348, 14, 27cnmptc 23488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
5448, 52, 53, 24cnmpt12f 23492 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑦 βˆ’ 𝐴)) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
55 difrp 13009 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+))
5655biimp3a 1465 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ+)
5756rpcnd 13015 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
5856rpne0d 13018 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) β‰  0)
594divccn 24713 . . . . . . 7 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐴) β‰  0) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6057, 58, 59syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
61 oveq1 7408 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 βˆ’ 𝐴) β†’ (π‘₯ / (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
6248, 54, 14, 60, 61cnmpt11 23489 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑦 βˆ’ 𝐴) / (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
6346, 62eqeltrd 2825 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽))
64 dfdm4 5885 . . . . . . 7 dom 𝐹 = ran ◑𝐹
6564eqimss2i 4035 . . . . . 6 ran ◑𝐹 βŠ† dom 𝐹
66 f1odm 6827 . . . . . . 7 (𝐹:(0[,]1)–1-1-ontoβ†’(𝐴[,]𝐡) β†’ dom 𝐹 = (0[,]1))
6735, 66syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ dom 𝐹 = (0[,]1))
6865, 67sseqtrid 4026 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ran ◑𝐹 βŠ† (0[,]1))
69 unitssre 13473 . . . . . . 7 (0[,]1) βŠ† ℝ
7069a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (0[,]1) βŠ† ℝ)
7170, 41sstrdi 3986 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (0[,]1) βŠ† β„‚)
72 cnrest2 23112 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran ◑𝐹 βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚) β†’ (◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1)))))
7313, 68, 71, 72mp3an2i 1462 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ (◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn 𝐽) ↔ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1)))))
7463, 73mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1))))
755oveq2i 7412 . . 3 ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn II) = ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (𝐽 β†Ύt (0[,]1)))
7674, 75eleqtrrdi 2836 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn II))
77 ishmeo 23585 . 2 (𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))) ∧ ◑𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn II)))
7845, 76, 77sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667  βŸΆwf 6529  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11245   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  β„+crp 12971  [,]cicc 13324   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 21228  Topctop 22717  TopOnctopon 22734   Cn ccn 23050   Γ—t ctx 23386  Homeochmeo 23579  IIcii 24717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-ii 24719
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator