Theorem sqeqd 15132

Description: A deduction for showing two numbers whose squares are equal are themselves equal. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqeqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
sqeqd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
sqeqd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
sqeqd.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
sqeqd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sqeqd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem sqeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqeqd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
2		sqeqd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		sqeqd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		sqeqor 14181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))
7	6	ord 864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = -𝐵))
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝜑)
9		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -𝐵 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘-𝐵))
10		reneg 15091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
11	3, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
12	9, 11	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = -(ℜ‘𝐵))
13		sqeqd.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
15	14, 12	breqtrd 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ -(ℜ‘𝐵))
16	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		recl 15076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
19	18	le0neg1d 11749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
20	15, 19	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ≤ 0)
21		sqeqd.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
23		0re 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		letri3 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
25	18, 23, 24	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
26	20, 22, 25	mpbir2and 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) = 0)
27	26	negeqd 11415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = -0)
28		neg0 11468	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
29	27, 28	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = 0)
30	12, 29	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = 0)
31		sqeqd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
32	8, 30, 26, 31	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
33	32	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = -𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
34	7, 33	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
35	34	pm2.18d 127	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   ≤ cle 11209  -cneg 11406  2c2 12241  ↑cexp 14026  ℜcre 15063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067

This theorem is referenced by: (None)