Theorem sqeqd 15202

Description: A deduction for showing two numbers whose squares are equal are themselves equal. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqeqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
sqeqd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
sqeqd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
sqeqd.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
sqeqd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sqeqd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem sqeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqeqd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
2		sqeqd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		sqeqd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		sqeqor 14252	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))
7	6	ord 864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = -𝐵))
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝜑)
9		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -𝐵 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘-𝐵))
10		reneg 15161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
11	3, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
12	9, 11	sylan9eqr 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = -(ℜ‘𝐵))
13		sqeqd.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
15	14, 12	breqtrd 5174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ -(ℜ‘𝐵))
16	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		recl 15146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
19	18	le0neg1d 11832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
20	15, 19	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ≤ 0)
21		sqeqd.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
23		0re 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		letri3 11344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
25	18, 23, 24	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
26	20, 22, 25	mpbir2and 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) = 0)
27	26	negeqd 11500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = -0)
28		neg0 11553	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
29	27, 28	eqtrdi 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = 0)
30	12, 29	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = 0)
31		sqeqd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
32	8, 30, 26, 31	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
33	32	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = -𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
34	7, 33	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
35	34	pm2.18d 127	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153   ≤ cle 11294  -cneg 11491  2c2 12319  ↑cexp 14099  ℜcre 15133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137

This theorem is referenced by: (None)