MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqeqd 15205
Description: A deduction for showing two numbers whose squares are equal are themselves equal. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqeqd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
sqeqd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
sqeqd.3 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
sqeqd.4 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
sqeqd.5 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
sqeqd.6 ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sqeqd (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem sqeqd
StepHypRef Expression
1 sqeqd.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
2 sqeqd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 sqeqd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 sqeqor 14255 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))
61, 5mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
76ord 865 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
8 simpl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝜑)
9 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝐴 = -𝐵 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘-𝐵))
10 reneg 15164 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
129, 11sylan9eqr 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = -(ℜ‘𝐵))
13 sqeqd.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
1514, 12breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ -(ℜ‘𝐵))
163adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 recl 15149 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1918le0neg1d 11834 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
2015, 19mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ≤ 0)
21 sqeqd.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
23 0re 11263 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
24 letri3 11346 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
2518, 23, 24sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
2620, 22, 25mpbir2and 713 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) = 0)
2726negeqd 11502 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = -0)
28 neg0 11555 . . . . . . 7 -0 = 0
2927, 28eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = 0)
3012, 29eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = 0)
31 sqeqd.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
328, 30, 26, 31syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
3332ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = -𝐵𝐴 = 𝐵))
347, 33syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
3534pm2.18d 127 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  cle 11296  -cneg 11493  2c2 12321  cexp 14102  cre 15136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator