MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icchmeoOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icchmeoOLD 24986
Description: Obsolete version of icchmeo 24985 as of 9-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
icchmeoOLD.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
icchmeoOLD.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
icchmeoOLD ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icchmeoOLD
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icchmeoOLD.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
2 iitopon 24919 . . . . . 6 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
32a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4 icchmeoOLD.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
54dfii3 24923 . . . . . . . . 9 II = (𝐽t (0[,]1))
65oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (II Cn II) = (II Cn (𝐽t (0[,]1)))
74cnfldtop 24820 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ Top
8 cnrest2r 23311 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → (II Cn (𝐽t (0[,]1))) ⊆ (II Cn 𝐽))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (II Cn (𝐽t (0[,]1))) ⊆ (II Cn 𝐽)
106, 9eqsstri 4030 . . . . . . 7 (II Cn II) ⊆ (II Cn 𝐽)
113cnmptid 23685 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
1210, 11sselid 3993 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn 𝐽))
134cnfldtopon 24819 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
15 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
1615recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
173, 14, 16cnmptc 23686 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐵) ∈ (II Cn 𝐽))
184mulcn 24903 . . . . . . 7 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
203, 12, 17, 19cnmpt12f 23690 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝐵)) ∈ (II Cn 𝐽))
21 1cnd 11254 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
223, 14, 21cnmptc 23686 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ (II Cn 𝐽))
234subcn 24902 . . . . . . . 8 − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → − ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
253, 22, 12, 24cnmpt12f 23690 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn 𝐽))
26 simp1 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2726recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
283, 14, 27cnmptc 23686 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴) ∈ (II Cn 𝐽))
293, 25, 28, 19cnmpt12f 23690 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥) · 𝐴)) ∈ (II Cn 𝐽))
304addcn 24901 . . . . . 6 + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
323, 20, 29, 31cnmpt12f 23690 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))) ∈ (II Cn 𝐽))
331, 32eqeltrid 2843 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
341iccf1o 13533 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)))))
3534simpld 494 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵))
36 f1of 6849 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) → 𝐹:(0[,]1)⟶(𝐴[,]𝐵))
37 frn 6744 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)⟶(𝐴[,]𝐵) → ran 𝐹 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3835, 36, 373syl 18 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
39 iccssre 13466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40393adant3 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41 ax-resscn 11210 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
4240, 41sstrdi 4008 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
43 cnrest2 23310 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))))
4413, 38, 42, 43mp3an2i 1465 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵)))))
4533, 44mpbid 232 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
4634simprd 495 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴))))
47 resttopon 23185 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
4813, 42, 47sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐽t (𝐴[,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴[,]𝐵)))
49 cnrest2r 23311 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
507, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽)
5148cnmptid 23685 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
5250, 51sselid 3993 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
5348, 14, 27cnmptc 23686 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
5448, 52, 53, 24cnmpt12f 23690 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦𝐴)) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
55 difrp 13071 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))
5655biimp3a 1468 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ+)
5756rpcnd 13077 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
5856rpne0d 13080 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ≠ 0)
594divccn 24911 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / (𝐵𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / (𝐵𝐴))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
61 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝐴) → (𝑥 / (𝐵𝐴)) = ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴)))
6248, 54, 14, 60, 61cnmpt11 23687 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦𝐴) / (𝐵𝐴))) ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
6346, 62eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽))
64 dfdm4 5909 . . . . . . 7 dom 𝐹 = ran 𝐹
6564eqimss2i 4057 . . . . . 6 ran 𝐹 ⊆ dom 𝐹
66 f1odm 6853 . . . . . . 7 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) → dom 𝐹 = (0[,]1))
6735, 66syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → dom 𝐹 = (0[,]1))
6865, 67sseqtrid 4048 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ (0[,]1))
69 unitssre 13536 . . . . . . 7 (0[,]1) ⊆ ℝ
7069a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0[,]1) ⊆ ℝ)
7170, 41sstrdi 4008 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (0[,]1) ⊆ ℂ)
72 cnrest2 23310 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran 𝐹 ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1)))))
7313, 68, 71, 72mp3an2i 1465 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn 𝐽) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1)))))
7463, 73mpbid 232 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1))))
755oveq2i 7442 . . 3 ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn II) = ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn (𝐽t (0[,]1)))
7674, 75eleqtrrdi 2850 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn II))
77 ishmeo 23783 . 2 (𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn (𝐽t (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (𝐴[,]𝐵)) Cn II)))
7845, 76, 77sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐹 ∈ (IIHomeo(𝐽t (𝐴[,]𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cmin 11490   / cdiv 11918  +crp 13032  [,]cicc 13387  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584  Homeochmeo 23777  IIcii 24915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-ii 24917
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator