Theorem sqeqd 15326

Description: A deduction for showing two numbers whose squares are equal are themselves equal. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqeqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
sqeqd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
sqeqd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
sqeqd.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
sqeqd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sqeqd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem sqeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqeqd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
2		sqeqd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		sqeqd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		sqeqor 14353	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))
7	6	ord 878	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = -𝐵))
8		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝜑)
9		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -𝐵 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘-𝐵))
10		reneg 15285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
11	3, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
12	9, 11	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = -(ℜ‘𝐵))
13		sqeqd.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
15	14, 12	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ -(ℜ‘𝐵))
16	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		recl 15270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
19	18	le0neg1d 11880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
20	15, 19	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ≤ 0)
21		sqeqd.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
22	21	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
23		0re 11303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		letri3 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
25	18, 23, 24	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
26	20, 22, 25	mpbir2and 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) = 0)
27	26	negeqd 11544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = -0)
28		neg0 11597	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
29	27, 28	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = 0)
30	12, 29	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = 0)
31		sqeqd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
32	8, 30, 26, 31	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
33	32	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = -𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
34	7, 33	syld 48	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
35	34	pm2.18d 128	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193   ≤ cle 11337  -cneg 11535  2c2 12390  ↑cexp 14197  ℜcre 15257

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261

This theorem is used by: (None)