Theorem cncfmptid 24057

Description: The identity function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptid	⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfss 24043	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆–cn→𝑆) ⊆ (𝑆–cn→𝑇))
2		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtopon 23927	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4		sstr 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		resttopon 22293	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
6	3, 4, 5	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
7	6	cnmptid 22793	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)))
8		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
9	2, 8, 8	cncfcn 24054	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝑆–cn→𝑆) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)))
10	4, 4, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆–cn→𝑆) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)))
11	7, 10	eleqtrrd 2843	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑆))
12	1, 11	sseldd 3926	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3891   ↦ cmpt 5161  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853   ↾_t crest 17112  TopOpenctopn 17113  ℂ_fldccnfld 20578  TopOnctopon 22040   Cn ccn 22356  –cn→ccncf 24020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-fz 13222  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-struct 16829  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-rest 17114  df-topn 17115  df-topgen 17135  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-cnfld 20579  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-xms 23454  df-ms 23455  df-cncf 24022

This theorem is referenced by:  addccncf  24061  idcncf  24062  negcncf  24066  dvcnp2  25065  mvth  25137  dvlipcn  25139  dvfsumle  25166  dvfsumabs  25168  dvfsumlem2  25172  taylthlem2  25514  loglesqrt  25892  lgamgulmlem2  26160  pntlem3  26738  iblidicc  32551  circlemeth  32599  logdivsqrle  32609  areacirclem4  35847  lcmineqlem12  40028  areaquad  41027  idcncfg  43368  addccncf2  43371  add1cncf  43396  add2cncf  43397  sub1cncfd  43398  sub2cncfd  43399  itgsbtaddcnst  43477  dirkercncflem2  43599  fourierdlem16  43618  fourierdlem22  43624  fourierdlem93  43694  fourierdlem111  43712