Theorem sqeqd 15101

Description: A deduction for showing two numbers whose squares are equal are themselves equal. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
sqeqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
sqeqd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
sqeqd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
sqeqd.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
sqeqd.6	⊢ ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sqeqd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem sqeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqeqd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
2		sqeqd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		sqeqd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		sqeqor 14151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵)))
6	1, 5	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))
7	6	ord 865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = -𝐵))
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝜑)
9		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -𝐵 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘-𝐵))
10		reneg 15060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
11	3, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
12	9, 11	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = -(ℜ‘𝐵))
13		sqeqd.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
15	14, 12	breqtrd 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ -(ℜ‘𝐵))
16	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		recl 15045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
19	18	le0neg1d 11720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
20	15, 19	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ≤ 0)
21		sqeqd.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
23		0re 11146	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		letri3 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
25	18, 23, 24	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
26	20, 22, 25	mpbir2and 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) = 0)
27	26	negeqd 11386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = -0)
28		neg0 11439	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
29	27, 28	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = 0)
30	12, 29	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = 0)
31		sqeqd.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
32	8, 30, 26, 31	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
33	32	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = -𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
34	7, 33	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
35	34	pm2.18d 127	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11179  -cneg 11377  2c2 12212  ↑cexp 13996  ℜcre 15032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036

This theorem is referenced by: (None)